高考數(shù)學總復習 第六章第2課時 均值不等式課件 新人教版.ppt

第2課時均值不等式 第六章不等式與推理證明 基礎梳理 a b 2 算術平均值與幾何平均值設a 0 b 0 則a b的算術平均值為 幾何平均值為 基本不等式可敘述為 兩個正實數(shù)的算術平均值 它的幾何平均值 大于或等于 3 利用均值定理求最大 最小值 1 兩個正數(shù)的積為 時 它們的和有 2 兩個正數(shù)的和為 時 它們的積有 簡記為 和定積最大 積定和最小 常數(shù) 最小值 常數(shù) 最大值 2ab 2 思考探究上述四個不等式等號成立的條件是什么 提示 滿足a b 課前熱身 答案 a 答案 c 答案 2 5 長為24cm的鐵絲做成長方形模型 則模型的最大面積為 答案 36cm2 考點1利用均值不等式證明不等式利用均值不等式證明不等式 先觀察題目條件是否滿足均值不等式的應用環(huán)境 若不滿足 則應通過添項 拆項 配系數(shù)等方法 使其滿足應用條件 再結合不等式的基本性質(zhì) 達到證明的目的 證明 a4 b4 c4 d4 4abcd 思路分析 利用a2 b2 2ab兩兩結合即可求證 但需兩次利用不等式 注意等號成立的條件 證明 a4 b4 c4 d4 2a2b2 2c2d2 2 a2b2 c2d2 2 2abcd 4abcd 故原不等式得證 等號成立的條件是a2 b2 且c2 d2 ab cd 名師點評 證明不等式時要注意靈活變形 多次利用均值不等式時 注意每次等號是否都成立 同時也要注意應用均值不等式的變形形式 考點2利用均值不等式求最值利用均值不等式求最值時 要注意其必須滿足的三個條件 一正二定三相等 一正 就是各項必須為正數(shù) 二定 就是要求和的最小值 必須把構成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值 要求積的最大值 則必須把構成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值 三相等 是利用基本定理求最值時 必須驗證等號成立這一條件 若不能取等號則這個定值就不是所求的最值 這是最容易發(fā)生錯誤的地方 所以在不等式連續(xù)放縮的時候 要時刻注意是否在同一條件下進行放縮 放縮時還要注意有目的性 同向性 不要出現(xiàn)放縮后不能比較大小的情況 互動探究 考點3均值不等式的實際應用解實際應用題要注意以下幾點 1 設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù) 2 根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后 只需利用均值不等式求得函數(shù)的最值 3 在求函數(shù)的最值時 一定要在定義域 使實際問題有意義的自變量的取值范圍 內(nèi)求解 某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池 池的深度一定 平面圖如圖所示 如果池四周圍墻建造單價為400元 米 中間兩道隔墻建造單價為248元 米 池底建造單價為80元 平方米 水池所有墻的厚度忽略不計 1 試設計污水處理池的長和寬 使總造價最低 并求出最低總造價 2 若由于地形限制 該池的長和寬都不能超過16米 試設計污水池的長和寬 使總造價最低 并求出最低總造價 方法小結 1 解應用題時 一定要注意變量的實際意義 即其取值范圍 這對最優(yōu)化問題起著關鍵作用 2 在求函數(shù)的最值時 除應用均值不等式外 有時會出現(xiàn)均值不等式取不到等號的情形 此時要利用函數(shù)的單調(diào)性求解 方法技巧1 合理拆分項或配湊因式是常用的技巧 而拆與湊的目標在于使等號成立 且每項為正值 必要時出現(xiàn)積為定值或和為定值 如例2 2 當多次使用均值不等式時 一定要注意每次是否能保證等號成立 并且要注意取等號的條件的一致性 否則就會出錯 因此在利用均值不等式處理問題時 列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟 而且也是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法 失誤防范 命題預測通過對近幾年高考試題的統(tǒng)計和分析可以發(fā)現(xiàn) 本節(jié)主要考查利用均值不等式求函數(shù)的最值 若單純考查均值不等式 一般難度不大 通常出現(xiàn)在選擇題和填空題中 若考查均值不等式的變形 即通過對代數(shù)式進行拆 添項或配湊因式 構造出均值不等式的形式再進行求解 難度就會提升 對均值不等式的考查 若以解答題的形式出現(xiàn)時 往往是作為工具使用 用來證明不等式或解決實際問題 預測2013年高考仍將以求函數(shù)的最值為主要考點 重點考查學生的運算能力和邏