狀態(tài)和狀態(tài)空間模型ppt課件.ppt

狀態(tài)和狀態(tài)空間模型 1 狀態(tài)和狀態(tài)空間模型系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是建立在狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上的 因此 對(duì)這些基本概念進(jìn)行嚴(yán)格的定義和相應(yīng)的討論 必須準(zhǔn)確掌握和深入理解 狀態(tài)狀態(tài)變量狀態(tài)空間狀態(tài)空間模型 2 狀態(tài)空間的基本概念下面將給出動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)空間的概念 主要講授內(nèi)容為 系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量系統(tǒng)的狀態(tài)空間 3 1 系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量動(dòng)態(tài) 亦稱動(dòng)力學(xué) 系統(tǒng)的 狀態(tài) 這個(gè)詞的字面意思就是指系統(tǒng)過(guò)去 現(xiàn)在將來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀況 正確理解 狀態(tài) 的定義與涵義 對(duì)掌握狀態(tài)空間分析方法十分重要 狀態(tài) 的定義如下 定義2 1動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài) 是指能夠完全描述系統(tǒng)時(shí)間域動(dòng)態(tài)行為的一個(gè)最小變量組 該變量組的每個(gè)變量稱為狀態(tài)變量 該最小變量組中狀態(tài)變量個(gè)數(shù)稱為系統(tǒng)的階數(shù) 4 狀態(tài) 定義的三要素完全描述 即給定描述狀態(tài)的變量組在初始時(shí)刻 t t0 的值和初始時(shí)刻后 t t0 的輸入 則系統(tǒng)在任何瞬時(shí) t t0 的行為 即系統(tǒng)的狀態(tài) 就可完全且唯一的確定 動(dòng)態(tài)時(shí)域行為 最小變量組 即描述系統(tǒng)狀態(tài)的變量組的各分量是相互獨(dú)立的 減少變量 描述不全 增加則一定存在線性相關(guān)的變量 冗余的變量 毫無(wú)必要 要掌握喔 5 若要完全描述n階系統(tǒng) 則其最小變量組必須由n個(gè)變量 即狀態(tài)變量 所組成 一般記這n個(gè)狀態(tài)變量為x1 t x2 t xn t 若以這n個(gè)狀態(tài)變量為分量 構(gòu)成一個(gè)n維變量向量 則稱這個(gè)向量為狀態(tài)變量向量 簡(jiǎn)稱為狀態(tài)向量 并可表示如下 圖2 1多輸入多輸出系統(tǒng)示意圖 6 狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性行為的變量 它可以是能直接測(cè)量或觀測(cè)的量 也可以是不能直接測(cè)量或觀測(cè)的量 可以是物理的 甚至可以是非物理的 沒(méi)有實(shí)際物理量與之直接相對(duì)應(yīng)的抽象的數(shù)學(xué)變量 7 狀態(tài)空間 狀態(tài)變量與輸出變量的關(guān)系狀態(tài)變量是能夠完全描述系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性行為的變量 而輸出變量是僅僅描述在系統(tǒng)分析和綜合 濾波 優(yōu)化與控制等 時(shí)所關(guān)心的系統(tǒng)外在表現(xiàn)的動(dòng)態(tài)特性 并非系統(tǒng)的全部動(dòng)態(tài)特性 因此 狀態(tài)變量比輸出變量更能全面反映系統(tǒng)的內(nèi)在變化規(guī)律 可以說(shuō)輸出變量?jī)H僅是狀態(tài)變量的外部表現(xiàn) 是狀態(tài)變量的輸出空間的投影 一個(gè)子集 輸出空間 空間映射 x y 8 2 系統(tǒng)的狀態(tài)空間若以n個(gè)狀態(tài)變量x1 t x2 t xn t 為坐標(biāo)軸 就可構(gòu)成一個(gè)n維歐氏空間 并稱為n維狀態(tài)空間 記為Rn 狀態(tài)向量的端點(diǎn)在狀態(tài)空間中的位置 代表系統(tǒng)在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 隨著時(shí)間的推移 狀態(tài)不斷地變化 t t0各瞬時(shí)的狀態(tài)在狀態(tài)空間構(gòu)成一條軌跡 它稱為狀態(tài)軌線 狀態(tài)軌線如圖2 2所示 圖2 2二維空間的狀態(tài)軌線 9 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型是應(yīng)用狀態(tài)空間分析法對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)所建立的一種數(shù)學(xué)模型 它是應(yīng)用現(xiàn)代控制理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基礎(chǔ) 狀態(tài)空間模型由描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性行為的狀態(tài)方程和描述系統(tǒng)輸出變量與狀態(tài)變量間的變換關(guān)系的輸出方程所組成 下面以一個(gè)由電容 電感等儲(chǔ)能元件組成的二階RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為例 說(shuō)明狀態(tài)空間模型的建立和形式 然后再進(jìn)行一般的討論 10 例某電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的模型如圖2 3所示 試建立以電壓ui為系統(tǒng)輸入 電容器兩端的電壓uC為輸出的狀態(tài)空間模型 解1 根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)部機(jī)理列出各物理量所滿足的關(guān)系式 對(duì)本例 針對(duì)RLC網(wǎng)絡(luò)的回路電壓和節(jié)點(diǎn)電流關(guān)系 列出各電壓和電流所滿足的方程 圖2 3例2 3的RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng) 11 2 選擇狀態(tài)變量 狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)應(yīng)為獨(dú)立一階儲(chǔ)能元件 如電感和電容 的個(gè)數(shù) 對(duì)本例x1 t iL x2 t uC3 將狀態(tài)變量代入各物理量所滿足的方程 整理得一規(guī)范形式的一階矩陣微分方程組 狀態(tài)方程 每個(gè)狀態(tài)變量對(duì)應(yīng)一個(gè)一階微分方程 導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為1 非導(dǎo)數(shù)項(xiàng)列寫在方程的右邊 12 對(duì)本例 經(jīng)整理可得如下?tīng)顟B(tài)方程 寫成向量與矩陣形式為 4 列寫描述輸出變量與狀態(tài)變量之間關(guān)系的輸出方程 對(duì)本例 13 其中 5 將上述狀態(tài)方程和輸出方程列寫在一起 即為描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的狀態(tài)空間模型 14 總結(jié)出狀態(tài)空間模型的形式為 其中x為n維的狀態(tài)向量 u為r維的輸入向量 y為m維的輸出向量 A為n n維的系統(tǒng)矩陣 B為n r維的輸入矩陣 C為m n維的輸出矩陣 D為m r維的直聯(lián)矩陣 前饋矩陣 直接轉(zhuǎn)移矩陣 描述線性系統(tǒng)的主要狀態(tài)空間模型 切記 15 狀態(tài)空間模型的意義 有如下討論 狀態(tài)方程描述的是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性 其決定系統(tǒng)狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)變化 輸出方程描述的是輸出與系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量的關(guān)系 系統(tǒng)矩陣A表示系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)變量之間關(guān)聯(lián)情況 它主要決定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性 輸入矩陣B又稱為控制矩陣 它表示輸入對(duì)狀態(tài)變量變化的影響 輸出矩陣C反映狀態(tài)變量與輸出間的作用關(guān)系 直聯(lián)矩陣D則表示了輸入對(duì)輸出的直接影響 許多系統(tǒng)不存在這種直聯(lián)關(guān)系 即直聯(lián)矩陣D 0 16 上述線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可推廣至非線性系統(tǒng) 時(shí)變系統(tǒng) 1 非線性時(shí)變系統(tǒng) 其中f x u t 和g x u t 分別為如下n維和m維關(guān)于狀態(tài)向量x 輸入向量u和時(shí)間t的非線性向量函數(shù)f x u t f1 x u t f2 x u t fn x u t g x u t g1 x u t g2 x u t gm x u t 17 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 9 11 2 非線性系統(tǒng) 其中f x u 和g x u 分別為n維和m維狀態(tài)x和輸入u的非線性向量函數(shù) 這些非線性函數(shù)中不顯含時(shí)間t 即系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不隨時(shí)間變化而變化 3 線性時(shí)變系統(tǒng) 其中各矩陣為時(shí)間t的函數(shù) 隨時(shí)間變化而變化 18 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 10 11 4 線性定常系統(tǒng) 為簡(jiǎn)便 常將線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型簡(jiǎn)記為 A t B t C t D t 類似地 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型亦可簡(jiǎn)記為 A B C D 幾種簡(jiǎn)記符的意義 19 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 11 11 20 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以用結(jié)構(gòu)圖的方式表達(dá)出來(lái) 以形象說(shuō)明系統(tǒng)輸入 輸出和狀態(tài)之間的信息傳遞關(guān)系 在采用模擬或數(shù)字計(jì)算機(jī)仿真時(shí) 它是一個(gè)強(qiáng)有力的工具 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖主要有三種基本元件 積分器 加法器 比例器 其表示符如圖2 4所示 21 圖2 4系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中的三種基本元件 22 例線性時(shí)變系統(tǒng) 的結(jié)構(gòu)圖如圖2 5所示 圖2 5多輸入多輸出線性時(shí)變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 23 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖 若需要用結(jié)構(gòu)圖表示出各狀態(tài)變量 各輸入變量和各輸出變量間的信息傳遞關(guān)系 則必須根據(jù)實(shí)際的狀態(tài)空間模型 畫出各變量間的結(jié)構(gòu)圖 圖2 6表示的是狀態(tài)空間模型如下所示的雙輸入 雙輸出線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 24 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖 圖2 6雙輸入雙輸出線性定常系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 25 根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型建立被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行系統(tǒng)分析和綜合的第一步 是控制理論和工程的基礎(chǔ) 上一節(jié)討論了由電容和電感兩類儲(chǔ)能元件以及電阻所構(gòu)成的電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立 其依據(jù)為各電氣元件的物理機(jī)理及電網(wǎng)絡(luò)分析方法 這種根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理建立對(duì)象的數(shù)學(xué)模型的方法稱為機(jī)理建模 機(jī)理建模主要根據(jù)系統(tǒng)的物料和能量 電壓 電流 力和熱量等 在儲(chǔ)存和傳遞中的動(dòng)態(tài)平衡關(guān)系 以及各環(huán)節(jié) 元件的各物理量之間的關(guān)系 如電感的電壓和電流滿足的動(dòng)態(tài)關(guān)系 26 根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型 在實(shí)際工程系統(tǒng)中 許多過(guò)程和元件都具有儲(chǔ)存和傳遞能量 或信息 的能力 例如 機(jī)械動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的彈簧和運(yùn)動(dòng)中的質(zhì)量體都儲(chǔ)存有能量并能通過(guò)某種形式傳遞 化工熱力學(xué)系統(tǒng)中的物質(zhì)中的熱量的儲(chǔ)存與傳遞 化工反應(yīng)系統(tǒng)反應(yīng)物質(zhì)的物料傳遞和平衡的信息 對(duì)這些系統(tǒng) 根據(jù)其物理和化學(xué)變化的機(jī)理 由相應(yīng)描述這些變化的物理和化學(xué)的定理 定律和規(guī)律等 可得系統(tǒng)各物理量之間所滿足的動(dòng)靜態(tài)關(guān)系式 因此 在選擇適宜的狀態(tài)變量后 可建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 27 根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型 建立動(dòng)態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的主要機(jī)理 依據(jù)有 電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中回路和節(jié)點(diǎn)的電壓和電流平衡關(guān)系 電感和電容等儲(chǔ)能元件的電壓和電流之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系 機(jī)械動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的牛頓第二定律 彈性體和阻尼體的力與位移 速度間的關(guān)系 對(duì)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) 則相應(yīng)的為轉(zhuǎn)矩 角位移和角速度 化工熱力學(xué)系統(tǒng)中的熱量的傳遞與儲(chǔ)存 化工反應(yīng)工程系統(tǒng)中參加反應(yīng)的物料的傳遞和平衡關(guān)系 經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的投入產(chǎn)出方程 28 根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型 建立狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵在于狀態(tài)變量的選取 它是建立狀態(tài)空間模型的前提狀態(tài)變量的主要選取辦法系統(tǒng)儲(chǔ)能元件的輸出系統(tǒng)輸出及其輸出變量的各階導(dǎo)數(shù)上述狀態(tài)變量的數(shù)學(xué)投影 使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標(biāo)準(zhǔn)形式的變量 29 根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型 下面通過(guò)常見(jiàn)的剛體力學(xué)系統(tǒng) 流體力學(xué)系統(tǒng) 典型化工 熱工 過(guò)程機(jī)電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)討論如何建立狀態(tài)空間模型 30 剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng) 1 剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述圖2 7表示由彈簧 質(zhì)量體 阻尼器組成的剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的物理模型 試建立以外力u t 為系統(tǒng)輸入 質(zhì)量體位移y t 為輸出的狀態(tài)空間模型 31 剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng) 2 4 解對(duì)許多實(shí)際系統(tǒng) 由于對(duì)系統(tǒng)的各種物理量的初始值或絕對(duì)值難于了解 一般將對(duì)物理量?jī)H考慮在其相對(duì)于初始狀況之后的相對(duì)值 對(duì)本例的剛體力學(xué)系統(tǒng) 一般先假設(shè)在外力u t 作用于小車之前 小車已處于平衡態(tài) 下面僅考慮外力加入后 對(duì)小車運(yùn)動(dòng)的影響 系統(tǒng)的受力情況如下圖所示 32 2 選擇狀態(tài)變量 對(duì)機(jī)械動(dòng)力學(xué)系統(tǒng) 常常將位移對(duì)本例 有 剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng) 3 4 1 應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)部機(jī)理列出各物理量 如本例的力 位置和速度 所滿足的關(guān)系式 由牛頓第二定律有 33 剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng) 4 建立輸出方程y x15 經(jīng)整理 可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型 3 將狀態(tài)變量代入運(yùn)動(dòng)方程 34 圖2 8為串聯(lián)的兩個(gè)水槽 其截面積分別為A1和A2 當(dāng)閥門的開(kāi)度不變 在平衡工作點(diǎn)附近閥門阻力系數(shù)分別可視為常量R1和R2 圖中Qi Q1和Qo為流量 h1和h2為水槽的水面高度 試求輸入為Qi 輸出為h2時(shí)的狀態(tài)空間模型 35 流體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng) 2 5 下面在討論本例的解之前 先簡(jiǎn)單總結(jié)一下如下流量與壓力 壓強(qiáng) 的關(guān)系 解對(duì)本例的流體力學(xué)系統(tǒng) 假設(shè)對(duì)兩個(gè)水槽的流入和流出的水流體已處于平衡 下面僅考慮流量Qi的變化量 Qi引起的水槽水位的變化 壓力 流量 電路 電壓 電流 流體 壓力 液位差 液體流量 氣體 氣壓差 壓強(qiáng) 氣流量 風(fēng)量 壓力 流量 電阻 閥門阻力系數(shù) 風(fēng)阻力系數(shù) 36 流體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng) 3 5 1 機(jī)理分析 根據(jù)水槽中所盛的水量的平衡關(guān)系和流量與壓力 水面高度 液位差 的關(guān)系 有 其中 代表平衡工作點(diǎn)附近的變化量 將上述方程的中間變量 Q1和 Qo消去 則有 37 典型化工 熱工 過(guò)程 為了使化學(xué)反應(yīng)向右進(jìn)行 用蒸汽對(duì)反應(yīng)器內(nèi)的溶液進(jìn)行加熱 蒸汽加熱量為q t 試以料液的流量Q t 和蒸汽加熱量q t 為輸入 容器內(nèi)的液體的溫度 t 和濃度CA t 為輸出 建立狀態(tài)空間模型 38 典型化工 熱工 過(guò)程 解1 機(jī)理分析 在化學(xué)反應(yīng)中 一般應(yīng)保持熱量和物料的平衡關(guān)系 因此 對(duì)整個(gè)反應(yīng)器作熱量和物料平衡 就有 其中V CP分別為容器體積 比重和比熱 k為反應(yīng)速率常數(shù) H為反應(yīng)熱 39 典型化工 熱工 過(guò)程 4 5 2 選擇狀態(tài)變量 顯然 選擇容器內(nèi)的液體的溫度 t 和濃度CA t 為狀態(tài)變量是合理的 因此 令x1 t t x2 t CA t 3 將狀態(tài)變量代入上述微分方程 則有如下?tīng)顟B(tài)方程 40 典型化工 熱工 過(guò)程 上述狀態(tài)空間模型表示的是一個(gè)雙輸入雙輸出的非線性定常系統(tǒng) 和輸出方程 41 機(jī)電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng) 4 機(jī)電系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述圖2 10表示某電樞控制的直流電動(dòng)機(jī) 其中Ra和La為電樞回路總電阻和總電感 J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 負(fù)載為摩擦系數(shù)為f的阻尼摩擦 試列寫以電樞電壓u t 為輸入 軸的角位移 t 為輸出的狀態(tài)空間模型 42 機(jī)電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng) 解1 電動(dòng)機(jī)勵(lì)磁電流不變 鐵心工作在非飽和區(qū) 按照?qǐng)D2 10所描述的電動(dòng)機(jī)系統(tǒng) 可以寫出如下主回路電壓方程和軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程 其中Ea和M分別