高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十四章 系列4選講 14.3 課時(shí)1 坐標(biāo)系課件 理.ppt

14 3坐標(biāo)系與參數(shù)方程 課時(shí)1坐標(biāo)系 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 題型分類深度剖析 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 1 平面直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)p x y 是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn) 在變換 的作用下 點(diǎn)p x y 對(duì)應(yīng)到點(diǎn)p x y 稱 為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換 簡(jiǎn)稱伸縮變換 知識(shí)梳理 1 答案 2 極坐標(biāo)系 1 極坐標(biāo)與極坐標(biāo)系的概念在平面上取一個(gè)定點(diǎn)o 自點(diǎn)o引一條射線ox 同時(shí)確定一個(gè)長(zhǎng)度單位和計(jì)算角度的正方向 通常取逆時(shí)針方向?yàn)檎较?這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系 點(diǎn)o稱為極點(diǎn) 射線ox稱為極軸 平面內(nèi)任一點(diǎn)m的位置可以由線段om的長(zhǎng)度 和從射線ox到射線om的角度 來刻畫 如圖所示 這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(duì) 稱為點(diǎn)m的極坐標(biāo) 稱為點(diǎn)m的 稱為點(diǎn)m的 由極徑的意義可知 0 當(dāng)極角 的取值范圍是 0 2 時(shí) 平面上的點(diǎn) 除去極點(diǎn) 就與極坐標(biāo) 0 建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 我們?cè)O(shè)定 極點(diǎn)的極坐標(biāo)中 極徑 0 極角 可取任意角 極徑 極角 答案 2 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)m為平面內(nèi)的一點(diǎn) 它的直角坐標(biāo)為 x y 極坐標(biāo)為 由圖可知下面關(guān)系式成立 這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式 或 答案 3 常見曲線的極坐標(biāo)方程 r 0 2 2rcos 2rsin 0 答案 cos a sin a 0 答案 過點(diǎn) 0 2 且與x軸平行的直線方程為y 2 即為 sin 2 考點(diǎn)自測(cè) 2 解析答案 1 2 3 解析答案 1 2 3 3 在以o為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中 圓 4sin 和直線 sin a相交于a b兩點(diǎn) 當(dāng) aob是等邊三角形時(shí) 求a的值 解析答案 1 2 3 返回 解由 4sin 可得x2 y2 4y 即x2 y 2 2 4 由 sin a可得y a 設(shè)圓的圓心為o y a與x2 y 2 2 4的兩交點(diǎn)a b與o構(gòu)成等邊三角形 如圖所示 由對(duì)稱性知 o ob 30 od a 1 2 3 返回 題型分類深度剖析 例1 1 以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn) x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 求線段y 1 x 0 x 1 的極坐標(biāo)方程 y 1 x化成極坐標(biāo)方程為 cos sin 1 0 x 1 線段在第一象限內(nèi) 含端點(diǎn) 題型一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 解析答案 2 在極坐標(biāo)系中 曲線c1和c2的方程分別為 sin2 cos 和 sin 1 以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) 極軸為x軸的正半軸 建立平面直角坐標(biāo)系 求曲線c1和c2交點(diǎn)的直角坐標(biāo) 解因?yàn)閤 cos y sin 由 sin2 cos 得 2sin2 cos 所以曲線c1的直角坐標(biāo)方程為y2 x 由 sin 1 得曲線c2的直角坐標(biāo)方程為y 1 解析答案 思維升華 1 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提條件 極點(diǎn)與原點(diǎn)重合 極軸與x軸的正半軸重合 取相同的單位長(zhǎng)度 2 直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易 只要運(yùn)用公式x cos 及y sin 直接代入并化簡(jiǎn)即可 而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對(duì)困難一些 解此類問題常通過變形 構(gòu)造形如 cos sin 2的形式 進(jìn)行整體代換 思維升華 1 曲線c的直角坐標(biāo)方程為x2 y2 2x 0 以原點(diǎn)為極點(diǎn) x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 求曲線c的極坐標(biāo)方程 解將x2 y2 2 x cos 代入x2 y2 2x 0 得 2 2 cos 0 整理得 2cos 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 2 求在極坐標(biāo)系中 圓 2cos 垂直于極軸的兩條切線方程 解由 2cos 得 2 2 cos 化為直角坐標(biāo)方程為x2 y2 2x 0 即 x 1 2 y2 1 其垂直于x軸的兩條切線方程為x 0和x 2 解析答案 例2將圓x2 y2 1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變 縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍 得曲線c 1 寫出曲線c的方程 解設(shè) x1 y1 為圓上的點(diǎn) 在已知變換下變?yōu)榍€c上的點(diǎn) x y 題型二求曲線的極坐標(biāo)方程 解析答案 2 設(shè)直線l 2x y 2 0與c的交點(diǎn)為p1 p2 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn) x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 求過線段p1p2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程 化為極坐標(biāo)方程 并整理得2 cos 4 sin 3 解析答案 思維升華 求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟 1 建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系 設(shè)p 是曲線上任意一點(diǎn) 2 由曲線上的點(diǎn)所適合的條件 列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑 和極角 之間的關(guān)系式 3 將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理 化簡(jiǎn) 得出曲線的極坐標(biāo)方程 思維升華 令 0 得 1 所以圓c的圓心坐標(biāo)為 1 0 于是圓c過極點(diǎn) 所以圓c的極坐標(biāo)方程為 2cos 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 例3 2015 課標(biāo)全國(guó) 在直角坐標(biāo)系xoy中 直線c1 x 2 圓c2 x 1 2 y 2 2 1 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn) x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 1 求c1 c2的極坐標(biāo)方程 解因?yàn)閤 cos y sin 所以c1的極坐標(biāo)方程為 cos 2 c2的極坐標(biāo)方程為 2 2 cos 4 sin 4 0 題型三極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 解析答案 由于c2的半徑為1 所以 c2mn為等腰直角三角形 解析答案 思維升華 1 已知極坐標(biāo)系方程討論位置關(guān)系時(shí) 可以先化為直角坐標(biāo)方程 2 在曲線的方程進(jìn)行互化時(shí) 一定要注意變量的范圍 注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性 思維升華 圓 4可化為x2 y2 16 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 返回 思想方法感悟提高 在用方程解決直線 圓和圓錐曲線的有關(guān)問題時(shí) 將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程 有助于對(duì)方程所表示的曲線的認(rèn)識(shí) 從而達(dá)到化陌生為熟悉的目的 這是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 2 在極坐標(biāo)系 0 2 中 求曲線 cos sin 1與 sin cos 1的交點(diǎn)的極坐標(biāo) 解曲線 cos sin 1化為直角坐標(biāo)方程為x y 1 sin cos 1化為直角坐標(biāo)方程為y x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 3 在極坐標(biāo)系中 已知圓 3cos 與直線2 cos 4 sin a 0相切 求實(shí)數(shù)a的值 解圓 3cos 的直角坐標(biāo)方程為x2 y2 3x 直線2 cos 4 sin a 0的直角坐標(biāo)方程為2x 4y a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 解以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) 極軸為x軸建立直角坐標(biāo)系 則曲線 2cos 的直角坐標(biāo)方程為 x 1 2 y2 1 且圓心為 1 0 因?yàn)閳A心 1 0 關(guān)于y x的對(duì)稱點(diǎn)為 0 1 所以圓 x 1 2 y2 1關(guān)于y x的對(duì)稱曲線為x2 y 1 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解對(duì)曲線c1的極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化 12sin 2 12 sin x2 y2 12y 0 即x2 y 6 2 36 對(duì)曲線c2的極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 解設(shè)p 點(diǎn)的極坐標(biāo)為 pop 為正三角形 如圖所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 8 在極坐標(biāo)系中 判斷直線 cos sin 1 0與圓 2sin 的位置關(guān)系 解直線 cos sin 1 0可化成x y 1 0 圓 2sin 可化為x2 y2 2y 即x2 y 1 2 1 故直線與圓相交 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 1 將m n p三點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 2 判斷m n p三點(diǎn)是否在一條直線上 kmn knp m n p三點(diǎn)在一條直線上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 10 在直角坐標(biāo)系xoy中 以o為極點(diǎn) x軸正半軸為極軸建立極