高考數(shù)學 第五章 第五節(jié) 數(shù)列求和及通項課件 理 蘇教版.ppt

第五節(jié)數(shù)列求和及通項 1 公式法 q 1 na1 n2 2 裂項相消求和法把數(shù)列的通項分解為兩項之差 使之在求和時產(chǎn)生前后相互抵消的項的求和方法 3 錯位相減求和法 1 適用的數(shù)列 anbn 其中數(shù)列 an 是公差為d的等差數(shù)列 bn 是公比為q 1的等比數(shù)列 2 方法 設(shè)sn a1b1 a2b2 anbn 則qsn a1b2 a2b3 an 1bn anbn 1 得 1 q sn a1b1 d b2 b3 bn anbn 1 就轉(zhuǎn)化為根據(jù)公式可求的和 4 其他求和方法 判斷下面結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 如果已知等差數(shù)列的通項公式 則在求其前n項和時使用公式sn 較為合理 2 如果數(shù)列 an 為等比數(shù)列 且公比不等于1 則其前n項和sn 3 當n 2時 4 求sn a 2a2 3a3 nan之和時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得 5 如果數(shù)列 an 是周期為k k為大于1的正整數(shù) 的周期數(shù)列 那么skm msk 6 如果數(shù)列 an 是公差d 0的等差數(shù)列 則 解析 1 正確 根據(jù)等差數(shù)列求和公式以及運算的合理性可知 2 正確 根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可知 3 正確 直接驗證或倒推可知正確 4 錯誤 需要分a 0 a 1 以及a 0且a 1三種情況求和 5 正確 根據(jù)周期性可得 6 正確 直接驗證或倒推可得 答案 1 2 3 4 5 6 1 等比數(shù)列 an 的前n項和為sn 且4a1 2a2 a3成等差數(shù)列 若a1 1 則s4 解析 4a1 2a2 a3成等差數(shù)列 4a1 a3 4a2 即4a1 a1q2 4a1q q2 4q 4 0 q 2 s4 15 答案 15 2 等差數(shù)列 an 的通項公式為an 2n 1 其前n項和為sn 則數(shù)列 的前10項和為 解析 因為等差數(shù)列 an 的通項公式為an 2n 1 所以sn n2 2n 所以 n 2 3 4 5 12 75 答案 75 3 數(shù)列 an 的通項公式an 2 n 1 n 設(shè)此數(shù)列的前n項和為sn 則s10 s21 s100的值是 解析 當n為奇數(shù)時 an 2 n 1 當n為偶數(shù)時 an 2 n 1 故有s10 60 50 110 s21 464 s100 50 10100 故s10 s21 s100 9746 答案 9746 4 一個數(shù)列 an 當n是奇數(shù)時 an 5n 1 當n為偶數(shù)時 an 則這個數(shù)列的前2m項的和是 解析 所有奇數(shù)項的和s1 6m 5m2 m 所有偶數(shù)項的和s2 2m 1 2 兩部分相加即得 答案 2m 1 5m2 m 2 5 在數(shù)列 an 中 a1 sn為數(shù)列 an 的前n項和且sn n 2n 1 an 則sn 解析 因為sn n 2n 1 an sn 1 n 1 2n 3 an 1 n 2 兩式相減sn sn 1 n 2n 1 an n 1 2n 3 an 1 n 2 即an n 2n 1 an n 1 2n 3 an 1 n 2 即 n 2n 1 1 an n 1 2n 3 an 1 n 2 即 2n 1 n 1 an n 1 2n 3 an 1 n 2 即 2n 1 an 2n 3 an 1 n 2 即 n 2 所以sn n 2n 1 an 答案 考向1公式求和法 典例1 1 2013 南通模擬 已知數(shù)列 an 的前n項和sn 32n n2 求數(shù)列 an 的前n項和tn 2 已知數(shù)列 an 的通項公式是an 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 求其前n項和sn 思路點撥 1 根據(jù)數(shù)列 an 的前n項和可得數(shù)列 an 的通項公式 根據(jù)求出的通項公式把數(shù)列 an 分段求解 2 由于存在 1 n 按照n為奇數(shù)和偶數(shù)分別求解 規(guī)范解答 1 當n 1時 a1 s1 31 當n 2時 an sn sn 1 33 2n an 33 2n n n 即數(shù)列 an 是公差為 2 首項為31的等差數(shù)列 令an 33 2n 0 則n 16 故當0 n 16時 tn sn 32n n2 而當n 17時 tn s16 a17 a18 an sn 2s16 即tn 32n n2 2 32 16 162 n2 32n 512 2 sn 2 1 3 3n 1 1 1 1 1 n ln2 ln3 1 2 3 1 nn ln3 所以當n為偶數(shù)時 當n為奇數(shù)時 ln3 ln2 1 綜上所述 拓展提升 幾類可以使用公式求和的數(shù)列 1 等差數(shù)列 等比數(shù)列以及由等差數(shù)列 等比數(shù)列通過加 減構(gòu)成的數(shù)列 它們可以使用等差數(shù)列 等比數(shù)列的求和公式求解 2 奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成等差數(shù)列或者等比數(shù)列的 可以分項數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式 3 等差數(shù)列各項加上絕對值 等差數(shù)列乘以 1 n 變式訓(xùn)練 1 在等差數(shù)列 an 中 a1 60 a17 12 求其前30項的絕對值之和 解析 設(shè)等差數(shù)列的前n項和為sn 前n項的絕對值之和為s n 由 60 16d 12得d 3 an 60 3 n 1 3n 63 由此可知當n 20時 an 0 當n 21時 an 0 s 30 a1 a2 a20 a21 a30 s30 2s20 即s 30 765 2 已知數(shù)列 an 為等比數(shù)列 a2 6 a5 162 設(shè)sn是數(shù)列 an 的前n項和 求sn 解析 設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q 則a2 a1q a5 a1q4 依題意得解得a1 2 q 3 得sn 考向2裂項相消求和法 典例2 1 已知數(shù)列 an 的前n項和sn 3n2 2n 求數(shù)列的前n項和tn 2 已知數(shù)列 4n 2n n n 的前n項和為sn bn 求數(shù)列 bn 的前n項和tn 思路點撥 1 求出數(shù)列 an 的通項公式 裂項求和 2 求出sn并對sn進行分解 裂項bn即可 規(guī)范解答 1 當n 2時 an sn sn 1 3n2 2n 3 n 1 2 2 n 1 6n 5 當n 1時 a1 s1 1 所以an 6n 5 n n 所以設(shè) 故 2 根據(jù)等比數(shù)列求和公式得sn 22n 1 2 2n 1 2 2n 1 2n 1 3 2n 1 2n 1 1 2n 1 所以所以 拓展提升 常見的裂項方法 其中n為正整數(shù) 提醒 裂項相消法要注意相消后剩下的是哪些項 不要漏寫或?qū)戝e 如求的前n項和時 剩下的是 變式訓(xùn)練 等差數(shù)列 an 的各項均為正數(shù) a1 3 前n項和為sn bn 為等比數(shù)列 b1 1 且s2b2 64 s3b3 960 1 求an與bn 2 求和 解析 1 設(shè) an 的公差為d bn 的公比為q 則d為正整數(shù) an 3 n 1 d bn qn 1 依題意有 解得或 舍去 故an 3 2 n 1 2n 1 bn 8n 1 2 sn 3 5 2n 1 n n 2 考向3錯位相減求和法 典例3 1 數(shù)列 n 4n 1 的前n項和sn 2 已知等比數(shù)列 an 的前n項和為sn 且滿足sn 3n k 求k的值及數(shù)列 an 的通項公式 若數(shù)列 bn 滿足 求數(shù)列 bn 的前n項和tn 思路點撥 1 寫出和式sn后 把該式等號兩邊同時乘以4后兩式相減 2 利用an sn sn 1求解 求出bn 利用錯位相減法求和 規(guī)范解答 1 an n 4n 1 sn a1 a2 an 1 2 41 3 42 n 4n 1 4sn 1 4 2 42 3 43 n 1 4n 1 n 4n 兩式相減得 3sn 1 41 42 43 4n 1 n 4n 4n 1 n 4n 答案 2 當n 2時 由an sn sn 1 3n k 3n 1 k 2 3n 1 因為 an 是等比數(shù)列 所以a1 2 an 2 3n 1 a1 s1 3 k 2 所以k 1 由 可得兩式相減得 互動探究 把題 1 中數(shù)列改為 求其前n項和sn 解析 設(shè)則兩式錯位相減得 拓展提升 錯位相減法求和的關(guān)注點 1 要善于識別題目類型 特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形 2 在寫出 sn 與 qsn 的表達式時應(yīng)特別注意將兩式 錯項對齊 以便于下一步準確地寫出 sn qsn 的表達式 變式備選 2013 廣州模擬 a2 a5是方程x2 12x 27 0的兩根 數(shù)列 an 是遞增的等差數(shù)列 數(shù)列 bn 的前n項和為sn 且sn 1 bn n n 1 求數(shù)列 an bn 的通項公式 2 記cn an bn 求數(shù)列 cn 的前n項和tn 解析 1 解x2 12x 27 0得x1 3 x2 9 因為 an 是遞增的 所以a2 3 a5 9 解得所以an 2n 1 在sn 1 bn中 令n 1得b1 s1 1 b1 b1 當n 2時 sn 1 bn sn 1 1 bn 1 兩式相減得bn bn 1 bn 所以 bn 是等比數(shù)列 2 cn an bn 兩式相減得 所以 滿分指導(dǎo) 解答數(shù)列求和問題 典例 14分 2012 江西高考 已知數(shù)列 an 的前n項和sn n2 kn 其中k n 且sn的最大值為8 1 確定常數(shù)k 求an 2 求數(shù)列 的前n項和tn 思路點撥 規(guī)范解答 1 當n k k n 時 sn n2 kn取最大值 即8 sk k2 k2 k2 2分故k2 16 因此k 4 3分從而an sn sn 1 n n 2 又a1 s1 適合an n 5分所以an n 6分 2 設(shè)bn 8分tn b1 b2 bn 2tn 10分所以tn 2tn tn 14分 失分警示 下文 見規(guī)范解答過程 1 2013 揚州模擬 已知 an 為等差數(shù)列 a3 7 a1 a7 10 sn為其前n項和 則使得sn達到最大值的n等于 解析 設(shè)公差為d 則由題意知 an 13 2n a6 1 0 a7 1 0 n 6時 sn最大 答案 6 2 2012 重慶高考改編 在等差數(shù)列 an 中 a2 1 a4 5 則 an 的前5項和s5 解析 因為a2 1 a4 5 所以a1 a5 a2 a4 6 所以數(shù)列的前5項和答案 15 3 2012 大綱版全國卷改編 已知等差數(shù)列 an 的前n項和為sn a5 5 s5 15 則數(shù)列 的前100項和為 解析 由a5 5 s5 15 得a1 1 d 1 所以an 1 n 1 n 所以又答案 4 2013 蘇州模擬 已知數(shù)列 an 滿足a1 1 a2 2 an 2 1 cos2 an sin2 則該數(shù)列的前20項的和為 解析 當n為奇數(shù)時 an 2 an 1 故奇數(shù)項是首項為1 公差為1的等差數(shù)列 其前10項之和等于1 10 55 當n為偶數(shù)時 an 2 2an 故偶數(shù)項是首項為2 公比為2的等比數(shù)列 其前10項之和為 211 2 2046 所以 數(shù)列 an 的前20項之和為55 2046 2101 答案 2101 5 2012 江西高考 已知數(shù)列 an 的前n項和sn kcn k 其中c k為常數(shù) 且a2 4 a6 8a3 1 求an 2 求數(shù)列 nan 的前n項和tn 解析 1 當n 1時 an sn sn 1 k cn cn 1 則a6 k c6 c5 a3 k c3 c2 c 2 a2 4 即k c2 c1 4 解得k 2 an 2n n 1 當n 1時 a1 s1 2 綜上所述an 2n n n 2 nan n 2n 則tn 2 2 22 3 23 n 2n 2tn 1 22 2 23 3 24 n 1 2n n 2n 1 得 tn 2 22 23 2n n 2n 1 tn 2 n 1 2n 1 1 若數(shù)列 an 滿足 d n n d為常數(shù) 則稱數(shù)列 an 為 調(diào)和數(shù)列 已知正項數(shù)列 為 調(diào)和數(shù)列 且b1 b2 b9 90 則b4 b6的最大值是 解析 由已知得 bn 為等差數(shù)列 且b4 b6 20 又bn 0 所以b4 b6 答案 100 2 已知數(shù)列 an 滿足a1 且對任意的正整數(shù)m n都有am n am an 若數(shù)列 an 的前n項和為sn 則sn 解析 對m 1等式am n am an也成立 即an 1 a