高考數(shù)學(xué)一輪匯總訓(xùn)練（歸納明確考點+課前自測+教師備選題+誤區(qū)警示+課后實戰(zhàn)題含詳解及模擬題）《函數(shù)及其表示 》理 新人教A版.doc

第一節(jié)函數(shù)及其表示 備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，了解映射的概念2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.1.考查方式多為選擇題或填空題2.函數(shù)的表示方法是高考的?？純?nèi)容，特別是圖象法與解析式更是高考的常客，如2012年新課標全國t10等3.分段函數(shù)是高考的重點也是熱點，常以求解函數(shù)值，由函數(shù)值求自變量以及與不等式相關(guān)的問題為主，如2012年江西t3等.歸納知識整合1函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合a，ba，b是兩個非空數(shù)集a，b是兩個非空集合對應(yīng)關(guān)系f：ab按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，對于集合a中的任意一個數(shù)x，在集合b中有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，對于集合a中的任意一個元素x在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)名稱f：ab為從集合a到集合b的一個函數(shù)對應(yīng)f：ab為從集合a到集合b的一個映射記法yf(x)，xa對應(yīng)f：ab是一個映射探究1.函數(shù)和映射的區(qū)別與聯(lián)系是什么？提示：二者的區(qū)別在于映射定義中的兩個集合是非空集合，可以不是數(shù)集，而函數(shù)中的兩個集合必須是非空數(shù)集，二者的聯(lián)系是函數(shù)是特殊的映射2函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)yf(x)，xa中，x叫做自變量，x的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f(x)|xa 叫做函數(shù)的值域顯然，值域是集合b的子集(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系3相等函數(shù)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù)探究2.若兩個函數(shù)的定義域與值域都相同，它們是否是同一個函數(shù)？提示：不一定如函數(shù)yx與yx1，其定義域與值域完全相同，但不是同一個函數(shù)；再如ysin x與ycos x，其定義域都為r，值域都為1,1，顯然不是同一個函數(shù)因為定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同的兩個函數(shù)的值域也相同，所以定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同的兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)4函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的常用方法有：解析法、列表法和圖象法5分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)，分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)自測牛刀小試1(教材習(xí)題改編)給出下列五個命題，正確的有()函數(shù)是定義域到值域的對應(yīng)關(guān)系；函數(shù)f(x)；f(x)5，因這個函數(shù)的值不隨x的變化而變化，所以f(t21)也等于5；y2x(xn)的圖象是一條直線；f(x)1與g(x)x0表示同一個函數(shù)a1個b2個c3個d4個解析：選b由函數(shù)的定義知正確；錯誤；由得定義域為，所以不是函數(shù)；因為函數(shù)f(x)5為常數(shù)函數(shù)，所以f(t21)5，故正確；因為xn，所以函數(shù)y2x(xn)的圖象是一些離散的點，故錯誤；由于函數(shù)f(x)1的定義域為r，函數(shù)g(x)x0的定義域為x|x0，故錯誤綜上分析，可知正確的個數(shù)是2.2(教材習(xí)題改編)以下給出的對應(yīng)是從集合a到b的映射的有()集合ap|p是數(shù)軸上的點，集合br，對應(yīng)關(guān)系f：數(shù)軸上的點與它所代表的實數(shù)對應(yīng)集合ap|p是平面直角坐標系中的點，集合b(x，y)|xr，yr，對應(yīng)關(guān)系f：平面直角坐標系中的點與它的坐標對應(yīng)；集合ax|x是三角形，集合bx|x是圓，對應(yīng)關(guān)系f：每一個三角形都對應(yīng)它的內(nèi)切圓；集合ax|x是新華中學(xué)的班級，集合bx|x是新華中學(xué)的學(xué)生，對應(yīng)關(guān)系f：每一個班級都對應(yīng)班里的學(xué)生a1個 b2個 c3個 d4個解析：選c由于新華中學(xué)的每一個班級里的學(xué)生都不止一個，即一個班級對應(yīng)的學(xué)生不止一個，所以不是從集合a到集合b的映射3(2012江西高考)若函數(shù)f(x)則f(f(10)()alg 101 b2c1 d0解析：選bf(10)lg 101，故f(f(10)f(1)1212.4(教材習(xí)題改編)已知函數(shù)f(x)，則f(f(4)_；若f(a)2，則a_.解析：f(x)，f(4)3.f(f(4)f(3).f(a)2，即2，解得a14.答案：145(教材習(xí)題改編)ax|x是銳角，b(0,1)，從a到b的映射是“求余弦”，與a中元素60相對應(yīng)的b中的元素是_；與b中元素相對應(yīng)的a中的元素是_解析：cos 60，與a中元素60相對應(yīng)的b中的元素是.又cos 30 ，與b中元素相對應(yīng)的a中的元素是30.答案：30函數(shù)與映射的概念例1有以下判斷：(1)f(x)與g(x)表示同一個函數(shù)(2)函數(shù)yf(x)的圖象與直線x1的交點最多有1個(3)f(x)x22x1與g(t)t22t1是同一函數(shù)(4)若f(x)|x1|x|，則f0.其中正確判斷的序號是_自主解答對于(1)，函數(shù)f(x)的定義域為x|xr且x0，而函數(shù)g(x)的定義域是r，所以二者不是同一函數(shù)；對于(2)，若x1不是yf(x)定義域內(nèi)的值，則直線x1與yf(x)的圖象沒有交點，若x1是yf(x)定義域內(nèi)的值，由函數(shù)的定義可知，直線x1與yf(x)的圖象只有一個交點，即yf(x)的圖象與直線x1最多有一個交點；對于(3)，f(x)與g(t)的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系均相同，所以f(x)與g(t)表示同一函數(shù)；對于(4)，由于f0，所以ff(0)1.綜上可知，正確的判斷是(2)(3)答案(2)(3)1判斷兩個變量之間是否存在函數(shù)關(guān)系的方法要檢驗兩個變量之間是否存在函數(shù)關(guān)系，只需檢驗：(1)定義域和對應(yīng)關(guān)系是否給出；(2)根據(jù)給出的對應(yīng)關(guān)系，自變量x在其定義域中的每一個值，是否都能找到唯一的函數(shù)值y與之對應(yīng)2判斷兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)的方法判斷兩個函數(shù)是否相同，要先看定義域是否一致，若定義域一致，再看對應(yīng)法則是否一致，由此即可判斷1(1)以下給出的同組函數(shù)中，是否表示同一函數(shù)？為什么？f1：y；f2：y1.f1：yf2：xx11x2x2y123f1：y2x；f2：如圖所示解：不同函數(shù)f1(x)的定義域為xr|x0，f2(x)的定義域為r.同一函數(shù)x與y的對應(yīng)關(guān)系完全相同且定義域相同，它們是同一函數(shù)的不同表示方式同一函數(shù)理由同.(2)已知映射f：ab.其中abr，對應(yīng)關(guān)系f：xyx22x，對于實數(shù)kb，在集合a中不存在元素與之對應(yīng)，則k的取值范圍是()ak1bk1ck1dk1解析：選a由題意知，方程x22xk無實數(shù)根，即x22xk0無實數(shù)根所以4(1k)1時滿足題意.求函數(shù)的解析式例2(1)已知f(x1)x24x1，求f(x)的解析式(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x1)f(x)2x9.求f(x)自主解答(1)法一：(換元法)設(shè)x1t，則xt1，f(t)(t1)24(t1)1，即f(t)t22t2.所求函數(shù)為f(x)x22x2.法二：(配湊法)f(x1)x24x1(x1)22(x1)2，所求函數(shù)為f(x)x22x2.(2)(待定系數(shù)法)由題意，設(shè)函數(shù)為f(x)axb(a0)，3f(x1)f(x)2x9，3a(x1)3baxb2x9，即2ax3a2b2x9.由恒等式性質(zhì)，得解得a1，b3.所求函數(shù)解析式為f(x)x3.若將本例(1)中“f(x1)x24x1”改為“flg x”，如何求解？解：令1t，x0，t1且x.f(t)lg，即f(x)lg(x1) 求函數(shù)解析式的常用方法(1)配湊法：由已知條件f(g(x)f(x)，可將f(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式；(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法；(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x)的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍；(4)解方程組法：已知關(guān)于f(x)與f或f(x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程求出f(x)2給出下列兩個條件：(1)f(1)x2；(2)f(x)為二次函數(shù)且f(0)3，f(x2)f(x)4x2.試分別求出f(x)的解析式解：(1)令t 1，t1，x(t1)2.則f(t)(t1)22(t1)t21，f(x)x21(x1)(2)設(shè)f(x)ax2bxc，又f(0)c3.f(x)ax2bx3，f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2.解得f(x)x2x3.分段函數(shù)求值例3已知函數(shù)f(x)則f(2log23)的值為()a.b.c.d.解析2log234，f(2log23)f(3log23)3log23log23.答案a解決分段函數(shù)求值問題的方法(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值時，應(yīng)根據(jù)所給自變量的大小選擇相應(yīng)段的解析式求解，有時每段交替使用求值(2)若給出函數(shù)值或函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量值是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍，做到分段函數(shù)分段解決3已知函數(shù)f(x)若f(f(0)4a，則實數(shù)a等于()a. b.c2 d9解析：選cxf(a)，則實數(shù)a的取值范圍是()a(1,0)(0,1)b(，1)(1，)c(1,0)(1，) d(，1)(0,1)解析：選c當a0時，f(a)f(a)，log2alogalog2 .a，得a1.當af(a)，log(a)log2(a)log.a得1a4，則x的取值范圍是_解析：當x4得2x4，即x4得x24，所以x2或x2.綜上，x的取值范圍是x2.答案：(，2)(2，)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1下列各組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的是()ay與ybyln ex與yeln xcy與yx3dyx0與y解析：選dyx，y|x|，故y與y不表示相等函數(shù)；b、c選項中的兩函數(shù)定義域不同；d選項中的兩函數(shù)是同一個函數(shù)2設(shè)a0,1,2,4，b，則下列對應(yīng)關(guān)系能構(gòu)成a到b的映射的是()af：xx31bf：x(x1)2cf：x2x1 df：x2x解析：選c對于a，由于集合a中x0時，x311b，即a中元素0在集合b中沒有元素與之對應(yīng)，所以選項a不符合；同理可知b、d兩選項均不能構(gòu)成a到b的映射，c符合3已知函數(shù)f(x)則f(f(10)()a. b.c1 d解析：選a依題意可知f(10)lg 101，f(1)212.4(2013杭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)f(1)2，則a()a3 b3c1 d1解析：選df(a)f(1)2，且f(1) 1，f(a)1，當a0時，f(a) 1，a1；當a0時，f(a) 1，a1.5已知函數(shù)f(x)滿足f(x)2f(3x)x2，則f(x)的解析式為()af(x)x212x18 bf(x)x24x6cf(x)6x9 df(x)2x3解析：選b由f(x)2f(3x)x2可得f(3x)2f(x)(3x)2，由以上兩式解得f(x)x24x6.6(2013泰安模擬)具有性質(zhì)：ff(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負”交換的函數(shù)，下列函數(shù)：f(x)x；f(x)x；f(x)滿足“倒負”變換的函數(shù)是()abcd只有解析：選bfxf(x)滿足fxf(x)不滿足0x1時，ff(x)滿足二、填空題7已知fx2，則函數(shù)f(3)_.解析：fx222，f(x)x22.f(3)32211.答案：118若f(ab)f(a)f(b)且f(1)1，則_.解析：令b1，f(1)1，2 011.答案：2 0119已知函數(shù)f(x)則滿足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范圍是_解析：畫出f(x)的圖象，如圖由圖象可知，若f(1x2)f(2x)，則即得x(1，1)答案：(1，1)三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10已知f(x)x21，g(x)(1)求f(g(2)和g(f(2)的值；(2)求f(g(x)和g(f(x)的解析式解：(1)由已知，g(2)1，f(2)3，因此f(g(2)f(1)0，g(f(2)g(3)2.(2)當x0時，g(x)x1，故f(g(x)(x1)21x22x；當x1或x0，故g(f(x)f(x)1x22；當1x1時，f(x)2x5.解：(1)設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)f(0)1，c1.把f(x)的表達式代入f(x1)f(x)2x，有a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x.2axab2x.a1，b1.f(x)x2x1.(2)由x2x12x5，即x23x40，解得x4或x4或x112規(guī)定t為不超過t的最大整數(shù)，例如12.612，3.54，對任意實數(shù)x，令f1(x)4x，g(x)4x4x，進一步令f2(x)f1g(x)(1)若x，分別求f1(x)和f2(x)；(2)若f1(x)1，f2(x)3同時滿足，求x的取值范圍解：(1)x時，4x，f1(x)1.g(x).f2(x)f1g(x)f133.(2)f1(x)4x1，g(x)4x1，f2(x)f1(4x1)16x43.x0，對應(yīng)關(guān)系f：對p中三角形求面積與集合q中元素對應(yīng)解析：對于(1)，集合p中元素0在集合q中沒有對應(yīng)元素，故(1)不是函數(shù)；對于(3)集合p