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第第 8 模塊模塊 第第 9 節(jié)節(jié) 一 選擇題 1 若直線 y a 與橢圓x 2 3 y2 4 1 恒有兩個不同的交點 則 a 的取值范圍是 A 3 3 B 3 3 C 2 2 D 4 4 解析 如右圖 作出圖形 即可求出結果 答案 C 2 設拋物線 y2 8x 的準線與 x 軸交于點 Q 若過點 Q 的直線 l 與拋物線有公共點 則 直線 l 的斜率的取值范圍是 A 1 2 1 2 B 2 2 C 1 1 D 4 4 解析 設直線方程為 y k x 2 與拋物線聯(lián)立方程組 整理得 ky2 8y 16k 0 當 k 0 時 直線與拋物線有一個交點 當 k 0 時 由 64 64k2 0 解得 1 k 1 且 k 0 所以 1 k 1 答案 C 3 已知點 P 4 2 是直線 l 被橢圓 x2 4y2 所截得的線段 AB 的中點 若 AB 10 則 等于 A 4 B 9 C 16 D 36 答案 D 4 斜率為 1 的直線 l 與橢圓x 2 4 y 2 1 相交于 A B 兩點 則 AB 的最大值為 A 2 B 4 5 5 C 4 10 5 D 8 10 5 解析 設直線 l 的方程為 y x t 代入x 2 4 y 2 1 消去 y 得5 4x 2 2tx t2 1 0 由題意得 2t 2 5 t2 1 0 即 t2 5 弦長 AB 2 4 5 t 2 5 4 10 5 答案 C 二 填空題 5 如果過兩點 A a 0 和 B 0 a 的直線與拋物線 y x2 2x 3 沒有交點 那么實數(shù) a 的取值范圍是 解析 過 A B 兩點的直線為 x y a 與拋物線 y x2 2x 3 聯(lián)立得 x2 x a 3 0 因為直線與拋物線沒有交點 則方程無解 即 1 4 a 3 0 解之 a32 此時無最小值 綜上所述 y21 y22的最小值為 32 8 拋物線的頂點在原點 以 x 軸為對稱軸 經過焦點且傾斜角為 135 的直線 被拋物 線所截得的弦長為 8 試求拋物線方程 解 如右圖 依題意設拋物線方程為 y2 2px p 0 則直線方程為 y x 1 2p 設直線交拋物線于 A x1 y1 B x2 y2 則由拋物線定義得 AB AF FB AC BD x1 p 2 x2 p 2 即 x1 x2 p 8 又 A x1 y1 B x2 y2 是拋物線和直線的交點 由 y x 1 2p y2 2px 消去 y 得 x2 3px p 2 4 0 x1 x2 3p 將其代入 得 p 2 所求拋物線方程為 y2 4x 當拋物線方程設為 y2 2px 時 同理可求得拋物線方程為 y2 4x 拋物線方程為 y2 4x 或 y2 4x 高考 模擬 預測 1 2009 四川高考 已知直線 l1 4x 3y 6 0 和直線 l2 x 1 拋物線 y2 4x 上一 動點 P 到直線 l1和直線 l2的距離之和的最小值是 A 2 B 3 C 11 5 D 37 16 解析 直線 l2 x 1 恰為拋物線 y2 4x 的準線 P 到 l2的距離 d2 PF F 1 0 為拋物線焦點 所以 P 到 l1 l2距離之和最小值為 F 到 l1距離 4 1 3 0 6 32 42 2 故選 A 答案 A 2 2009 北京高考 點 P 在直線 l y x 1 上 若存在過 P 的直線交拋物線 y x2于 A B 兩點 且 PA AB 則稱點 P 為 A 點 那么下列結論中正確的是 A 直線 l 上的所有點都是 A 點 B 直線 l 上僅有有限個點是 A 點 C 直線 l 上的所有點都不是 A 點 D 直線 l 上有無窮多個點 但不是所有的點 A 點 解析 分別作出直線 l y x 1 及拋物線 y x2 如右圖 取直線 l 上任一點 P 都存在過 點 P 的直線 直線可繞 P 點任意旋轉 交拋物線 y x2于 A B 兩點 則 AB 的取值范圍是 0 那么一定存在一個值 使得 PA AB 故選 A 答案 A 3 2009 天津高考 設拋物線 y2 2x 的焦點為 F 過點 M 3 0 的直線與拋物線相交于 A B 兩點 與拋物線的準線相交于點 C BF 2 則 BCF 與 ACF 的面積之比S BCF S ACF A 4 5 B 2 3 C 4 7 D 1 2 解析 如右圖過 A B 作準線 l x 1 2的垂線 垂足分別為 A1 B1 由于 F 到直線 AB 的距離為定值 S BCF S ACF BC CA 又 B1BC A1AC BC CA BB1 AA1 由拋物線定義 BB1 AA1 BF AF 2 AF 由 BF BB1 2 知 xB 3 2 yB 3 lAB y 0 3 3 3 2 x 3 把 x y 2 2代入上式 求得 yA 2 xA 2 AF AA1 5 2 故S BCF S ACF BF AF 2 5 2 4 5 故選 A 答案 A 4 2009 遼寧高考 已知 橢圓 C 經過點 A 1 3 2 兩個焦點為 1 0 1 0 1 求橢圓 C 的方程 2 E F 是橢圓 C 上的兩個動點 如果直線 AE 的斜率與 AF 的斜率互為相反數(shù) 證明 直線 EF 的斜率為定值 并求出這個定值 解 1 由題意 c 1 可設橢圓方程為 x2 1 b2 y2 b2 1 因為 A 在橢圓上 所以 1 1 b2 9 4b2 1 解得 b 2 3 b2 3 4 舍去 所以橢圓方程為x 2 4 y2 3 1 2 設直線 AE 方程為 y k x 1 3 2 代入x 2 4 y2 3 1 得 3 4k2 x2 4k 3 2k x 4 3 2 k 2 12 0 設 E xE yE F xF yF 因為點 A 1 3 2 在橢圓上 所以 xE 4 3 2 k 2 12 3 4k2 yE kxE 3 2 k 又直線 AF 的斜率與 AE 的斜率互為相反數(shù) 在上式中以 k 代 k 可得 xF 4 3 2 k 2 12 3 4k2 yF kxF 3 2 k 所以直線 EF 的斜率 kEF yF yE xF xE k xE xF 2k xF xE 1 2 即直線 EF 的斜率為定值 其值為 1 2 備選精題 5 已知動圓 C 過點 A 2 0 且與圓 M x 2 2 y2 64 相內切 1 求動圓 C 的圓心的軌跡方程 2 設直線 l y kx m 其中 k m Z 與 1 所求軌跡交于不同兩點 B D 與雙曲線x 2 4 y2 12 1 交于不同兩點 E F 問是否存在直線 l 使得向量DF BE 0 若存在 指出這樣的 直線有多少條 若不存在 請說明理由 解 1 圓 M x 2 2 y2 64 圓心 M 的坐標為 2 0 半徑 R 8 AM 4 AM 圓心 C 的軌跡是中心在原點 以 A M 兩點為焦點 長軸長為 8 的橢圓 設其方程 為x 2 a2 y2 b2 1 a b 0 則 a 4 c 2 b2 a2 c2 12 所求動圓 C 的圓心的軌跡方程為x 2 16 y2 12 1 2 由 y kx m x2 16 y2 12 1 消去 y 化簡整理得 3 4k2 x2 8kmx 4m2 48 0 設 B x1 y1 D x2 y2 則 x1 x2 8km 3 4k2 1 8km 2 4 3 4k2 4m2 48 0 由 y kx m x2 4 y2 12 1 消去 y 化簡整理得 3 k2 x2 2kmx m2 12 0 設 E x3 y3 F x4 y4 則 x3 x4 2km 3 k2 2 2km 2 4 3 k 2 m2 12 0 DF BE 0 x 4 x2