基數(shù)原理經(jīng)典例題.doc

經(jīng)典例題透析類型一：兩個計數(shù)原理的應(yīng)用1用0、1、2、3、4、5、能組成多少個(1)四位數(shù)；(2)四位偶數(shù)；(3)無重復(fù)且能被5整除的四位數(shù)；(4)比5000小的自然數(shù)；解析：(1)由分步計數(shù)原理得5666 =1080（個）(2)由分步計數(shù)原理得5663=540（個）(3)由分類計數(shù)原理分成2類， 第一類是“末位是0”，共有543種， 第二類是末位是5，共有443種， 故共有108個這樣的四位數(shù)。(4)法一：由分步計數(shù)原理直接可得5666=1080（個） 法二：分成一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)四類， 故共有6+56+566+4666=1080（個）總結(jié)升華：應(yīng)用兩個原理解決有關(guān)計數(shù)問題的關(guān)鍵是區(qū)分事件是分類完成還是分步完成，而分類與分步的區(qū)別又在于任取其中某一方法是否能完成事件。能完成便是分類，否則便是分步，對于有些較復(fù)雜問題可能既要分類又要分步，此時應(yīng)注意層次分明，不重不漏。在分步時，要注意上一步的方法確定后對下一步有無影響（即是否是獨立的）。舉一反三：【變式1】3封信投到5個信箱，有多少投信方法？【答案】125分3步：第一步，投第一封信，有5個信箱，故有5種投法；第二步，投第二封信，有5種投法；第三步，投第3封信，還是有5種投法，由分步計數(shù)原理，有53=125種方法?！咀兪?】A=a,b,c,B=1,2,3,4，A到B的映射有多少個？【答案】64分三步：第一步，給元素a找像，有4種方法；第二步，給元素b找像，有4種方法；第三步，給元素c找像，有4種方法；由分步計數(shù)原理得共有444=64種映射?！咀兪?】紅、黃、藍(lán)信號彈各一發(fā)，發(fā)一發(fā)，兩發(fā)，三發(fā)代表不同的信號，問能組成多少種不同的信號？【答案】15分3類：第一類，發(fā)一發(fā)有3種信號；第二類，發(fā)兩發(fā)有32=6種信號；第三類，發(fā)三發(fā)有321=6種信號，故共有3+6+6=15種不同的信號?！咀兪?】某校高中部，高一有6個班，高二有7個班，高三有8個班，學(xué)校利用周六組織學(xué)生到某工廠進行社會實踐活動。（1）任選一個班的學(xué)生參加社會實踐，有多少種不同的選法？（2）三個年級各選一個班的學(xué)生參加社會實踐，有多少種不同的選法？（3）選兩個班的學(xué)生參加社會實踐，要求這兩個班來自不同年級，有多少種不同選法？【答案】（1）分三類： 第一類從高一年級選一個班，有6種不同方法； 第二類從高二年級選一個班，有7種不同方法； 第三類從高三年級選一個班，有8種不同方法。 由分類加法計數(shù)原理，共有6+7+8=21種不同選法。（2）每種選法分三步： 第一步從高一年級選一個班，有6種不同的方法； 第二步從高二年級選一個班，有7種不同的方法； 第三步從高三年級選一個班，有8種不同方法。 由分步乘法計數(shù)原理，共有678=336種不同的選法。（3）分三類，每類又分兩步： 第一類從高一、高二兩個年級各選一個班，有67種不同方法； 第二類從高一、高三兩個年級各選一個班，有68種不同方法； 第三類從高二、高三兩個年級各選一個班，有78種不同方法。 故共有67+68+78=146種不同選法。類型二：排列數(shù)和組合數(shù)公式2計算： （1）；（2）解析：（1）原式 。（2）原式?？偨Y(jié)升華：要善于利用組合數(shù)的兩個性質(zhì)進行化簡和計算有關(guān)組合數(shù)的式子。舉一反三：【變式1】計算：?！敬鸢浮吭健！咀兪?】計算：。【答案】依題意必須滿足 5.76.5，而N*，=6。 原式。類型三：排列應(yīng)用問題37人排隊照相，則滿足下列條件的排隊種數(shù)分別有多少種？(1) 甲必在正中間； (2) 甲不在正中間； (3) 甲在端位； (4) 甲不在端位； (5) 甲必在左端，乙必在右端； (6) 甲必在左端，乙不在右端； (7) 甲、乙兩人都在端位； (8) 甲、乙兩人都不在端位； (9) 甲、乙兩人不都在端位； (10) 甲、乙兩人恰有一人在端位； (11) 甲、乙兩人中至少有一人在端位； (12) 甲、乙兩人必須排在一起； (13) 甲、乙兩人必須排在一起，另5人也必須排在一起； (14) 甲、乙兩人不相鄰； (15) 甲、乙、丙三人不相鄰； (16) 甲、乙、丙三人順序固定。 解析：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)某三人不相鄰；(16)某三人順序固定；舉一反三：【變式1】由0，1，2，3，4，5可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的(1)五位數(shù)； (2)自然數(shù)； (3)五位奇數(shù)； (4)五位偶數(shù)；(5)比12345大的五位數(shù)； (6)比54312小的五位數(shù)； (7)能被5整除的五位數(shù)； (8)能被25整除的五位數(shù)； (9)能被4整除的五位數(shù)； (10)能被3整除的五位數(shù)?！敬鸢浮?1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)【變式2】四對母子排隊照相，分別滿足下列要求的排隊方法有多少種？(1)排兩排，每排四個人，小孩在前排，大人在后排；(2)排兩排，每排四個人，小孩和母親排在一起；(3)排一排，小孩不能相鄰；(4)排一排，小孩不能相鄰，母親也不能相鄰；(5)排一排，小孩從左到右由高至低排；(6)排一排，甲不在最左端，乙不在最右端。【答案】(1)分兩步： 第一步排前排四個小孩，有種方法； 第二步排后排四個母親，有種方法， 由分步計數(shù)原理得共有種排隊方法。(2)將孩子和他的母親先看成一個人，則有種排法， 每個孩子和母親都有兩種順序，故共有種排法。(3)先排母親，有種排法， 出來5個空，將孩子插到這5個空里，有種排法， 故共有種排法。(4)先排母親，有種排法，出來5個空，孩子只能插在左邊的四個空或右邊的4個空，故有種排法，由分步計數(shù)原理得(5)法一：分兩步，先從8個位置中找出4個位置排母親，有種方法，剩下4個空位子，四個孩子去坐，只有從左到右從高到低1種方法， 故共有種排法； 法二：首先全排列，但這里只需要四個孩子的一種順序，故共有種方法。(6)從反面考慮：總數(shù)為， 減去不符合題意的情況：甲在左端，有種；乙在右端，有種， 但甲在左端同時乙在右端的情況，種，被減了兩次，故要加回來一次， 共有種排法?！咀兪?】甲、乙、丙、丁四個運動員要排在四個跑道，甲不在一道，乙不在二道，丙不在三道，丁不在四道，問共有多少種排法？【答案】9種乙甲丁丙 乙丁甲丙 乙丙丁甲丙甲丁乙 丙丁甲乙 丙丁乙甲丁甲乙丙 丁丙甲乙 丁丙乙甲類型四：組合應(yīng)用問題4在角A的一邊上除A點外有5個點，在另一邊上除A點外有4個點，由A點和另外9個點可組成多少個三角形？ 思路點撥：依據(jù)題意畫出圖形，將問題具體化，然后從正面分類解決，或者找出對立面。解法一：由于點A是角A的頂點，可以把三角形分為兩類： 第一類是不含A點的，又分2類： （1）從中取一點，再從中取二點，有個； （2）從中取二點，再從中取一點，有個； 第二類是含A點的， 從中上取一點，再從中取一點，有個 因此可組成三角形（個）解法二：從10個點中任意取3個點的取法有種， 其中不能組成三角形的取法： 從中上取三點有種，或從中取一點有種 因此，可以組成的三角形有（個）總結(jié)升華：解決這類問題最容易出現(xiàn)的錯誤就是產(chǎn)生重復(fù)，避免產(chǎn)生重復(fù)的方法就是進行分類。舉一反三：【變式1】平面內(nèi)有10個點，其中有某4個點在一條直線上，此外沒有3個點在一條直線上可以確定多少條直線？【答案】40；法一：分三類：第一類，共線4點確定1條直線；第二類，共線4點中選1點，從其余6點中選1點，可以確定條；第三類，從其余6點中選2點，可以確定條；所以共可以確定（條）法二：間接法從10個點中任意取2個點的取法有種，其中重復(fù)計數(shù)的取法包括共線4點只能確定1條直線；因此，共可以確定（條）【變式2】平面內(nèi)有10個點，其中有某4個點在一條直線上，此外沒有3個點在一條直線上可以確定多少個三角形？【答案】116；法一：由于不在同一條直線上的三點可確定三角形，分三類：第一類，從其余6點中選3點，可以確定個；第二類，從其余6點中選1點，共線4點中選2點，可以確定個；第三類，從其余6點中選2點，共線4點中選1點，可以確定個；所以共可確定三角形（個）法二：間接法從10個點中任意取3個點的取法有種，其中共線4點不能確定三角形；因此，共可以確定定三角形（個）。【變式3】平面內(nèi)有10個點，其中有某4個點在一條直線上，此外沒有3個點在一條直線上可以確定多少個四邊形？【答案】由于四邊形有4個頂點，且任意三個頂點不共線，則可確定四邊形（個）或（個）【變式4】從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要有甲型與乙型電視機各1臺，則不同的取法共有（ ）。A140種 B84種 C70種 D35種【答案】取出的3臺電視機中要求至少有甲型與乙型各一臺，它包括兩種可能：2臺甲型與1臺乙型、1臺甲型與2臺乙型，所以可用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解決，另外，也可以采用間接思路。法一：從4臺甲型電視機中取2臺且從5臺乙型電視機中取1臺有種取法，從4臺甲型電視機中取1臺且從5臺乙型電視機中取2臺有種取法，所以取出的3臺電視機中至少要有甲型與乙型各1臺的取法共有種。法二：從所有的9臺電視機中取3臺有種取法，其中全部為甲型的有種取法，全部為乙型的有種取法，則至少有甲型與乙型各一臺的取法有種。類型五：排列組合的綜合應(yīng)用5從6個男同學(xué)和4個女同學(xué)中，選出3個男同學(xué)和2個女同學(xué)分別承擔(dān)A、B、C、D、E五項不同的工作，一共有多少種分配工作的方法？ 思路點撥：要完成分配工作這一事件，必須依次完成“選出3個男同學(xué)”“選出2個女同學(xué)” “對選出的5個人進行不同的工作分配”這一流程解析：分三步完成事件：第一步：選出3個男同學(xué)的方法有種；第二步：選2個女同學(xué)有種方法；第三步：對選出的5個人進行分配工作有種方法根據(jù)分步計數(shù)原理，一共有分配方法（種）總結(jié)升華：處理排列、組合的綜合性問題，一般方法是先按元素的性質(zhì)“分類”（相當(dāng)于“布局”），再按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步；若既有排列也有組合，先選后排，這是處理排列、組合問題的基本方法和原理舉一反三：【變式1】對某種產(chǎn)品的6只不同正品和4只不同次品一一測試，若所有次品恰好在第六次測試時被全部發(fā)現(xiàn)，這樣的測試方法有多少種？【答案】；先選1個次品在第六次測試的位置上，有種方法，再選2只正品與剩下的3只次品進行全排列，有種方法所以符合條件的方法有（種）【變式2】有4名男生5名女生一共9名實習(xí)生分配到高一的四個班級擔(dān)任見習(xí)班主任，每班至少有男、女實習(xí)生各1名的不同分配方案共有多少種？【答案】； 由題意可知，有且僅有2名女生要分在同一個班，故有（種）【變式3】甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分到四個不同的崗位服務(wù)，每個崗位至少有一名志愿者（1）共有安排方法 種；（2）甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)的安排方法 種。【答案】240，6；（1）先分類：四個不同崗位的服務(wù)人數(shù)分別為：2、1、1、1， 然后分步完成： 第一步：先從5人中選2人，有方法種， 再將四組人安排到崗位上，有方法種， 共有安排方法種；（2）甲、乙兩人同時參加崗位相當(dāng)于3人的全排列，有方法種。類型六：分配問題6有6本不同的書，分給甲、乙、丙三人 （1）甲得2本，乙得2本，丙得2本，有多少種分法？（2）一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少種分法？（3）甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少種分法？解析：（1）分三步完成： 第一步：甲從6本不同的書中選取2本有種方法， 第二步：乙從剩下的4本中去取2本書有種方法， 第三步：丙從剩下的2本中去取2本書就只有種方法 所以依據(jù)分布計數(shù)原理，共有分法種（2）這里沒有指明誰得1本，誰得2本，誰得3本， 而要確定甲、乙、丙三人每人得書的本數(shù)有種方法 所以共有分法（種）（3）設(shè)把6本不同的書平均分成三推每堆2本有x種方法， 那么把6本書分給甲、乙、丙三人每人2本就有種方法 （因為每次分成三堆后，再分給三個人有種分法）， 而把6本書分給甲、乙、丙三人每人2本的方法有種 于是 （種）總結(jié)升華：一般地，平均分成n堆（組），必須除以n!；如若部分平均分成m堆（組），必須除以m！。舉一反三：【變式1】把6本不同的書分成三堆，一堆4本，另二堆各1本那么共有 種?！敬鸢浮?5；。【變式2】4個男同學(xué)和4個女同學(xué)各平均分成兩組，每組2人，到4所不同的學(xué)校去學(xué)習(xí)如果同樣兩人在不同的學(xué)校算作不同的情況，那么共有多少種不同的分配方法？【答案】；分三步完成:第一步：把4個男同學(xué)平均分成兩組有種方法，第二步：把4個女同學(xué)平均分成兩組有種方法，第三步：把四個組分配到4所不同的學(xué)校去學(xué)習(xí)有種方法根據(jù)分步計數(shù)原理，共有不同的方法（種）類型七：二項式定理7設(shè)展開式的第7項與倒數(shù)第7項的比是16，求展開式中的第7項。解析：，。由，化簡得，n=9?？偨Y(jié)升華：（1）本題是應(yīng)用二項式定理通項公式的典型問題，要能熟練地應(yīng)用通項公式寫出所需的各項。（2）本題的解題思路實質(zhì)是利用方程思想，列出方程，解出n，這是解本題的關(guān)鍵。舉一反三：【變式1】二項式的展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項有多少項？【答案】這個二項展開式的通項為。 由題意，是有理數(shù)。由于為正整數(shù)，而2與3又互質(zhì)， 所以為有理數(shù)的充要條件是與均為整數(shù)，即與均為整數(shù)， 從而r為6的倍數(shù)，因為0r50，rN， 所以，若設(shè)滿足條件的r有m個，則r1=0，d=6，rm=48，即6(m1)=48，m=9，即滿足條件的r有9個，從而在這個展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項有9項?！咀兪?】求展開式中系數(shù)最大的項?！敬鸢浮吭讲皇堑臉?biāo)準(zhǔn)二項式，不一定是中間項系數(shù)最大。 設(shè)項系數(shù)最大，有。 ，解得。 k是非負(fù)整數(shù)，k=8。 第8項系數(shù)最大，即?！咀兪?】設(shè)，求的值?！敬鸢浮苛睿?。 令，得。 兩式相加，得， 。說明：二項式定理是一個恒等式，對一切x的允許值都能成立。當(dāng)求展開式的系數(shù)或者證明有關(guān)組合數(shù)的恒等式時，常常用此方法?！咀兪?】求證：對任何非負(fù)整數(shù)n，可被676整除。【答案】當(dāng)n=0時，原式=0，可被676整除。 當(dāng)n=1時，原式=0，也可被676整除。 當(dāng)n2時， 原式 每一項都含262這個因數(shù)，故可被262=