高三數學一輪復習 第二章 函數 第四節(jié) 二次函數與冪函數課件 文.ppt

文數課標版 第四節(jié)二次函數與冪函數 1 二次函數 1 二次函數的定義形如 f x ax2 bx c a 0 的函數叫做二次函數 2 二次函數的三種表示形式 i 一般式 f x ax2 bx c a 0 教材研讀 ii 頂點式 f x a x m 2 n a 0 iii 兩根式 f x a x x1 x x2 a 0 3 二次函數y ax2 bx c a 0 的圖象和性質 2 冪函數 1 冪函數的定義形如 y x 的函數稱為冪函數 其中x是 自變量 為 常數 2 五種常見冪函數的圖象 3 冪函數的性質 i 當 0時 冪函數y x 有下列性質 a 圖象都通過點 0 0 1 1 b 在第一象限內 函數值隨x的增大而增大 ii 當 0時 冪函數y x 有下列性質 a 圖象都通過點 1 1 b 在第一象限內 函數值隨x的增大而減小 4 五種常見冪函數的性質 判斷下列結論的正誤 正確的打 錯誤的打 1 二次函數y ax2 bx c a 0 x a b 的最值一定是 2 二次函數y ax2 bx c a 0 x r不可能是偶函數 3 在y ax2 bx c a 0 中 a決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標系中的開口大小 4 函數y 2是冪函數 5 如果冪函數的圖象與坐標軸相交 則交點一定是原點 6 當n 0時 冪函數y xn是定義域上的減函數 1 已知冪函數y f x 的圖象經過點 則f 2 a b 4c d 答案c設f x x 圖象過點 f 4 4 解得 f 2 故選c 2 若四個冪函數y xa y xb y xc y xd在同一坐標系中的圖象如圖 則a b c d的大小關系是 a d c b ab a b c dc d c a bd a b d c答案b根據冪函數的性質及圖象知選b 3 已知函數f x ax2 x 5的圖象在x軸上方 則a的取值范圍是 a b c d 答案c 函數f x ax2 x 5的圖象在x軸上方 解之得a 4 已知f x 4x2 mx 5在 2 上是增函數 則實數m的取值范圍是 答案 16 解析因為函數f x 4x2 mx 5的單調遞增區(qū)間為 所以 2 即m 16 5 若函數y x2 3x 4的定義域為 0 m 值域為 則m的取值范圍是 答案 解析令f x y x2 3x 4 x 0 m 二次函數f x x2 3x 4圖象的對稱軸為直線x 且f f 3 f 0 4 結合圖象得m 考點一冪函數的圖象與性質典例1 1 冪函數y f x 的圖象過點 4 2 則冪函數y f x 的圖象是 2 當0 x 1時 f x x1 1 g x x0 9 h x x 2的大小關系是 考點突破 答案 1 c 2 h x g x f x 解析 1 設冪函數的解析式為y f x xa 冪函數y f x 的圖象過點 4 2 2 4a 解得a y f x 其定義域為 0 且是增函數 當0g x f x 規(guī)律總結 1 作冪函數的圖象要聯系函數的定義域 值域 單調性 奇偶性等 對于一些冪函數只要作出它在第一象限內的圖象 然后根據它的奇偶性可作出冪函數在定義域內完整的圖象 2 利用冪函數的性質可處理比較大小問題 此類問題要根據待比較的數的特征 合理引入冪函數 通過冪函數的單調性進行比較 1 1已知函數f x m2 m 1 是冪函數 且x 0 時 f x 是增函數 則m的值為 a 1b 2c 1或2d 3答案b 函數f x m2 m 1 是冪函數 m2 m 1 1 解得m 1或m 2 又 函數f x 在 0 上為增函數 m2 m 3 0 m 2 1 2設a b c 則a b c的大小關系是 答案a c b解析 y x 0 為增函數 a c y x r 為減函數 b a c b 1 3若 a 1 3 2a 則實數a的取值范圍是 答案解析易知函數y 的定義域為 0 在定義域內為增函數 所以解之得 1 a 考點二求二次函數的解析式典例2已知二次函數f x 滿足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 試確定此二次函數的解析式 解析解法一 設f x ax2 bx c a 0 依題意有解之得 所求二次函數解析式為f x 4x2 4x 7 解法二 設f x a x m 2 n a 0 f 2 f 1 拋物線的對稱軸為直線x m 又函數有最大值8 f x a 8 f 2 1 a 8 1 解之得a 4 f x 4 8 4x2 4x 7 解法三 依題意知f x 1 0的兩根為x1 2 x2 1 故可設f x 1 a x 2 x 1 a 0 即f x ax2 ax 2a 1 又函數的最大值為8 8 解之得a 4 函數解析式為f x 4x2 4x 7 方法技巧求二次函數的解析式 一般用待定系數法 其關鍵是根據已知條件恰當選擇二次函數解析式的形式 一般選擇規(guī)律如下 考點三二次函數的圖象與性質命題角度一二次函數的圖象典例3已知abc 0 則二次函數f x ax2 bx c的圖象可能是 答案d解析a項 a0 c 0 而f 0 c0 b 0 又 abc 0 c0 故b錯 c項 a 0 0 又 abc 0 c 0 而f 0 c0 0 b0 c 0 而f 0 c 0 故選d 當a 0時 f x ax2 2x的圖象的開口方向向下 且對稱軸x 0 f x ax2 2x在 0 1 上遞減 f x min f 1 a 2 綜上所述 f x min 命題角度三二次函數中恒成立問題典例5若二次函數f x ax2 bx c a 0 滿足f x 1 f x 2x 且f 0 1 1 求f x 的解析式 2 若在區(qū)間 1 1 上 不等式f x 2x m恒成立 求實數m的取值范圍 解析 1 由f 0 1得c 1 f x ax2 bx 1 又f x 1 f x 2x a x 1 2 b x 1 1 ax2 bx 1 2x 即2ax a b 2x 因此 f x x2 x 1 2 f x 2x m等價于x2 x 1 2x m 即x2 3x 1 m 0 令g x x2 3x 1 m 要使g x x2 3x 1 m 0在 1 1 上恒成立 只需使函數g x x2 3x 1 m在 1 1 上的最小值大于0即可 g x x2 3x 1 m在 1 1 上單調遞減 g x min g 1 m 1 由 m 1 0得m 1 因此滿足條件的實數m的取值范圍是 1 方法技巧1 確定二次函數圖象應關注的三個要點一是看二次項系數的符號 它確定二次函數圖象的開口方向 二是看對稱軸和最值 它確定二次函數圖象的具體位置 三是看函數圖象上的一些特殊點 如函數圖象與y軸的交點 與x軸的交點 函數圖象的最高點或最低點等 從這三個方向入手 能準確地判斷出二次函數的圖象 反之 也可以從圖象中得到如上信息 2 二次函數最值的求法二次函數的區(qū)間最值問題一般有三種情況 1 對稱軸和區(qū)間都是給定的 2 對稱軸動 區(qū)間固定 3 對稱軸定 區(qū)間變動 解決這類問題的思路是抓住 三點一軸 進行數形結合 三點指的是區(qū)間兩個端點和中點 一軸指的是對稱軸 具體方法是利用函數的單調性及分類討論的思想求解 對于 2 3 通常要分對稱軸在區(qū)間內 區(qū)間外兩大類情況進行討論 3 1 2016安徽皖北第一次聯考 已知函數f x x2 2ax 1 a在區(qū)間 0 1 上的最大值為2 則a的值為 a 2b 1或 3c 2或 3d 1或2答案d函數f x x a 2 a2 a 1圖象的對稱軸為x a 且開口向下 分三種情況討論如下 當a 0時 函數f x x2 2ax 1 a在區(qū)間 0 1 上是減函數 f x max f 0 1 a 由1 a 2 得a 1 當0 a