韋達定理的論文.doc

逐漸被遺忘的數(shù)學財富韋達定理 摘要:韋達定理是由十六世紀著名的杰出數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)的，它描述了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關系。韋達定理的內容具有靈活性、應用廣泛性、條件放縮性等特點，在一元二次方程中是一個重點。所以，它能培養(yǎng)學生邏輯思維能力、靈活解決問題能力等。但是，由于各種客觀原因，韋達定理已正式得退出學生的教科書，并且逐漸被教師所遺忘。這就造成我們學生們也將失去認識這筆數(shù)學財富的機會。所以，我認為教師應借機向學生傳授有關韋達定理的知識點。關鍵詞：一元二次方程 韋達定理 引言 在平時的教學過程中，教師們經常會碰到一些需要運用韋達定理的相關題目。但是，由于教科書中已經刪除了該塊內容，導致講解此類題目時有很大的困難，學生理解起來也會有很多的迷惑之處。比如前段時間，在初三的一次輔導中，學生碰到了一題考查一元二次不等式的題目，題意如下： 已知不等式的解集為，則不等式的解集為_本題主要考查學生一元二次不等式與一元二次方程的轉化，以及整體思想和轉換思想的能力。學生要是按照平時的方程解法去做，解題難度會比較大，即使能力強的學生也要花上很長時間才能將解題過程寫完整。但是，如果學生能理解并且應用韋達定理的話，此題的解題思路就會顯而易見，并能簡化解題過程。所以，我認為借助幾種典型的題型來講解和歸納韋達定理的重要性，是很有必要與意義的。正文任給一個一元二次方程，設他的兩根為，利用求根公式 得到根和系數(shù)的關系：，這就是著名的韋達定理。它描述了方程的根和系數(shù)之間的關系，是一元二次方程解法的補充。接下來，我們來歸納一下韋達定理在我們教學中幾種典型題型應用。一已知方程的一根，求另一根 例1. 已知關于的方程的一根為，求另一根和的值。解析：由韋達定理可知，所以，所以?！咀⑨尅勘绢}要是按照平時的做法，先將帶入方程中，求出k值，再用求根公式去求另外一個解，雖然也能得到正確的答案。但是由于方程的根帶有根號，計算時難度會加大，而且學生的出錯率也會隨之增加。但該題由韋達定理求解，明顯能減少學生計算量，也能提高正確性。二對復雜系數(shù)的一元二次方程求解例2.已知方程的兩個解為，請求出的值？解析：根據(jù)韋達定理可得，所以學生很容易得出，所以?！咀⑨尅浚涸诒绢}中出現(xiàn)了另一個字母a，部分學生可能比較迷茫，不知道怎么求解。若學生直接采用求根公式進行求解，計算量會很大，而且出現(xiàn)了字母a，可能導致部分學生無法簡化根的形式而出錯。但是，此題采用韋達定理求解，就能跳過繁瑣的計算，直接求出答案。三，已知兩根，構造新的一元二次方程例3.已知某一元二次方程的兩根為，二次項系數(shù)為2，請確定該方程的表達式。解析：設所求方程為， 由韋達定理可得，。 解得， 所以所求一元二次方程為。 例4.已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別比第一個方程的兩根大2.解析：設所求方程的兩個根為，且， 由韋達定理可得，則 所以?！咀⑨尅浚荷厦鎯深}題型考查學生如何構造方程，需要學生有較強的理解和抽象思維能力。但是，初中學生的抽象能力與構造能力很薄弱，很難找到此題的切入點。倘若學生能采用韋達定理，其解題思路是很明顯的，而且講解時學生也很容易理解，能很大程度上降低了難度。四利用整體思想求代數(shù)式的值例5.已知關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根滿足，求實數(shù)的值。解析：因為， 所以 即。 根據(jù)韋達定理可知。 所以。 解得 檢驗:當m=5時，舍去 所以。例6.若是方程的兩個實數(shù)根，求（1）的值（2）的值.解析：（1）由韋達定理可知，則 。（2）【注釋】：上面兩題型主要考查了學生韋達定理和整體代入的數(shù)學思想，這樣就能簡化代數(shù)式，方便計算。要是學生先將方程的根求出來的話，再代入代數(shù)式求值的話，這個過程計算會比較煩，特別是例5中海含有另外一個字母，會降低學生學習的興趣。5 在一元二次不等式中的求解 例7.已知不等式的解集為，則不等式的解集為_解析：由韋達定理可得， 從而推導得出， 所以可化為，即解為【注釋】：本題由于是一選擇題，利用數(shù)學中的特殊值法很容易得出答案，但要是能完整寫出解題過程的話難度較大，一般的學生很難找到頭緒。但是，利用韋達定理進行求解的話，能幫助學生容易找到解題的思路和頭緒，并且計算過程也能優(yōu)化。6 在等式證明中的應用 例7.設實數(shù)滿足求證：中至少有一個數(shù)為1.解析：不妨設，則由題意可得 所以由韋達定理可知，為方程的解。 所以中至少有一個數(shù)為1，從條件易知具有對稱性 所以中至少有一個為1.【注釋】：韋達定理除了應用在一元二次方程中，也在許多證明中有很大的體現(xiàn)。比方該題，雖然有很強的對稱性，但是想要證明得到結論并非易事。采用韋達定理能幫助解題者理清思路，明確目標，幫助解決問題。結論 韋