第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法(下).doc

4-23 在帶鋼熱軋過程中，用于保持恒定張力的控制系統(tǒng)稱為“環(huán)輪”，其典型結(jié)構(gòu)圖如圖4-47所示。環(huán)輪有一個長的臂，其末端有一卷軸，通過電機可將環(huán)輪升起，以便擠壓帶鋼。帶鋼通過環(huán)輪的典型速度為。假設(shè)環(huán)輪位移變化與帶鋼張力的變化成正比，且設(shè)濾波器時間常數(shù)可略去不計。要求：(1) 概略繪出時系統(tǒng)的根軌跡圖；(2) 確定增益的取值，使系統(tǒng)閉環(huán)極點的阻尼比。(b)圖4-47 軋鋼機控制系統(tǒng)解 本題主要研究根軌跡的繪制及系統(tǒng)參數(shù)選擇。(1) 繪系統(tǒng)根軌跡圖電機與軋輥內(nèi)回路的傳遞函數(shù)令，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，。概略繪制根軌跡圖的特征數(shù)據(jù)為：漸近線：交點與交角 分離點：由解出 。根軌跡與虛軸交點：閉環(huán)特征方程列勞思表 1 2 2.5 0.5 1.8 令，得。令代入及，解出。交點處系統(tǒng)概略根軌跡圖如圖(a)所示。 圖(a) 概略根軌跡圖(2) 確定使系統(tǒng)的在根軌跡圖上，作阻尼比線，得系統(tǒng)主導(dǎo)極點利用模值條件，得處的；分離點處的。由于，故取，可使；取，可使。(3) MATLAB驗證時，系統(tǒng)主導(dǎo)極點及增益和根軌跡分離點處系統(tǒng)增益如圖(b)所示；系統(tǒng)根軌跡圖如圖(c)所示。分別令為0.05，0.11，0.4和0.8，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖(d)所示。時，系統(tǒng)動態(tài)性能 時， 系統(tǒng)動態(tài)性能 MATLAB程序：exe423.m% 建立等效開環(huán)傳遞函數(shù)模型G=zpk(, -0 -0.5 -1 -1, 1); z=0.707;% 繪制相應(yīng)系統(tǒng)的根軌跡figure (1) rlocus(G); sgrid(z,new) % 取阻尼比為 0.707 axis(-0.5 0.1 -0.3 0.3)figure (2) K=0.0612; % 最佳阻尼比對應(yīng)的根軌跡增益 hold on; rlocus(G,K) % 阻尼比為 0.707時, 系統(tǒng)的閉環(huán)特征根 axis(-1.5 0.5 -1 1) rlocus(G); % Ka=0.05，0.11，0.4，0.8時的階躍響應(yīng)Ka=0.05;% Ka可相應(yīng)設(shè)置numc=0.5*Ka; denc=1 2.5 2 0.5 0;num, den=cloop(numc, denc); % 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)roots(den); % 系統(tǒng)閉環(huán)極點sys=tf(num, den); t=0:0.01:120;figure(3)step(sys,t); grid on; 圖(b) 確定以及分離點處的 (MATLAB)圖(c) 軋鋼機系統(tǒng)根軌跡圖 (MATLAB) (1) (2) (3) (4) 圖(d) 軋鋼機系統(tǒng)時間響應(yīng) (MATLAB)4-24 圖4-48(a)是魚鷹型傾斜旋翼飛機示意圖。既是一種普通飛機，又是一種直升機。當(dāng)飛機起飛和著陸時，其發(fā)動機位置可以如圖示那樣，使像直升機那樣垂直起降；而在起飛后，它又可以將發(fā)動機旋轉(zhuǎn)，切換到水平位置，像普通飛機一樣飛行。在直升機模式下，飛機的高度控制系統(tǒng)如圖4-48(b)所示。要求：(1) 概略繪出當(dāng)控制器增益變化時的系統(tǒng)根軌跡圖，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍；(2) 當(dāng)去時，求系統(tǒng)對單位階躍輸入的實際輸出，并確定系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間；(3) 當(dāng)，時，求系統(tǒng)對單位階躍擾動的輸出；(4) 若在和第一個比較點之間增加一個前置濾波器試重作問題(2)。(b) 控制系統(tǒng)圖4-48 V-22旋翼機的高度控制系統(tǒng)解 本題屬于應(yīng)用根軌跡法設(shè)計系統(tǒng)參數(shù)的綜合性問題，其中包括引入前置濾波器，以抵消閉環(huán)零點的不利影響，改善系統(tǒng)性能。(1) 繪制系統(tǒng)的根軌跡圖由圖4-48(b)，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)式中漸近線：交點與交角 分離點：根軌跡與虛軸交點：閉環(huán)特征方程整理得列勞思表 1 2.15 令，解得， 令，代入、及，解得， 繪出系統(tǒng)概略根軌跡圖，如圖(a)所示。 圖(a) 概略根軌跡圖由于，因此使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍為：以及。應(yīng)用MATLAB軟件包，得到系統(tǒng)根軌跡圖如圖(b)所示。 圖(b) 根軌跡圖 (MATLAB)(2) 當(dāng)時，確定系統(tǒng)單位階躍輸入響應(yīng)應(yīng)用MATLAB軟件包，得到單位階躍輸入時系統(tǒng)的輸出響應(yīng)曲線，如圖(c)-(1)中虛線所示。由圖可得， 顯然，系統(tǒng)動態(tài)性能不佳。(3) 當(dāng)時，確定系統(tǒng)單位階躍擾動響應(yīng)應(yīng)用MATLAB軟件包，得到單位階躍擾動輸入下系統(tǒng)的輸出響應(yīng)曲線，如圖(c)-(2)所示。由圖可見，擾動響應(yīng)是振蕩的，但最大振幅約為0.003，故可略去不計。 (1) 單位階躍輸入響應(yīng) (2) 單位階躍擾動響應(yīng)圖(c) V-22旋翼機的高度時間響應(yīng) (MATLAB)(4) 有前置濾波器時，系統(tǒng)的單位階躍輸入響應(yīng)（）無前置濾波器時，閉環(huán)傳遞函數(shù)有前置濾波器時，閉環(huán)傳遞函數(shù)可見，與有相同的極點，但有和兩個閉環(huán)零點，雖可加快響應(yīng)速度，但卻極大增加了振蕩幅度，使超調(diào)量過大；而的閉環(huán)零點被前置濾波器完全對消，因而最終改善了系統(tǒng)動態(tài)性能。應(yīng)用MATLAB軟件包，得有前置濾波器時系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖(c)-(1)中實線所示，其， MATLAB程序：exe424.m% 建立等效開環(huán)傳遞函數(shù)模型G=zpk(-0.5 -1, 0 -0.05 -0.1 -2, 1); % 繪制相應(yīng)系統(tǒng)的根軌跡figure rlocus(G); axis( -1.5,1.5,-1.5,1.5 ); % 系統(tǒng)輸入時間響應(yīng)% 原系統(tǒng)K=280;num1=K 1.5*K 0.5*K; den1=0 0 1 0;num2=1; den2=100 215 30.5 1;numc, denc=series(num1,den1,num2,den2);numr, denr=cloop(numc,denc);sysr=tf(numr, denr) ; t=0: 0.01:80; figure step(sysr,t); hold on; % 添加前置濾波器numf=0.5; denf=1 1.5 0.5;num, den=series(numr,denr,numf,denf);sys=tf(num, den) ; step(sys,t); grid % 系統(tǒng)擾動時間響應(yīng)K=280;numh=K 1.5*K 0.5*K; denh=0 0 1 0;numg=1; deng=100 215 30.5 1;numn,denn=feedback(numg,deng,numh,denh);sysn=tf(numn, denn) figurestep(sysn,t); grid4-25 在未來的智能汽車-高速公路系統(tǒng)中，匯集了各種電子設(shè)備，可以提供事故、堵塞、路徑規(guī)劃、路邊服務(wù)和交通控制等實時信息。圖4-49(a)所示為自動化高速公路系統(tǒng)，圖4-49(b)給出的是保持車輛間距的位置控制系統(tǒng)。要求選擇放大器增益和速度反饋系數(shù)的取值，使系統(tǒng)響應(yīng)單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差小于0.5，單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量小于，調(diào)節(jié)時間小于。(b) 車輛間距控制系統(tǒng)圖4-49 智能汽車-高速公路系統(tǒng)解 本題應(yīng)用等效根軌跡技術(shù)及MATLAB設(shè)計軟件包，確定多個系統(tǒng)參數(shù)的取值。設(shè)計過程中，需要綜合運用勞思穩(wěn)定判據(jù)、穩(wěn)態(tài)誤差計算法、主導(dǎo)極點法以及動態(tài)性能估算法等知識。(1) 穩(wěn)定性要求由圖4-49 (b)知，速度反饋內(nèi)回路傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)式中，速度誤差系數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)首先，和的選取應(yīng)保證閉環(huán)系統(tǒng)具有穩(wěn)定性。列勞思表如下： 1 10 由勞思穩(wěn)定判據(jù)知：使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是， 也即， (2) 穩(wěn)態(tài)誤差要求根據(jù)系統(tǒng)在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差要求導(dǎo)出由于要求，故應(yīng)有，因此要求從系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能（穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差）考慮，和的選取應(yīng)滿足由于，故應(yīng)有。于是，和選取時應(yīng)滿足的條件可進(jìn)一步表示為顯然，取，是一組允許值。的最終確定，可根據(jù)對系統(tǒng)動態(tài)性能要求去選取。(3) 動態(tài)性能要求對于二階系統(tǒng)，若取阻尼比，則因為要求 故應(yīng)保證。在平面上，作了和扇形區(qū)，令，從，作系統(tǒng)根軌跡。在根軌跡圖上，的最終確定應(yīng)使閉環(huán)極點位于扇形區(qū)域內(nèi)。閉環(huán)特征方程等效根軌跡方程式中，。根軌跡參數(shù)：漸近線： 分離點：由解出 。 圖(a) 概略根軌跡圖系統(tǒng)等效根軌跡如圖(a)所示。圖中，復(fù)數(shù)根軌跡分支與阻尼比線的交點為點處的根軌跡增益，相應(yīng)的根據(jù)模值條件，可以確定第三個閉環(huán)極點。此時系統(tǒng)的近似性能 滿足全部設(shè)計指標(biāo)要求?；贛ATLAB軟件包，圖(b)給出時的根軌跡增益，用以確定值；車輛間距控制系統(tǒng)根軌跡圖，如圖(c)所示，圖中三角形表示時系統(tǒng)的閉環(huán)極點。(4) 設(shè)計指標(biāo)驗證由于實際系統(tǒng)為無有限零點的三階系統(tǒng)，負(fù)實極點會增大系統(tǒng)阻尼，減小超調(diào)量。這里僅驗證設(shè)計指標(biāo)中的動態(tài)性能。作MATLAB仿真，可得實際系統(tǒng)的單位階躍輸入響應(yīng)，如圖(d)所示。由圖(d)可得系統(tǒng)的動態(tài)性能； 即； 結(jié)果滿足設(shè)計指標(biāo)要求。MATLAB程序：exe425.m% 建立等效開環(huán)傳遞函數(shù)模型G=zpk(-4, 0 -3 -7, 1); z=0.6;% 繪制相應(yīng)系統(tǒng)的根軌跡figure (1) rlocus(G); sgrid(z,new) % 取阻尼比為 0.6 axis(-5.5 0.5 -6 6)figure (2) K=21.5; rlocus(G); % 最佳阻尼比對應(yīng)的根軌跡增益 hold on; rlocus(G,K) % 阻尼比為 0.6時, 系統(tǒng)的閉環(huán)特征根% 控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)Ka=86; Kt=0.25;numc=Ka; denc=1 10 21+Ka*K