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文檔簡介
第三章 一元一次方程知識要點梳理及典型例題一.元一次方程及解的概念1、一元一次方程的概念 只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)都是1的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程的標準形式是:ax+b=0(其中x是未知數(shù),a,b是已知數(shù),且a0)。典型例題:下列方程是一元一次方程的是( )A.x+y=1 B. C.3x+7=16 D. 做題要點:判斷一元一次方程必須滿足的3個條件: 只含有一個未知數(shù); 未知數(shù)的次數(shù)是1次; 整式方程。2、方程的解使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。典型例題:以x為未知數(shù)的方程的解是x=3,求a的值。做題要點:將方程的解代入方程,得到一個以a為未知數(shù)的新方程,解得a的值。二.方程變形解方程的重要依據(jù)1、等式的基本性質等式的性質1:等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),結果仍相等。即:如果,那么;(c為一個數(shù)或一個式子)。等式的性質2:等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),結果仍相等。即:如果,那么;如果,那么典型例題:1)、下列等式變形中不正確的是( )A、若x=y,則x+5=y+5 B.若 ,則x=yC.若-3x=-3y,則x=y D.mx=my,x=y2)、若2x+1=8,那么4x+2= 。2、分數(shù)的基本的性質分數(shù)的分子、分母同時乘以或除以同一個不為0的數(shù),分數(shù)的值不變。即: (其中m0)注:分數(shù)的基本的性質主要是用于將方程中的小數(shù)系數(shù)(特別是分母中的小數(shù))化為整數(shù),如方程: =1.6,將其化為的形式: 。方程的右邊沒有變化,這要與“去分母”區(qū)別開。典型例題三.解一元一次方程的一般步驟1、解一元一次方程的基本思路 通過對方程變形,把含有未知數(shù)的項歸到方程的一邊,把常數(shù)項歸到方程的另一邊,最終把方程“轉化”成xa的形式。2、解一元一次方程的一般步驟是 變形名稱具體做法去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)去括號先去小括號,再去中括號,最后去大括號移項把含有未知數(shù)的項都移到方程的一邊,其他項都移到方程的另一邊(移項要變號)合并同類項把方程化成axb(a0)的形式系數(shù)化成1在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a,得到方程的解x 注意: 解方程時,表中有些變形步驟可能用不到,并且也不一定按照自上而下的順序,要根據(jù)方程形式靈活安排求解步驟。 去分母時,不要漏乘沒有分母的項。 去括號時,不要漏乘括號內的項,若括號前為“”號,括號內各項要改變符號。典型例題:1、 2、 2(2x+1)=3(x-2)-(x-6)3、 4、 5、一元一次方程應用題專題總結一、列一元一次方程解應用題的一般步驟 (1)審題,分析題中已知什么,未知什么,明確各量之間的關系,尋找等量關系(2)設未知數(shù),一般求什么就設什么為x,但有時也可以間接設未知數(shù)(3)列方程,把相等關系左右兩邊的量用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來,列出方程(4)解方程(5)檢驗,看方程的解是否符合題意(6)寫出答案二、解應用題的書寫格式:設根據(jù)題意解這個方程答。(1)在一道應用題中,往往含有幾個未知數(shù)量,應恰當?shù)剡x擇其中的一個,用字母x表示出來,即所設的未知數(shù),然后根據(jù)數(shù)量之間的關系,將其它幾個未知數(shù)量用含x的代數(shù)式表示。(2)解應用題時,不能漏掉“答”, “設”和“答”中都必須寫清單位名稱。(3)列方程時,要注意方程兩邊是同一個量,并且單位要統(tǒng)一。(4)一般情況下,題目中所給的條件在列方程時不能重復使用,也不能漏掉不用。三、典型例題:1. 和、差、倍、分問題: (1)倍數(shù)關系:通過關鍵詞語“是幾倍,增加幾倍,增加到幾倍,增加百分之幾,增長率”來體現(xiàn)。(2)多少關系:通過關鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余”來體現(xiàn)。 例.某校共有學生1050人,女生占男生的一半,求男生的人數(shù)。 分析:等量關系為:男生人數(shù)+女生人數(shù)=學生總人數(shù)解:設男生人數(shù)為x x+0.5x=1050 1.兩個村共有834人,甲村的人數(shù)比乙村的人數(shù)的一半還少111人,兩村各有多少人?2.兩組工人,按計劃本月應共生產(chǎn)680個零件,實際第一組超額20、第二組超額15完成了本月任務,因此比原計劃多生產(chǎn)118個零件。問本月原計劃每組各生產(chǎn)多少個零件?2. 勞力調配問題: 這類問題要搞清人數(shù)的變化,常見題型有: (1)既有調入又有調出; (2)只有調入沒有調出,調入部分變化,其余不變;(3)只有調出沒有調入,調出部分變化,其余不變。 例. 甲、乙兩車間各有工人若干,如果從乙車間調100人到甲車間,那么甲車間的人數(shù)是乙車間剩余人數(shù)的6倍;如果從甲車間調100人到乙車間,這時兩車間的人數(shù)相等,求原來甲乙車間的人數(shù)。 分析:等量關系(1)原來甲車間的人數(shù)+100=(原來乙車間的人數(shù)-100) 6(2)原來甲車間的人數(shù)-100=原來乙車間的人數(shù)+100 解:設求原來乙車間的x人,由等量關系(2)得原來甲車間的人數(shù)=x+200,代入(1)中得方程 x+200+100=(x-100) 61.某廠一車間有64人,二車間有56人?,F(xiàn)因工作需要,要求第一車間人數(shù)是第二車間人數(shù)的一半。問需從第一車間調多少人到第二車間?2.甲隊人數(shù)是乙隊人數(shù)的2倍,從甲隊調12人到乙隊后,甲隊剩下來的人數(shù)是原乙隊人數(shù)的一半還多15人。求甲、乙兩隊原有人數(shù)各多少人?3. 比例分配問題: 這類問題的一般思路為:設其中一份為x,利用已知的比,寫出相應的代數(shù)式。常用等量關系:總量各部分之和, 比值相等。 例. 三個正整數(shù)的比為1:2:4,它們的和是84,那么這三個數(shù)中最大的數(shù)是幾?解:設最小的數(shù)為x,則中間數(shù)為2x,最大數(shù)字為4x x+2x+4x=84 1.圖紙上某零件的長度為32cm,它的實際長度是4cm,那么量得該圖紙上另一個零件長度為12cm,求這個零件的實際長度。2.一時期,日元與人民幣的比價為25.2:1,那么日元50萬,可以兌換人民幣多少元?4. 數(shù)字問題 (1)要搞清楚數(shù)的表示方法:一個二位數(shù)的十位數(shù)字為a,個位數(shù)字是b(其中a、b均為整數(shù),且1a9, 0b9)則這個三位數(shù)表示為:10a+b。(2)數(shù)字問題中一些表示:兩個連續(xù)整數(shù)之間的關系,較大的比較小的大1;偶數(shù)用2n表示,連續(xù)的偶數(shù)用2n+2或2n2表示;奇數(shù)用2n+1或2n1表示。例. 一個兩位數(shù),個位上的數(shù)是十位上的數(shù)的2倍,如果把十位與個位上的數(shù)對調,那么所得的兩位數(shù)比原兩位數(shù)大36,求原來的兩位數(shù)分析:等量關系:(1)現(xiàn)在的兩位數(shù)-原來的兩位數(shù)=36(2)原來的兩位數(shù)個位上的數(shù)=十位上的數(shù)2解:原來的兩位數(shù)十位上的數(shù)為x,則由(2)得原來的兩位數(shù)個位上的數(shù)為2x現(xiàn)在的兩位數(shù)=2x10+x,所以由(1)得方程(2x10+x) - (x10+2x)=36 現(xiàn)在的兩位數(shù) 原來的兩位數(shù)1.將連續(xù)的奇數(shù)1,3,5,7,9,排成如下的數(shù)表:(1)十字框中的五個數(shù)的平均數(shù)與15有什么關系?(2)若將十字框上下左右平移,可框住另外的五個數(shù),這五個數(shù)的和能等于315嗎?若能,請求出這五個數(shù);若不能,請說明理由.5. 工程問題: 工程問題中的三個量及其關系為:工作總量=工作效率工作時間 經(jīng)常在題目中未給出工作總量時,設工作總量為單位1,則 工作效率 = 例. 一件工程,甲獨做需15天完成,乙獨做需12天完成,現(xiàn)先由甲、乙合作3天后,甲有其他任務,剩下工程由乙單獨完成,問乙還要幾天才能完成全部工程? 分析:設工程總量為單位1,等量關系為:甲、乙合作3天后+乙單獨完成剩下工程=1解:設乙還要x天才能完成全部工程1.某工程由甲、乙兩隊完成,甲隊單獨完成需16天,乙隊單獨完成需12天。如先由甲隊做4天,然后兩隊合做,問再做幾天后可完成工程的六分之五?2.有一個水池,用兩個水管注水。如果單開甲管,2小時30分注滿水池,如果單開乙管,5小時注滿水池。 如果甲、乙兩管先同時注水20分鐘,然后由乙單獨注水。問還需要多少時間才能把水池注滿? 假設在水池下面安裝了排水管丙管,單開丙管3小時可以把一滿池水放完。如果三管同時開放,多少小時才能把一空池注滿水?6. 行程問題:(1)行程問題中的三個基本量及其關系: 路程=速度時間。 (2)基本類型有 相遇問題; 追及問題;常見的還有:相背而行;行船問題;環(huán)形跑道問題。 (3)解此類題的關鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關系或所走的路程關系,一般情況下問題就能迎刃而解。并且還常常借助畫草圖來分析,理解行程問題。 例. 甲、乙兩站相距480公里,一列慢車從甲站開出,每小時行90公里,一列快車從乙站開出,每小時行140公里。 (1)慢車先開出1小時,快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時后兩車相遇? (2)兩車同時開出,相背而行多少小時后兩車相距600公里? (3)兩車同時開出,慢車在快車后面同向而行,多少小時后快車與慢車相距600公里? (4)兩車同時開出同向而行,快車在慢車的后面,多少小時后快車追上慢車? (5)慢車開出1小時后兩車同向而行,快車在慢車后面,快車開出后多少小時追上慢車? 此題關鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義,弄清行駛過程。故可結合圖形分析。 (1)分析:相遇問題,畫圖表示為: 等量關系是:慢車路程+快車路程=480, 慢車時間=快車時間+1小時解:設快車開出t小時后兩車相遇140t+90(t+1)=480(2)分析:相背而行,畫圖表示為: 等量關系是:慢車路程+快車路程+480=600,慢車時間=快車時間解:相背而行t小時后兩車相距600公里 140t+90t+480=600(3)分析:追及問題,畫圖表示為 等量關系為:快車路程+480公里慢車路程=600公里, 慢車時間=快車時間解:設x小時后兩車相距600公里, 140t+480-90t=600(4)分析:追及問題,畫圖表示為: 等量關系為:慢車路程+480公里=快車路程, 慢車時間=快車時間解:設t小時后快車追上慢車90t+480=140t(5)分析:追及問題畫圖表示為: 等量關系為:快車的路程=慢車走的路程+480公里,慢車時間=快車時間+1解:快車開出后t小時追上慢車140t=90(t+1)+4801. 某人從家里騎自行車到學校。若每小時行15千米,可比預定的時間早到15分鐘;若每小時行9千米,可比預定的時間晚到15分鐘;求從家里到學校的路程有多少千米?2.與鐵路平行的一條公路上有一行人與騎自行車的人同時向南行進。行人的速度是每小時3.6Km,騎自行車的人的速度是每小時10.8Km。如果一列火車從他們背后開來,它通過行人的時間是22秒,通過騎自行車人的時間是26秒。(1)火車的速度為每秒多少米;(2)求這列火車的身長是多少米。7. 利潤贏虧問題(1)銷售問題中常出現(xiàn)的量有:進價、售價、標價、利潤等(2)有關關系式:商品售價=商品利潤+商品進價商品利潤= 商品進價商品利潤率 商品售價=商品標價折扣率例. 一家商店將某種服裝按進價提高40%后標價,又以8折優(yōu)惠賣出,結果每件仍獲利15元,這種服裝每件的進價是多少?分析:探究題目中隱含的條件是關鍵,可直接設成本為x元進價折扣率標價售價利潤x元8折(1+40%)x元80%(1+40%)x15元等量關系:售價=利潤+進價解:設進價為x元, 80%(1+40%)x =15+x1.某商品進價1500元,提高40%后標價,若打折銷售,使其利潤率為20%,則此商品是按幾折銷售的?2.某商店在某一時間以每件60元的價格賣出兩件衣服,其中一件盈利25%,另一件虧損25%,賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損,或是不盈不虧?8. 儲蓄問題(1) 本金:顧客存入銀行的錢。利息:銀行付給顧客的酬金。本息和:本金與利息的和。期數(shù):錢存入銀行的時間(以年為單位)。 (2) 本息和=本金+利息 利息=本金年利率期數(shù) 利息稅=利息稅率例. 某同學把250元錢存入銀行,整存整取,存期為半年。半年后共得本息和252.7元,求銀行半年期的年利率是多少?(不計利息稅)分析:等量關系:本息和=本金+本金利率期數(shù),半年的期數(shù)為0.5年解:設半年期的年利率為x,250+250x0.5=252.71.莉莉的叔叔將打工掙來的25000元錢存入銀行,整存整取三年,年利率為3.24%,三年后本金和利息共有 元(不計利息稅)2.國家規(guī)定:存款利息稅=利息20%,銀行一年定期儲蓄的年利率為1.98%.小明有一筆一年定期存款,如果到期后全取出,可取回1219元。若設小明的這筆一年定期存款是x元,則下列方程中正確的是( )() ()() ()9行船問題:順水航速=靜水船速+水流速度 逆水航速=靜水船速-水流速度 例. 一艘船在兩個碼頭之間航行,水流速度是3千米每小時,順水航行需要2小時,逆水航行需要3小時,求兩碼頭的之間的距離?分析:等量關系:順水航行距離=逆水航行距離解:設船在靜水中的速度為x千米每小時2(x+3)=3(x-3)1.一架飛機飛行在兩個城市之間,風速為每小時24千米,順風飛行需要2小時50分鐘,逆風飛行需要3小時,求兩城市間距離。10配套問題:各件的總數(shù)比例和每一套中各件的比例相等例:機械廠加工車間有85名工人,平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個,已知2個大齒輪與3個小齒輪配成一套,問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪,才能使每天加工的大小齒輪剛好配套?分析:等量關系:一套中的小齒輪數(shù)大齒輪總數(shù)=一套中的大齒輪數(shù)小齒輪總數(shù) 加工大齒輪工人+加工小齒輪工人=85解:設x名工人加工大齒輪,則加工小齒輪的工人有(85-x)人 316x =210(85-x)1.包裝廠有工人42人,每個工人平均每小時可以生產(chǎn)圓形鐵片120片,或長方形鐵片80片,將兩張圓形鐵片與和一張可配套成一個密封圓桶,問如何安排工人生產(chǎn)圓形或長方形鐵片能合理地將鐵片配套?2.某廠生產(chǎn)一批西裝,每2米布可以裁上衣3件,或裁褲子4條,現(xiàn)有花呢240米,為了使上衣和褲子配套,裁上衣和褲子應該各用花呢多少米?11比賽積分問題:1.某企業(yè)對應聘人員進行英語考試,試題由50道選擇題組成,評分標準規(guī)定:每道題的答案選對得3分,不選得0分,選錯倒扣1分。已知某人有5道題未作,得了103分,則這個人選錯了幾道題。2.某學校七年級8個班進行足球友誼賽,采用勝一場得3分,平一場得1分,負一場得0分的記分制。某班與其他7個隊各賽1場后,以不敗的戰(zhàn)績積17分,那么該班共勝了幾場比賽?12.方案設計與成本分析:1. 某市劇院舉辦大型文藝演出,其門票價格為:一等席300元人,二等席200元人,三等席150元人,某公司組織員工36人去觀看,計劃用5850元購買2種門票,請你幫助公司設計可能的購票方案。2.小明家搬了新居要購買新冰箱,小明和媽媽在商場看中了甲、乙兩種冰箱其中,甲冰箱的價格為2100元,日耗電量為1度;乙冰箱是節(jié)能型新產(chǎn)品,價格為2220元,日耗電量為0.5度,并且兩種冰箱的效果是相同的.老板說甲冰箱可以打折,但是乙冰箱不能打折,請你就價格方面計算說明,甲冰箱至少打幾折時購買甲冰箱比較合算?(每度電0.5元,兩種冰箱的使用壽命均為10年,平均每年使用300天)3.牛奶加工廠現(xiàn)有鮮奶8噸,若在市場上直接銷售鮮奶(每天可銷售8噸),每噸可獲利潤500元;制成酸奶銷售,每加工1噸鮮奶可獲利潤1200元;制成奶片銷售,每加工1噸鮮奶可獲利潤2000元該廠的生產(chǎn)能力是:若制酸奶,每天可加工3噸鮮奶;若制奶片,每天可加工1噸鮮奶;受人員和設備限制,兩種加工方式不可同時進行,受氣溫條件限制,這批牛奶必須在4天內全部銷售或加工完畢請你幫牛奶加工廠設計一種方案,使這8噸鮮奶既能在4天內全部銷售或加工完畢,又能獲得你認為最多的利潤3. 我省某地生產(chǎn)的一種綠色蔬菜,在市場上若直接銷售,每噸利潤為1000元,經(jīng)粗加工后銷售,每噸利潤可達4500元,經(jīng)精加工后銷售每噸獲利7500元。當?shù)匾患肄r工商企業(yè)收購這種蔬菜140噸,該企業(yè)加工廠的生產(chǎn)能力是:如果對蔬菜進行粗加工,每天可以加工16噸,如果進行細加工,每天可以加工6噸,但兩種加工方式不能同時進行。受季節(jié)條件限制,
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