高中數(shù)學(xué) 精講優(yōu)練課型 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 2.3.3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算課件 新人教版必修4.pptVIP

2 3 2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示2 3 3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 知識(shí)提煉 1 平面向量正交分解的定義把一個(gè)平面向量分解為兩個(gè) 的向量 2 平面向量的坐標(biāo)表示 1 基底 在平面直角坐標(biāo)系中 分別取與x軸 y軸方向相同的兩個(gè) i j作為 互相垂直 單位向量 基底 2 坐標(biāo) 對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a 有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)x y 使得a 則有序?qū)崝?shù)對(duì) x y 叫做向量a的坐標(biāo) 3 坐標(biāo)表示 a x y 4 特殊向量的坐標(biāo) i j 0 0 0 xi yj 1 0 0 1 3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)向量a x1 y1 b x2 y2 r 則有下表 和 差 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x1 y1 終點(diǎn) 起點(diǎn) x2 x1 y2 y1 即時(shí)小測(cè) 1 思考下列問(wèn)題 1 與坐標(biāo)軸平行的向量的坐標(biāo)有什么特點(diǎn) 提示 與x軸平行的向量的縱坐標(biāo)為0 即a x 0 與y軸平行的向量的橫坐標(biāo)為0 即b 0 y 2 若把向量平移到 則和的坐標(biāo)相同嗎 的坐標(biāo)是c點(diǎn)的坐標(biāo)嗎 提示 相同 的坐標(biāo)不是c點(diǎn)的坐標(biāo) 只有點(diǎn)b與原點(diǎn)o重合時(shí)的坐標(biāo)才是c點(diǎn)坐標(biāo) 2 如圖所示 在矩形abcd中 ac與bd交于點(diǎn)o 下列是正交分解的是 解析 選b 由于 則是正交分解 3 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi) 已知i j是兩個(gè)互相垂直的單位向量 若a i 2j 則向量用坐標(biāo)表示a 解析 由于i j是兩個(gè)互相垂直的單位向量 所以a 1 2 答案 1 2 4 若a 2 3 b 3 1 則a b 解析 a b 2 3 3 1 1 4 答案 1 4 5 若點(diǎn)m 3 5 點(diǎn)n 2 1 用坐標(biāo)表示向量 解析 2 1 3 5 1 4 答案 1 4 知識(shí)探究 知識(shí)點(diǎn)1平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示觀察圖形 回答下列問(wèn)題 問(wèn)題1 點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)有什么區(qū)別 問(wèn)題2 相等向量的坐標(biāo)相同嗎 相等向量的起點(diǎn) 終點(diǎn)一定相同嗎 總結(jié)提升 1 解讀平面向量的坐標(biāo)表示 1 向量的坐標(biāo)只與始點(diǎn)和終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān) 而與它們的具體位置無(wú)關(guān) 2 向量確定后 向量的坐標(biāo)就被確定了 3 引入向量的坐標(biāo)表示以后 向量就有兩種表示方法 一種是幾何法 即用向量的長(zhǎng)度和方向表示 另一種是坐標(biāo)法 即用一對(duì)有序?qū)崝?shù)表示 有了向量的坐標(biāo)表示 就可以將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決 2 辨析點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo) 1 平面向量的坐標(biāo)只有當(dāng)起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí) 向量的坐標(biāo)才與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同 2 書(shū)寫(xiě)不同 向量a x y 中間用等號(hào)連接 而點(diǎn)的坐標(biāo)a x y 中間沒(méi)有等號(hào) 3 在平面直角坐標(biāo)系中 符號(hào) x y 可表示一個(gè)點(diǎn) 也可表示一個(gè)向量 敘述中應(yīng)指明點(diǎn) x y 或向量 x y 4 給定一個(gè)向量 它的坐標(biāo)是唯一的 對(duì)應(yīng)一對(duì)實(shí)數(shù) 由于向量可以平移 故以這對(duì)實(shí)數(shù)為坐標(biāo)的向量有無(wú)窮多個(gè) 注意 相等向量的坐標(biāo)是相同的 但是兩個(gè)相等向量的起點(diǎn) 終點(diǎn)的坐標(biāo)卻可以不同 知識(shí)點(diǎn)2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算觀察如圖所示內(nèi)容 回答下列問(wèn)題 問(wèn)題1 兩個(gè)向量的和與差 實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)如何運(yùn)算 問(wèn)題2 求向量的坐標(biāo)需要哪些向量 問(wèn)題3 向量可以平移 平移前后它的坐標(biāo)發(fā)生變化嗎 總結(jié)提升 1 兩個(gè)向量和 差 的坐標(biāo)由于向量a x1 y1 b x2 y2 等價(jià)于a x1i y1j b x2i y2j 則a b x1i y1j x2i y2j x1 x2 i y1 y2 j 即a b x1 x2 y1 y2 同理可得a b x1 x2 y1 y2 這就是說(shuō) 兩個(gè)向量和 差 的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和 差 2 實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)由a x y 可得a xi yj 則 a xi yj xi yj 從而 a x y 這就是說(shuō)實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo) 題型探究 類型一平面向量的坐標(biāo)表示 典例 1 已知基向量i 1 0 j 0 1 m 4i j 則m的坐標(biāo)是 a 4 1 b 4 1 c 4 1 d 4 1 2 如圖 取與x軸 y軸同向的兩個(gè)單位向量i j作為基底 分別用i j表示并求出它們的坐標(biāo) 解題探究 1 典例1中向量i與向量j有什么關(guān)系 提示 向量i與向量j垂直 2 典例2中 點(diǎn)a b的坐標(biāo)分別是多少 如何用表示 提示 a 6 2 b 2 4 解析 1 選c 因?yàn)橄蛄縤與向量j垂直 m 4i j 所以m 4 1 2 由圖形可知 6i 2j 2i 4j 4i 2j 它們的坐標(biāo)表示為 6 2 2 4 4 2 方法技巧 求點(diǎn)和向量坐標(biāo)的常用方法 1 求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) 可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置的坐標(biāo) 2 求一個(gè)向量時(shí) 可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo) 再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo) 變式訓(xùn)練 已知邊長(zhǎng)為1的正方形abcd中 ab與x軸正半軸成30 角 則 解析 由題知b d分別是30 120 角的終邊與單位圓的交點(diǎn) 設(shè)b x1 y1 d x2 y2 由三角函數(shù)的定義 得x1 cos30 y1 sin30 所以x2 cos120 y2 sin120 所以所以答案 補(bǔ)償訓(xùn)練 在直角坐標(biāo)系xoy中 向量a b c的方向如圖所示 且 a 2 b 3 c 4 分別計(jì)算出它們的坐標(biāo) 解題指南 題目中給出了向量a b c的模以及與坐標(biāo)軸的夾角 要求向量的坐標(biāo) 先將向量正交分解 把它們分解為橫 縱坐標(biāo)的形式 然后寫(xiě)出其相應(yīng)的坐標(biāo) 解析 設(shè)a a1 a2 b b1 b2 c c1 c2 則a1 a cos45 2 a2 a sin45 2 b1 b cos120 3 b2 b sin120 3 c1 c cos 30 4 c2 c sin 30 4 因此a b c 2 2 類型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 典例 1 已知平面上三個(gè)點(diǎn)a 4 6 b 7 5 c 1 8 則 2 已知a 1 2 b 3 4 求向量a b a b 3a 4b的坐標(biāo) 解題探究 1 典例1中 的坐標(biāo)分別為多少 提示 3 1 3 2 2 典例2中如何求向量和 差 數(shù)乘的坐標(biāo) 提示 直接利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解 解析 1 因?yàn)閍 4 6 b 7 5 c 1 8 所以 7 5 4 6 3 1 1 8 4 6 3 2 3 1 3 2 6 3 2 3 1 3 2 6 2 答案 6 3 2 a b 1 2 3 4 2 6 a b 1 2 3 4 4 2 3a 4b 3 1 2 4 3 4 15 10 延伸探究 若典例1中條件不變 則的坐標(biāo)是多少 解析 因?yàn)閍 4 6 b 7 5 c 1 8 所以 7 5 1 8 6 3 4 6 7 5 3 1 所以 方法技巧 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧 1 若已知向量的坐標(biāo) 則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和 差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行 2 若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo) 則可先求出向量的坐標(biāo) 然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算 3 向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行 變式訓(xùn)練 1 若向量 2 3 4 7 則 a 2 4 b 3 4 c 6 10 d 6 10 解析 選a 因?yàn)?2 3 4 7 2 已知a 1 2 b 2 1 求 1 2a 3b 2 a 3b 3 解析 1 2a 3b 2 1 2 3 2 1 2 4 6 3 4 7 2 a 3b 1 2 3 2 1 1 2 6 3 7 1 補(bǔ)償訓(xùn)練 如圖所示 已知 abc a 7 8 b 3 5 c 4 3 m n d分別是ab ac bc的中點(diǎn) 且mn與ad交于點(diǎn)f 求的坐標(biāo) 解析 因?yàn)閍 7 8 b 3 5 c 4 3 所以 3 7 5 8 4 3 4 7 3 8 3 5 又因?yàn)閐是bc的中點(diǎn) 所以因?yàn)閙 n分別為ab ac的中點(diǎn) 所以f為ad的中點(diǎn) 所以 類型三由相等向量求坐標(biāo) 典例 1 2015 江蘇高考 已知向量a 2 1 b 1 2 若ma nb 9 8 m n r 則m n的值為 2 已知a 2 4 b 4 6 若則的坐標(biāo)為 3 已知點(diǎn)o 0 0 a 1 2 b 4 5 及 1 t為何值時(shí) 點(diǎn)p在x軸上 點(diǎn)p在y軸上 2 四邊形oabp能為平行四邊形嗎 若能 求出t值 若不能 說(shuō)明理由 解題探究 1 典例1中如何利用ma nb 9 8 這個(gè)條件 提示 先求出ma nb的坐標(biāo) 然后根據(jù)相等向量的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等求解m n 2 典例2中能確定哪些點(diǎn)的坐標(biāo) 提示 由可確定點(diǎn)c的坐標(biāo) 由可確定點(diǎn)d的坐標(biāo) 3 典例3中點(diǎn)p在x軸上 在y軸上的坐標(biāo)有何特點(diǎn) 提示 點(diǎn)p在x軸上 縱坐標(biāo)為0 在y軸上橫坐標(biāo)為0 解析 1 因?yàn)閍 2 1 b 1 2 所以ma nb m 2 1 n 1 2 2m n m 2n 又因?yàn)閙a nb 9 8 所以解得所以m n 3 答案 3 2 設(shè)c x y 則由得 x 2 y 4 6 2 解得x 7 y 7 即點(diǎn)c的坐標(biāo)為c 7 7 又設(shè)d m n 則由得 m 4 n 6 6 2 解得m 4 n 即d點(diǎn)的坐標(biāo)為 4 故答案 3 1 1 2 t 3 3 1 3t 2 3t 若點(diǎn)p在x軸上 則2 3t 0 所以t 若點(diǎn)p在y軸上 則1 3t 0 所以t 2 1 2 3 3t 3 3t 若四邊形oabp為平行四邊形 則所以該方程組無(wú)解 故四邊形oabp不能成為平行四邊形 延伸探究 1 改變問(wèn)法 若本例3條件不變 問(wèn)t為何值時(shí) b為線段ap的中點(diǎn) 解析 由得所以當(dāng)t 2時(shí) b為線段ap的中點(diǎn) 2 改變問(wèn)法 若本例3條件不變 問(wèn)t為何值時(shí) 點(diǎn)p在第二象限 解析 若點(diǎn)p在第二象限 則所以 方法技巧 坐標(biāo)形式下向量相等的條件及其應(yīng)用 1 條件 相等向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等 2 應(yīng)用 利用坐標(biāo)形式下向量相等的條件 可以建立相等關(guān)系 由此可求某些參數(shù)的值 變式訓(xùn)練 2015 泰安高一檢測(cè) 已知向量 3 4 6 3 2 6 1 若四邊形abcd為平行四邊形 求d點(diǎn)坐標(biāo) 2 若求實(shí)數(shù)的值 解析 1 設(shè)d點(diǎn)坐標(biāo)為 m n 則 m n 因?yàn)?3 4 6 3 2 6 所以 6 3 3 4 3 1 2 6 m n 2 m 6 n 又因?yàn)樗倪呅蝍bcd為平行四邊形 所以所以所以所以d點(diǎn)坐標(biāo)為 1 7 2 因?yàn)樗?3 4 x 6 3 y 2 6 6x 2y 3x 6y 所以解得所以 補(bǔ)償訓(xùn)練 已知a 1 2 b 2 1 c 3 2 和d 2 3 以為一組基底來(lái)表示 解析 因?yàn)?1 3 2 4 3 5 4 2 5 1 所以 3 5 4 2 5 1 12 8 根據(jù)平面向量基本定理 一定存在實(shí)數(shù)m n 使得 所以 12 8 m 1 3 n 2 4 也就是 12 8 m 2n 3m 4n 即解得m 32 n 22 所以 易錯(cuò)案例向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo) 典例 2015 湛江高一檢測(cè) 已知點(diǎn)a 2 3 b 5 4 c 7 10 若第三象限的點(diǎn)p滿足則實(shí)數(shù) 的取值范圍為 失誤案例 錯(cuò)解分析 分析解題過(guò)程 你知道錯(cuò)在哪里嗎 提示 錯(cuò)誤的根本原因是混淆了向量的坐標(biāo)與點(diǎn)p的坐標(biāo) 誤認(rèn)為 3 5 1 7 為p的