第三章一元一次方程知識點梳理及典型例題牛園園.doc

第三章 一元一次方程知識要點梳理及典型例題一.元一次方程及解的概念1、一元一次方程的概念 只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程的標準形式是：ax+b=0(其中x是未知數(shù)，a,b是已知數(shù)，且a0)。典型例題：下列方程是一元一次方程的是（ ）A.x+y=1 B. C.3x+7=16 D. 做題要點：判斷一元一次方程必須滿足的3個條件： 只含有一個未知數(shù)； 未知數(shù)的次數(shù)是1次； 整式方程。2、方程的解使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。典型例題：以x為未知數(shù)的方程的解是x=3，求a的值。做題要點：將方程的解代入方程，得到一個以a為未知數(shù)的新方程，解得a的值。二.方程變形解方程的重要依據(jù)1、等式的基本性質等式的性質1：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結果仍相等。即：如果，那么；(c為一個數(shù)或一個式子)。等式的性質2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結果仍相等。即：如果，那么；如果，那么典型例題：1）、下列等式變形中不正確的是（ ）A、若x=y,則x+5=y+5 B.若 ，則x=yC.若-3x=-3y，則x=y D.mx=my,x=y2）、若2x+1=8,那么4x+2= 。2、分數(shù)的基本的性質分數(shù)的分子、分母同時乘以或除以同一個不為0的數(shù)，分數(shù)的值不變。即： （其中m0）注：分數(shù)的基本的性質主要是用于將方程中的小數(shù)系數(shù)（特別是分母中的小數(shù)）化為整數(shù)，如方程： =1.6，將其化為的形式： 。方程的右邊沒有變化，這要與“去分母”區(qū)別開。典型例題三.解一元一次方程的一般步驟1、解一元一次方程的基本思路 通過對方程變形，把含有未知數(shù)的項歸到方程的一邊，把常數(shù)項歸到方程的另一邊，最終把方程“轉化”成xa的形式。2、解一元一次方程的一般步驟是 變形名稱具體做法去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號移項把含有未知數(shù)的項都移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊(移項要變號)合并同類項把方程化成axb(a0)的形式系數(shù)化成1在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x 注意： 解方程時，表中有些變形步驟可能用不到，并且也不一定按照自上而下的順序，要根據(jù)方程形式靈活安排求解步驟。 去分母時，不要漏乘沒有分母的項。 去括號時，不要漏乘括號內的項，若括號前為“”號，括號內各項要改變符號。典型例題：1、 2、 2(2x+1)=3(x-2)-(x-6)3、 4、 5、一元一次方程應用題專題總結一、列一元一次方程解應用題的一般步驟 （1）審題，分析題中已知什么，未知什么，明確各量之間的關系，尋找等量關系（2）設未知數(shù)，一般求什么就設什么為x，但有時也可以間接設未知數(shù)（3）列方程，把相等關系左右兩邊的量用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，列出方程（4）解方程（5）檢驗，看方程的解是否符合題意（6）寫出答案二、解應用題的書寫格式：設根據(jù)題意解這個方程答。(1)在一道應用題中，往往含有幾個未知數(shù)量，應恰當?shù)剡x擇其中的一個，用字母x表示出來，即所設的未知數(shù)，然后根據(jù)數(shù)量之間的關系，將其它幾個未知數(shù)量用含x的代數(shù)式表示。(2)解應用題時，不能漏掉“答”， “設”和“答”中都必須寫清單位名稱。(3)列方程時，要注意方程兩邊是同一個量，并且單位要統(tǒng)一。(4)一般情況下，題目中所給的條件在列方程時不能重復使用，也不能漏掉不用。三、典型例題：1. 和、差、倍、分問題： （1）倍數(shù)關系：通過關鍵詞語“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長率”來體現(xiàn)。（2）多少關系：通過關鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余”來體現(xiàn)。 例.某校共有學生1050人，女生占男生的一半，求男生的人數(shù)。 分析：等量關系為：男生人數(shù)+女生人數(shù)=學生總人數(shù)解：設男生人數(shù)為x x+0.5x=1050 1.兩個村共有834人，甲村的人數(shù)比乙村的人數(shù)的一半還少111人，兩村各有多少人？2.兩組工人，按計劃本月應共生產(chǎn)680個零件，實際第一組超額20、第二組超額15完成了本月任務，因此比原計劃多生產(chǎn)118個零件。問本月原計劃每組各生產(chǎn)多少個零件？2. 勞力調配問題： 這類問題要搞清人數(shù)的變化，常見題型有： （1）既有調入又有調出； （2）只有調入沒有調出，調入部分變化，其余不變；（3）只有調出沒有調入，調出部分變化，其余不變。 例. 甲、乙兩車間各有工人若干，如果從乙車間調100人到甲車間，那么甲車間的人數(shù)是乙車間剩余人數(shù)的6倍；如果從甲車間調100人到乙車間，這時兩車間的人數(shù)相等，求原來甲乙車間的人數(shù)。 分析：等量關系(1)原來甲車間的人數(shù)+100=（原來乙車間的人數(shù)-100） 6(2)原來甲車間的人數(shù)-100=原來乙車間的人數(shù)+100 解：設求原來乙車間的x人，由等量關系(2)得原來甲車間的人數(shù)=x+200,代入(1)中得方程 x+200+100=(x-100） 61.某廠一車間有64人，二車間有56人?，F(xiàn)因工作需要，要求第一車間人數(shù)是第二車間人數(shù)的一半。問需從第一車間調多少人到第二車間？2.甲隊人數(shù)是乙隊人數(shù)的2倍，從甲隊調12人到乙隊后，甲隊剩下來的人數(shù)是原乙隊人數(shù)的一半還多15人。求甲、乙兩隊原有人數(shù)各多少人？3. 比例分配問題： 這類問題的一般思路為：設其中一份為x，利用已知的比，寫出相應的代數(shù)式。常用等量關系：總量各部分之和, 比值相等。 例. 三個正整數(shù)的比為1：2：4，它們的和是84，那么這三個數(shù)中最大的數(shù)是幾？解：設最小的數(shù)為x，則中間數(shù)為2x，最大數(shù)字為4x x+2x+4x=84 1.圖紙上某零件的長度為32cm，它的實際長度是4cm，那么量得該圖紙上另一個零件長度為12cm，求這個零件的實際長度。2.一時期，日元與人民幣的比價為25.2：1，那么日元50萬，可以兌換人民幣多少元？4. 數(shù)字問題 （1）要搞清楚數(shù)的表示方法：一個二位數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字是b（其中a、b均為整數(shù)，且1a9， 0b9）則這個三位數(shù)表示為：10a+b。（2）數(shù)字問題中一些表示：兩個連續(xù)整數(shù)之間的關系，較大的比較小的大1；偶數(shù)用2n表示，連續(xù)的偶數(shù)用2n+2或2n2表示；奇數(shù)用2n+1或2n1表示。例. 一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)是十位上的數(shù)的2倍，如果把十位與個位上的數(shù)對調，那么所得的兩位數(shù)比原兩位數(shù)大36，求原來的兩位數(shù)分析：等量關系:(1)現(xiàn)在的兩位數(shù)-原來的兩位數(shù)=36(2)原來的兩位數(shù)個位上的數(shù)=十位上的數(shù)2解：原來的兩位數(shù)十位上的數(shù)為x,則由(2)得原來的兩位數(shù)個位上的數(shù)為2x現(xiàn)在的兩位數(shù)=2x10+x,所以由(1)得方程（2x10+x） - （x10+2x）=36 現(xiàn)在的兩位數(shù) 原來的兩位數(shù)1.將連續(xù)的奇數(shù)1，3，5，7，9，排成如下的數(shù)表：（1）十字框中的五個數(shù)的平均數(shù)與15有什么關系？（2）若將十字框上下左右平移，可框住另外的五個數(shù)，這五個數(shù)的和能等于315嗎？若能，請求出這五個數(shù)；若不能，請說明理由.5. 工程問題： 工程問題中的三個量及其關系為：工作總量=工作效率工作時間 經(jīng)常在題目中未給出工作總量時，設工作總量為單位1，則 工作效率 = 例. 一件工程，甲獨做需15天完成，乙獨做需12天完成，現(xiàn)先由甲、乙合作3天后，甲有其他任務，剩下工程由乙單獨完成，問乙還要幾天才能完成全部工程？ 分析:設工程總量為單位1，等量關系為：甲、乙合作3天后+乙單獨完成剩下工程=1解：設乙還要x天才能完成全部工程1.某工程由甲、乙兩隊完成，甲隊單獨完成需16天，乙隊單獨完成需12天。如先由甲隊做4天，然后兩隊合做，問再做幾天后可完成工程的六分之五？2.有一個水池，用兩個水管注水。如果單開甲管，2小時30分注滿水池，如果單開乙管，5小時注滿水池。 如果甲、乙兩管先同時注水20分鐘，然后由乙單獨注水。問還需要多少時間才能把水池注滿？ 假設在水池下面安裝了排水管丙管，單開丙管3小時可以把一滿池水放完。如果三管同時開放，多少小時才能把一空池注滿水？6. 行程問題：（1）行程問題中的三個基本量及其關系： 路程=速度時間。 （2）基本類型有 相遇問題； 追及問題；常見的還有：相背而行；行船問題；環(huán)形跑道問題。 （3）解此類題的關鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關系或所走的路程關系，一般情況下問題就能迎刃而解。并且還常常借助畫草圖來分析，理解行程問題。 例. 甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時行90公里，一列快車從乙站開出，每小時行140公里。 （1）慢車先開出1小時，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時后兩車相遇？ （2）兩車同時開出，相背而行多少小時后兩車相距600公里？ （3）兩車同時開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時后快車與慢車相距600公里？ （4）兩車同時開出同向而行，快車在慢車的后面，多少小時后快車追上慢車？ （5）慢車開出1小時后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時追上慢車？ 此題關鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義，弄清行駛過程。故可結合圖形分析。 （1）分析：相遇問題，畫圖表示為： 等量關系是：慢車路程+快車路程=480， 慢車時間=快車時間+1小時解：設快車開出t小時后兩車相遇140t+90(t+1)=480（2）分析：相背而行，畫圖表示為： 等量關系是：慢車路程+快車路程+480=600,慢車時間=快車時間解：相背而行t小時后兩車相距600公里 140t+90t+480=600（3）分析：追及問題,畫圖表示為 等量關系為：快車路程+480公里慢車路程=600公里, 慢車時間=快車時間解：設x小時后兩車相距600公里， 140t+480-90t=600（4）分析：追及問題，畫圖表示為： 等量關系為：慢車路程+480公里=快車路程, 慢車時間=快車時間解：設t小時后快車追上慢車90t+480=140t（5）分析：追及問題畫圖表示為： 等量關系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里,慢車時間=快車時間+1解：快車開出后t小時追上慢車140t=90(t+1)+4801. 某人從家里騎自行車到學校。若每小時行15千米，可比預定的時間早到15分鐘；若每小時行9千米，可比預定的時間晚到15分鐘；求從家里到學校的路程有多少千米？2.與鐵路平行的一條公路上有一行人與騎自行車的人同時向南行進。行人的速度是每小時3.6Km，騎自行車的人的速度是每小時10.8Km。如果一列火車從他們背后開來，它通過行人的時間是22秒，通過騎自行車人的時間是26秒。（1）火車的速度為每秒多少米；（2）求這列火車的身長是多少米。7. 利潤贏虧問題（1）銷售問題中常出現(xiàn)的量有：進價、售價、標價、利潤等（2）有關關系式：商品售價=商品利潤+商品進價商品利潤= 商品進價商品利潤率 商品售價=商品標價折扣率例. 一家商店將某種服裝按進價提高40%后標價，又以8折優(yōu)惠賣出，結果每件仍獲利15元，這種服裝每件的進價是多少？分析：探究題目中隱含的條件是關鍵，可直接設成本為x元進價折扣率標價售價利潤x元8折（1+40%）x元80%（1+40%）x15元等量關系：售價=利潤+進價解：設進價為x元， 80%（1+40%）x =15+x1.某商品進價1500元，提高40%后標價，若打折銷售，使其利潤率為20%，則此商品是按幾折銷售的？2.某商店在某一時間以每件60元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？8. 儲蓄問題(1) 本金：顧客存入銀行的錢。利息：銀行付給顧客的酬金。本息和：本金與利息的和。期數(shù)：錢存入銀行的時間（以年為單位）。 (2) 本息和=本金+利息 利息=本金年利率期數(shù) 利息稅=利息稅率例. 某同學把250元錢存入銀行，整存整取，存期為半年。半年后共得本息和252.7元，求銀行半年期的年利率是多少？（不計利息稅）分析：等量關系：本息和=本金+本金利率期數(shù)，半年的期數(shù)為0.5年解：設半年期的年利率為x，250+250x0.5=252.71.莉莉的叔叔將打工掙來的25000元錢存入銀行，整存整取三年，年利率為3.24%，三年后本金和利息共有 元（不計利息稅）2.國家規(guī)定：存款利息稅=利息20%，銀行一年定期儲蓄的年利率為1.98%.小明有一筆一年定期存款，如果到期后全取出，可取回1219元。若設小明的這筆一年定期存款是x元，則下列方程中正確的是（ ）（） （）（） （）9行船問題：順水航速=靜水船速+水流速度 逆水航速=靜水船速-水流速度 例. 一艘船在兩個碼頭之間航行，水流速度是3千米每小時，順水航行需要2小時，逆水航行需要3小時，求兩碼頭的之間的距離？分析：等量關系：順水航行距離=逆水航行距離解：設船在靜水中的速度為x千米每小時2(x+3)=3(x-3)1.一架飛機飛行在兩個城市之間，風速為每小時24千米，順風飛行需要2小時50分鐘，逆風飛行需要3小時，求兩城市間距離。10配套問題：各件的總數(shù)比例和每一套中各件的比例相等例：機械廠加工車間有85名工人，平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個，已知2個大齒輪與3個小齒輪配成一套，問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？分析：等量關系：一套中的小齒輪數(shù)大齒輪總數(shù)=一套中的大齒輪數(shù)小齒輪總數(shù) 加工大齒輪工人+加工小齒輪工人=85解：設x名工人加工大齒輪，則加工小齒輪的工人有（85-x）人 316x =210(85-x)1.包裝廠有工人42人，每個工人平均每小時可以生產(chǎn)圓形鐵片120片，或長方形鐵片80片，將兩張圓形鐵片與和一張可配套成一個密封圓桶，問如何安排工人生產(chǎn)圓形或長方形鐵片能合理地將鐵片配套？2.某廠生產(chǎn)一批西裝，每2米布可以裁上衣3件，或裁褲子4條，現(xiàn)有花呢240米，為了使上衣和褲子配套，裁上衣和褲子應該各用花呢多少米？11比賽積分問題：1.某企業(yè)對應聘人員進行英語考試，試題由50道選擇題組成，評分標準規(guī)定：每道題的答案選對得3分，不選得0分，選錯倒扣1分。已知某人有5道題未作，得了103分，則這個人選錯了幾道題。2.某學校七年級8個班進行足球友誼賽，采用勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分的記分制。某班與其他7個隊各賽1場后，以不敗的戰(zhàn)績積17分，那么該班共勝了幾場比賽？12.方案設計與成本分析：1. 某市劇院舉辦大型文藝演出，其門票價格為：一等席300元人,二等席200元人，三等席150元人,某公司組織員工36人去觀看,計劃用5850元購買2種門票,請你幫助公司設計可能的購票方案。2.小明家搬了新居要購買新冰箱，小明和媽媽在商場看中了甲、乙兩種冰箱其中，甲冰箱的價格為2100元，日耗電量為1度；乙冰箱是節(jié)能型新產(chǎn)品，價格為2220元，日耗電量為0.5度，并且兩種冰箱的效果是相同的.老板說甲冰箱可以打折，但是乙冰箱不能打折，請你就價格方面計算說明，甲冰箱至少打幾折時購買甲冰箱比較合算？（每度電0.5元，兩種冰箱的使用壽命均為10年，平均每年使用300天）3.牛奶加工廠現(xiàn)有鮮奶8噸，若在市場上直接銷售鮮奶（每天可銷售8噸），每噸可獲利潤500元；制成酸奶銷售，每加工1噸鮮奶可獲利潤1200元；制成奶片銷售，每加工1噸鮮奶可獲利潤2000元該廠的生產(chǎn)能力是：若制酸奶，每天可加工3噸鮮奶；若制奶片，每天可加工1噸鮮奶；受人員和設備限制，兩種加工方式不可同時進行，受氣溫條件限制，這批牛奶必須在4天內全部銷售或加工完畢請你幫牛奶加工廠設計一種方案，使這8噸鮮奶既能在4天內全部銷售或加工完畢，又能獲得你認為最多的利潤3. 我省某地生產(chǎn)的一種綠色蔬菜，在市場上若直接銷售，每噸利潤為1000元，經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元，經(jīng)精加工后銷售每噸獲利7500元。當?shù)匾患肄r工商企業(yè)收購這種蔬菜140噸，該企業(yè)加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可以加工16噸，如果進行細加工，每天可以加工6噸，但兩種加工方式不能同時進行。受季節(jié)條件限制，