高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第6章 第7節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法(理)課件 新人教A版.ppt

第七節(jié)數(shù)學(xué)歸納法 理 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理 能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題 一 數(shù)學(xué)歸納法一般地 證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題 可按下列步驟進(jìn)行 1 證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0 n0 n 時(shí)命題成立 歸納奠基 2 假設(shè)n k k n0 k n 時(shí)命題成立 證明當(dāng)n k 1時(shí)命題也成立 只要完成這兩個(gè)步驟 就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立 上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法 歸納遞推 二 數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示 解析 邊數(shù)最小的凸多邊形是三角形 答案 c 答案 c 3 用數(shù)學(xué)歸納法證明命題 當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí) xn yn能被x y整除 在第二步時(shí) 正確的證法是 a 假設(shè)n k k n 證明n k 1命題成立b 假設(shè)n k k是正奇數(shù) 證明n k 1命題成立c 假設(shè)n 2k 1 k n 證明n k 1命題成立d 假設(shè)n k k是正奇數(shù) 證明n k 2命題成立解析 a b c中 k 1不一定表示奇數(shù) 只有d中k為奇數(shù) k 2為奇數(shù) 答案 d 5 如圖 這是一個(gè)正六邊形的序列 則第n個(gè)圖形的邊數(shù)為 解析 第 1 圖共6條邊 第 2 圖共11條邊 第 3 圖共16條邊 其邊數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列 則第 n 圖的邊數(shù)為an 6 n 1 5 5n 1 答案 5n 1 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式問(wèn)題 關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律 等式的兩邊各有多少項(xiàng) 由n k到n k 1時(shí) 等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng) 增加怎樣的項(xiàng) 難點(diǎn)在于尋求等式中n k和n k 1時(shí)之間的聯(lián)系 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式時(shí) 通常采用的步驟為 1 找出f k 1 與f k 的遞推關(guān)系 2 把歸納假設(shè)f k g k 代入 3 作恒等變形把f k 1 化為g k 1 特別提醒 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法需注意以下幾點(diǎn) n n0時(shí) n0的取值 兩個(gè)步驟 缺一不可 證n k 1成立時(shí)必須用上歸納假設(shè) 用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式 一是直接給出不等式 按要求進(jìn)行證明 二是給出兩個(gè)式子 按要求比較它們的大小 對(duì)第二類形式往往要先對(duì)n取前幾個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較 以免出現(xiàn)判斷失誤 最后猜出從某個(gè)n值開(kāi)始都成立的結(jié)論 常用數(shù)學(xué)歸納法證明 思路點(diǎn)撥 n取的第一個(gè)值是2 特別提醒 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n k時(shí)成立得n k 1時(shí)成立 主要方法有 放縮法 利用基本不等式 作差比較法等 在幾何問(wèn)題中 常有與n有關(guān)的幾何證明 其中有交點(diǎn)個(gè)數(shù) 內(nèi)角和 將平面分成若干部分等問(wèn)題 這些問(wèn)題可用數(shù)學(xué)歸納法證明 利用數(shù)學(xué)歸納法證明這些問(wèn)題時(shí) 關(guān)鍵是 找項(xiàng) 即幾何元素從k個(gè)變成k 1個(gè)時(shí) 所證的幾何量將增加多少 這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來(lái)分析 若分析不出來(lái) 將n k 1和n k分別代入所證的式子 然后作差 即可求出增加量 然后只需稍加說(shuō)明即可 這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的一大技巧 思路點(diǎn)撥 由n k推證n k 1時(shí) 搞清區(qū)集域變化了多少個(gè) 證明整除性問(wèn)題的關(guān)鍵是 湊項(xiàng) 采用增項(xiàng) 減項(xiàng) 拆項(xiàng)和因式分解等手段 湊出n k時(shí)的情形 從而利用歸納假設(shè)獲證 求證 3n 1 7n 1 n n 能被9整除 思路點(diǎn)撥 考慮到該問(wèn)題與正整數(shù)n有關(guān) 故可用數(shù)學(xué)歸納法證明 自主證明 1 當(dāng)n 1時(shí) 3n 1 7n 1 27 能被9整除 2 假設(shè)n k k 1 且k n 時(shí)命題成立 即 3k 1 7k 1能被9整除 那么當(dāng)n k 1時(shí) 3 k 1 1 7k 1 1 3k 1 3 1 6 7k 1 3k 1 7k 1 3k 1 6 7k 21 7k 3k 1 7k 1 3k 6 7k 6 21 7k 由歸納假設(shè)知 以上三項(xiàng)均能被9整除 則由 1 2 可知 命題對(duì)任意n n 都成立 解 歸納 猜想 證明 題的關(guān)鍵環(huán)節(jié) 1 準(zhǔn)確計(jì)算出前若干具體項(xiàng) 這是歸納 猜想的基礎(chǔ) 2 通過(guò)觀察 分析 比較 聯(lián)想 猜想出一般結(jié)論 3 用數(shù)學(xué)歸納法證明 在數(shù)列 an bn 中 a1 2 b1 4 且an bn an 1成等差數(shù)列 bn an 1 bn 1成等比數(shù)列 求a2 a3 a4及b2 b3 b4 由此猜測(cè) an bn 的通項(xiàng)公式 并證明你的結(jié)論 思路點(diǎn)撥 根據(jù)已知條件求出a2 a3 a4及b2 b3 b4 并猜想出 an bn 的通項(xiàng)公式 然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明 自主解答 由條件得2bn an an 1 a bnbn 1 由此可得a2 6 b2 9 a3 12 b3 16 a4 20 b4 25 猜想an n n 1 bn n 1 2 下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明 當(dāng)n 1時(shí) 由上可得結(jié)論成立 假設(shè)當(dāng)n k k n 時(shí) 結(jié)論成立 即ak k k 1 bk k 1 2 那么當(dāng)n k 1時(shí) 活學(xué)活用 數(shù)列 an 滿足sn 2n an n n 1 計(jì)算a1 a2 a3 a4 并由此猜想通項(xiàng)公式 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 中的猜想 題眼 歸納 猜想 證明 從特殊到一般的思維能力 心得 1 本題運(yùn)用了從特殊到一般的探索 歸納 猜想及證明的思維方式去探索和發(fā)