高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 基本不等式、不等式的綜合應(yīng)用提分訓(xùn)練 文 新人教版.doc

基本不等式、不等式的綜合應(yīng)用高考試題考點一 利用基本不等式證明1.(2010年安徽卷,文15)若a0,b0,a+b=2,則下列不等式對一切滿足條件的a、b恒成立的是(寫出所有正確命題的編號).ab1;+;a2+b22;a3+b33;+2.解析:令a=b=1,排除、;由2=a+b2ab1,命題正確;a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab2,命題正確;+=2,命題正確.答案:2.(2011年上海卷,文16)若a、br,且ab0,則下列不等式中,恒成立的是()(a)a2+b22ab (b)a+b2(c)+(d)+2解析:對于選項a,a2+b22ab,所以選項a錯;對于選項b、c,雖然ab0,只能說明a、b同號,若a、b都小于0時,選項b、c錯;對選項d,ab0,0, 0,則+2.故選d.答案:d考點二 利用基本不等式求最值或范圍1.(2013年福建卷,文7)若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是()(a)0,2 (b)-2,0(c)-2,+)(d)(-,-2解析:因為2x+2y2=2,所以,所以2x+y,所以x+y-2.故選d.答案:d2.(2012年浙江卷,文9)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是()(a)(b)(c)5 (d)6解析:因為x0,y0,x+3y=5xy,所以+=1,所以（+）(3x+4y)=+2=5,當(dāng)且僅當(dāng)=時,等號成立,所以選c.答案:c3.(2013年陜西卷,文14)在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長x為(m).解析:如圖,過a作ahbc于h,交de于f,由已知得=,=,由=,得af=x,fh=40-x.則s=x(40-x)2,當(dāng)且僅當(dāng)40-x=x,即x=20時取等號.所以所求邊長x為20(m).答案:204.(2013年四川卷,文13)已知函數(shù)f(x)=4x+ (x0,a0)在x=3時取得最小值,則a=.解析:因為x0,a0,所以f(x)=4x+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)4x=,即a=4x2時取等號.由題意可得a=432=36.答案:365.(2013年天津卷,文14)設(shè)a+b=2,b0,則+的最小值為.解析:由a+b=2,b0.則+=+=+,由a0,若a0,則原式=+2=.當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=時,等號成立.若a0,n0),則由2a+2b+2c=2a+b+c得mn+x=mnx,(mn-1)x=mn,x=,x=,又+=12,-,1-,x=,即2c,clog2=2-log23.當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2,即a=b=1時,c取得最大值為2-log23.答案:2-log237.(2011年浙江卷,文16)若實數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1,則x+y的最大值是.解析:xy(x+y)2,1=x2+y2+xy=(x+y)2-xy(x+y)2-(x+y)2=(x+y)2,(x+y)2,-x+y,當(dāng)x=y=時,x+y取得最大值.答案:8.(2011年江蘇卷,8)在平面直角坐標系xoy中,過坐標原點的一條直線與函數(shù)f(x)=的圖象交于p,q兩點,則線段pq長的最小值是.解析:如圖所示.p在函數(shù)y=圖象上,設(shè)p(x, ),又q與p關(guān)于原點對稱,q（-x,-）,|pq|2=(x+x)2+(+)2=4x2+2=16.當(dāng)且僅當(dāng)4x2=,即x2=2時等號成立.|pq|min=4.答案:4考點三 不等式的綜合應(yīng)用1.(2013年山東卷,文12)設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當(dāng)取得最大值時,x+2y-z的最大值為()(a)0(b) (c)2(d)解析:由題得z+3xy=x2+4y24xy(x,y,z0),即zxy,1.當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時等號成立,則x+2y-z=2y+2y-(4y2-6y2+4y2)=4y-2y2=-2(y2-2y)=-2(y-1)2-1=-2(y-1)2+2.當(dāng)y=1時,x+2y-z有最大值2.故選c.答案:c2.(2013年新課標全國卷,文12)若存在正數(shù)x使2x(x-a)0及2x(x-a)x-x,令f(x)=x-x,由于y=x,y=-x在定義域內(nèi)均為增函數(shù),因此f(x)為增函數(shù),從而x0時,f(x)f(0)=-1,因此滿足條件的a的取值范圍為a-1.故選d.答案:d3.(2013年重慶卷,文15)設(shè)0,不等式8x2-(8sin )x+cos 20對xr恒成立,則的取值范圍為.解析:因為不等式對一切實數(shù)恒成立,所以=64sin2-32cos 20,即2sin2-cos 20,由2sin2=1-cos 2,得1-2cos 20,所以cos 2,又0,20,2,所以20, ,2,即0,.答案:0,4.(2013年浙江卷,文16)設(shè)a,br,若x0時恒有0x4-x3+ax+b(x2-1)2,則ab=.解析:不失一般性:當(dāng)x=0時,可得0b1,當(dāng)x=1時,可得a+b=0,所以a=-b,-1a0,由x0時恒有0x4-x3+ax+bx4-2x2+1得ax+bx3-2x2+1a(x-1)(x-1)(x2-x-1)當(dāng)x1時,有ax2-x-1恒成立,所以a-1,又-1a0,所以a=-1,b=1,ab=-1.答案:-15.(2012年四川卷,文16)設(shè)a,b為正實數(shù).現(xiàn)有下列命題:若a2-b2=1,則a-b1;若-=1,則a-b1;若|-|=1,則|a-b|1;若|a3-b3|=1,則|a-b|1.其中的真命題有.(寫出所有真命題的編號)解析:中,若a,b都小于1,則a-b1,由a2-b2=(a+b)(a-b)=1,所以a-b1,故錯;中,|a-b|=|(-)(+)|=|+|-|=1,故錯;中,對于|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=1,若a,b中至少有一個大于等于1,則a2+ab+b21,則|a-b|1,若a,b都小于1,則|a-b|1,所以正確.綜上,真命題有.答案:6.(2012年陜西卷,文21)設(shè)函數(shù)f(x)=xn+bx+c(nn+,b,cr).(1)設(shè)n2,b=1,c=-1,證明:f(x)在區(qū)間(,1)內(nèi)存在唯一零點;(2)設(shè)n為偶數(shù),|f(-1)|1,|f(1)|1,求b+3c的最小值和最大值;(3)設(shè)n=2,若對任意x1,x2-1,1,有|f(x1)-f(x2)|4,求b的取值范圍.解:(1)當(dāng)b=1,c=-1,n2時,f(x)=xn+x-1,ff(1)=10,f(x)在區(qū)間(,1)內(nèi)單調(diào)遞增,f(x)在(,1)內(nèi)存在唯一的零點.(2)依題意知.畫出可行域可知b+3c在點(0,-2)處取得最小值-6.在點(0,0)處取得最大值0,因而b+3c的最小值為-6,最大值為0.(3)當(dāng)n=2時,f(x)=x2+bx+c,對任意x1,x2-1,1都有|f(x1)-f(x2)|4等價于f(x)在-1,1上的最大值與最小值之差m4,據(jù)此分類討論如下:若1,即|b|2時,m=|f(1)-f(-1)|=2|b|4與題設(shè)矛盾.若-1-0,即00”是“x+2”的()(a)充分但不必要條件(b)必要但不充分條件(c)充分且必要條件(d)既不充分也不必要條件解析:當(dāng)x0時,x+2=2.因為x,同號,所以若x+2,則x0, 0.所以x0是x+2成立的充要條件.選c.答案:c2.(2012安徽示范高中聯(lián)考)若a0,b0,且a+b=2,則下列不等式恒成立的是()(a)1 (b)+2(c)1(d)a2+b22解析:由2=a+b2得1,ab1,所以選項a、c不恒成立,+= =2,選項b也不恒成立,a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab2恒成立.故選d.答案:d考點二 利用基本不等式求最值1.(2012鄭州質(zhì)檢)若ab0,則代數(shù)式a2+的最小值為()(a)2(b)3(c)4(d)5解析:a2+a2+=a2+4,當(dāng)且僅當(dāng)即a=,b=時,等號成立.故選c.答案:c2.(2012武漢質(zhì)檢)雙曲線-=1(a0,b0)的離心率為2,則的最小值為()(a)(b)(c)2 (d)1解析:已知雙曲線的離心率是2,故2=,解得=,所以=a+,當(dāng)且僅當(dāng)a2=時等號成立,故最小值是.故選a.答案:a3.(2012湖北八校聯(lián)考)若點p(a,b)在直線x+y=2上,且在第一象限內(nèi),則ab+的最小值為()(a)2(b)3(c)4(d)2解析:由題意得a+b=2(a0,b0),由2=a+b2,得0q0,則提價多的方案是.解析:設(shè)原價為1,則提價后的價格:方案甲:(1+p%)(1+q%),乙:(1+%)2,因為+=1+%,因為pq0,所以1+%,即(1+p%)(1+q%)0,b0)被圓x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦長為4,則+的最小值為()(a) (b)(c)+(d) +2解析:圓的標準方程為(x+1)2+(y-2)2=4,所以圓心坐標為(-1,2),半徑為r=2.因為直線被圓截得的弦長為4,所以直線ax-by+2=0過圓心,所以-a-2b+2=0,即a+2b=2,所以+b=1,所以+=(+)(+b)=+1+2=+.當(dāng)且僅當(dāng)=,a=b時取等號,所以+的最小值為+.故選c.答案:c2.(2012年高考重慶卷)若函數(shù)f(x)=x+ (x2)在x=a處取最小值,則a等于()(a)1+(b)1+(c)3(d)4解析:當(dāng)x2時,x-20,f(x)=x-2+22+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x-2=(x2),即x=3時取等號,即當(dāng)f(x)取得最小值時,x=3,即a=3.故選c.答案:c3.(2013北京通州區(qū)期末)若x+10,則x+的最小值為.解析