能量泄漏窗函數(shù).doc

能量泄漏，窗函數(shù)背景6.4.1信號(hào)截?cái)嗉澳芰啃孤┬?yīng)數(shù)字信號(hào)處理的主要數(shù)學(xué)工具是傅里葉變換。應(yīng)注意到，傅里葉變換是研究整個(gè)時(shí)間域和頻率域的關(guān)系。然而，當(dāng)運(yùn)用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)工程測(cè)試信號(hào)處理時(shí)，不可能對(duì)無(wú)限長(zhǎng)的信號(hào)進(jìn)行測(cè)量和運(yùn)算，而是取其有限的時(shí)間片段進(jìn)行分析。做法是從信號(hào)中截取一個(gè)時(shí)間片段，然后用觀察的信號(hào)時(shí)間片段進(jìn)行周期延拓處理，得到虛擬的無(wú)限長(zhǎng)的信號(hào)，然后就可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換、相關(guān)分析等數(shù)學(xué)處理。圖6.4-1周期延拓后的信號(hào)與真實(shí)信號(hào)是不同的，下面從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看這種處理帶來(lái)的誤差情況。設(shè)有余弦信號(hào)x（t）在時(shí)域分布為無(wú)限長(zhǎng)（- ，），當(dāng)用矩形窗函數(shù)w(t)與其相乘時(shí)，得到截?cái)嘈盘?hào)xT(t)=x(t)w(t)。根據(jù)博里葉變換關(guān)系，余弦信號(hào)的頻譜X（）是位于。處的函數(shù)，而矩形窗函數(shù)w(t)的譜為sinc()函數(shù)，按照頻域卷積定理，則截?cái)嘈盘?hào)xT(t)的譜XT()應(yīng)為將截?cái)嘈盘?hào)的譜XT()與原始信號(hào)的譜X（）相比較可知，它已不是原來(lái)的兩條譜線，而是兩段振蕩的連續(xù)譜。這表明原來(lái)的信號(hào)被截?cái)嘁院?，其頻譜發(fā)生了畸變，原來(lái)集中在f0處的能量被分散到兩個(gè)較寬的頻帶中去了，這種現(xiàn)象稱之為頻譜能量泄漏（Leakage）。讀者注：(這是以正弦信號(hào)為例，正弦信號(hào)的的頻譜為兩條線，一個(gè)而矩形窗函數(shù)w(t)的譜為sinc()函數(shù)，在時(shí)域，是截取，在頻域，頻譜畸變了)信號(hào)截?cái)嘁院螽a(chǎn)生的能量泄漏現(xiàn)象是必然的，因?yàn)榇昂瘮?shù)w(t)是一個(gè)頻帶無(wú)限的函數(shù)，所以即使原信號(hào)x(t)是限帶寬信號(hào)，而在截?cái)嘁院笠脖厝怀蔀闊o(wú)限帶寬的函數(shù)，即信號(hào)在頻域的能量與分布被擴(kuò)展了。又從采樣定理可知，無(wú)論采樣頻率多高，只要信號(hào)一經(jīng)截?cái)?，就不可避免地引起混疊，因此信號(hào)截?cái)啾厝粚?dǎo)致一些誤差，這是信號(hào)分析中不容忽視的問(wèn)題。讀者注：(Nyquist律：采樣高于信號(hào)頻率兩倍，但是截取導(dǎo)致了很多高頻的分量)怎么辦，怎么改進(jìn)這個(gè)問(wèn)題呢？如果增大截?cái)嚅L(zhǎng)度T，即矩形窗口加寬，則窗譜W（）將被壓縮變窄（T減小）。雖然理論上講，其頻譜范圍仍為無(wú)限寬，但實(shí)際上中心頻率以外的頻率分量衰減較快，因而泄漏誤差將減小。當(dāng)窗口寬度T趨于無(wú)窮大時(shí)，則譜窗W（）將變?yōu)椋ǎ┖瘮?shù)，而（）與X（）的卷積仍為H（），這說(shuō)明，如果窗口無(wú)限寬，即不截?cái)?，就不存在泄漏誤差。為了減少頻譜能量泄漏，可采用不同的截取函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行截?cái)?，截?cái)嗪瘮?shù)稱為窗函數(shù)，簡(jiǎn)稱為窗。泄漏與窗函數(shù)頻譜的兩側(cè)旁瓣有關(guān)，如果兩側(cè)p旁瓣的高度趨于零，而使能量相對(duì)集中在主瓣，就可以較為接近于真實(shí)的頻譜，為此，在時(shí)間域中可采用不同的窗函數(shù)來(lái)截?cái)嘈盘?hào)。6.4.2常用窗函數(shù)實(shí)際應(yīng)用的窗函數(shù)，可分為以下主要類型：冪窗：采用時(shí)間變量某種冪次的函數(shù)，如矩形、三角形、梯形或其它時(shí)間函數(shù)x(t)的高次冪；三角函數(shù)窗：應(yīng)用三角函數(shù)，即正弦或余弦函數(shù)等組合成復(fù)合函數(shù)，例如漢寧窗、海明窗等；指數(shù)窗。：采用指數(shù)時(shí)間函數(shù)，如e-st形式，例如高斯窗等。(l) 矩形窗矩形窗屬于時(shí)間變量的零次冪窗，函數(shù)形式為相應(yīng)的窗譜為矩形窗使用最多，習(xí)慣上不加窗就是使信號(hào)通過(guò)了矩形窗。這種窗的優(yōu)點(diǎn)是主瓣比較集中，缺點(diǎn)是旁瓣較高，并有負(fù)旁瓣（下圖所示），導(dǎo)致變換中帶進(jìn)了高頻干擾和泄漏，甚至出現(xiàn)負(fù)譜現(xiàn)象。圖6.4-3(2) 三角窗。三角窗亦稱費(fèi)杰（Fejer）窗，是冪窗的一次方形式，其定義為相應(yīng)的窗譜為。三角窗與矩形窗比較，主瓣寬約等于矩形窗的兩倍，但旁瓣小，而且無(wú)負(fù)旁瓣，如下圖所示。漢寧（Hanning）窗漢寧窗又稱升余弦窗，其時(shí)域表達(dá)式為：相應(yīng)的窗譜為：由此式可以看出，漢寧窗可以看作是3個(gè)矩形時(shí)間窗的頻譜之和，或者說(shuō)是 3個(gè) sine（t）型函數(shù)之和，而括號(hào)中的兩項(xiàng)相對(duì)于第一個(gè)譜窗向左、右各移動(dòng)了 T，從而使旁瓣互相抵消，消去高頻干擾和漏能。下圖表示漢寧窗與矩形窗的譜圖對(duì)比，可以看出，漢寧窗主瓣加寬（第一個(gè)零點(diǎn)在2T處）并降低，旁瓣則顯著減小第一個(gè)旁瓣衰減一32dB，而矩形窗第一個(gè)旁瓣衰減一13dB此外，漢寧窗的旁瓣衰減速度也較快，約為60dB（10oct），而矩形窗為20dB（10oct）。由以上比較可知，從減小泄漏觀點(diǎn)出發(fā)，漢寧窗優(yōu)于矩形窗但漢寧窗主瓣加寬，相當(dāng)于分析帶寬加寬，頻率分辨力下降4）海明（Hamming）窗 海明窗也是余弦窗的一種，又稱改進(jìn)的升余弦窗，其時(shí)間函數(shù)表達(dá)式為：其窗譜為：海明窗與漢寧窗都是余弦窗，只是加權(quán)系數(shù)不同。海明窗加權(quán)的系數(shù)能使旁瓣達(dá)到更小。分析表明，海明窗的第一旁瓣衰減為一42dB海明窗的頻譜也是由3個(gè)矩形時(shí)窗的頻譜合成，但其旁瓣衰減速度為20dB（10oct），這比漢寧窗衰減速度慢。海明窗與漢寧窗都是很有用的窗函數(shù)（5）高斯窗 高斯窗是一種指數(shù)窗其時(shí)域函數(shù)為：式中a為常數(shù)，決定了函數(shù)曲線衰減的快慢。a值如果選取適當(dāng)，可以使截?cái)帱c(diǎn)（T為有限值）處的函數(shù)值比較小，則截?cái)嘣斐傻挠绊懢捅容^小。高斯窗譜無(wú)負(fù)的旁瓣，第一旁瓣衰減達(dá)一55dB。高斯富譜的主瓣較寬，故而頻率分辨力低高斯窗函數(shù)常被用來(lái)截?cái)嘁恍┓侵芷谛盘?hào)，如指數(shù)衰減信號(hào)等 除了以上幾種常用窗函數(shù)以外，尚有多種窗函數(shù)，如平頂窗、帕仁（Parzen）窗、布拉克曼（Blackman）窗、凱塞（kaiser）窗等 對(duì)于窗函數(shù)的選擇，應(yīng)考慮被分析信號(hào)的性質(zhì)與處理要求如果僅要求精確讀出主瓣頻率，而不考慮幅值精度，則可選用主瓣寬度比較窄而便于分辨的矩形窗，例如測(cè)量物體的自振頻率等；如果分析窄帶信號(hào)，且有較強(qiáng)的干擾噪聲，則應(yīng)選用旁瓣幅度小的窗函數(shù)，如漢寧窗、三角窗等；對(duì)于隨時(shí)間按指數(shù)衰減的函數(shù)，可采用指數(shù)窗來(lái)提高信噪比名稱特點(diǎn)應(yīng)用矩形窗Rectangle矩形窗使用最多，習(xí)慣上不加窗就是使信號(hào)通過(guò)了矩形窗。這種窗的優(yōu)點(diǎn)是主瓣比較集中，缺點(diǎn)是旁瓣較高，并有負(fù)旁瓣，導(dǎo)致變換中帶進(jìn)了高頻干擾和泄漏，甚至出現(xiàn)負(fù)譜現(xiàn)象。頻率識(shí)別精度最高，幅值識(shí)別精度最低，所以矩形窗不是一個(gè)理想的窗。如果僅要求精確讀出主瓣頻率，而不考慮幅值精度，則可選用矩形窗，例如測(cè)量物體的自振頻率等，也可以用在階次分析中。漢寧窗Hanning又稱升余弦窗。主瓣加寬并降低，旁瓣則顯著減小，從減小泄漏觀點(diǎn)出發(fā)，漢寧窗優(yōu)于矩形窗但漢寧窗主瓣加寬，相當(dāng)于分析帶寬加寬，頻率分辨力下降。它與矩形窗相比，泄漏、波動(dòng)都減小了,并且選擇性也提高。是很有用的窗函數(shù)。如果測(cè)試信號(hào)有多個(gè)頻率分量，頻譜表現(xiàn)的十分復(fù)雜，且測(cè)試的目的更多關(guān)注頻率點(diǎn)而非能量的大小，需要選擇漢寧窗。如果被測(cè)信號(hào)是隨機(jī)或者未知的，選擇漢寧窗。海明窗（漢明窗）Hamming與漢寧窗都是余弦窗，又稱改進(jìn)的升余弦窗，只是加權(quán)系數(shù)不同，使旁瓣達(dá)到更小。但其旁瓣衰減速度比漢寧窗衰減速度慢。與漢明窗類似，也是很有用的窗函數(shù)。平頂窗Flap Top平頂窗在頻域時(shí)的表現(xiàn)就象它的名稱一樣有非常小的通帶波動(dòng)。由于在幅度上有較小的誤差，所以這個(gè)窗可以用在校準(zhǔn)上。凱塞窗Kaiser定義了一組可調(diào)的由零階貝塞爾Bessel 函數(shù)構(gòu)成的窗函數(shù)，通過(guò)調(diào)整參數(shù)可以在主瓣寬度和旁瓣衰減之間自由選擇它們的比重。對(duì)于某一長(zhǎng)度的Kaiser 窗，給定，則旁瓣高度也就固定了。布萊克曼窗Blackman二階升余弦窗，主瓣寬，旁瓣比較低，但等效噪聲帶寬比漢寧窗要大一點(diǎn)，波動(dòng)卻小一點(diǎn)。頻率識(shí)別精度最低，但幅值識(shí)別精度最高，有更好的選擇性。常用來(lái)檢測(cè)兩個(gè)頻率相近幅度不同的信號(hào)。高斯窗Gaussian是一種指數(shù)窗。主瓣較寬，故而頻率分辨力低；無(wú)負(fù)的旁瓣，第一旁瓣衰減達(dá)一55dB。常被用來(lái)截短一些非周期信號(hào)，如指數(shù)衰減信號(hào)等。對(duì)于隨時(shí)間按指數(shù)衰減的函數(shù)，可采用指數(shù)窗來(lái)提高信噪比。三角窗（