高等數(shù)學(xué)-大一-上學(xué)期知識要點(diǎn).doc

高數(shù)總復(fù)習(xí)(上)一、求極限的方法：1、利用運(yùn)算法則與基本初等函數(shù)的極限；、定理 若, 則(加減運(yùn)算) (乘法運(yùn)算) (除法運(yùn)算) 推論1: (為正整數(shù)) 推論2: 結(jié)論1:結(jié)論2: 是基本初等函數(shù)，其定義區(qū)間為D，若，則 2、利用等價(jià)無窮小代換及無窮小的性質(zhì)；定義1: 若或（）則稱是當(dāng) (或)時的無窮小. 定義2: 是自變量在同一變化過程中的無窮小: 若, 則稱與是等價(jià)無窮小, 記為. 性質(zhì)1：有限個無窮小的和也是無窮小.性質(zhì)2: 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論1: 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2: 有限個無窮小的乘積也是無窮小.定理2(等價(jià)無窮小替換定理) 設(shè), 且存在, 則. (因式替換原則)常用等價(jià)無窮小: 3、利用夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則；準(zhǔn)則I(夾逼準(zhǔn)則)若數(shù)列(n=1,2,)滿足下列條件: (1);(2),則數(shù)列的極限存在, 且.準(zhǔn)則II: 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.4、利用兩個重要極限。 5、利用洛必達(dá)法則。 未定式為類型. 定理(時的型): 設(shè)(1);(2) 在某內(nèi), 及都存在且; 二、求導(dǎo)數(shù)和微分 ：1.定義導(dǎo)數(shù)：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)：函數(shù)在區(qū)間I上的導(dǎo)函數(shù)：函數(shù)的微分：2.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則（須記住P140導(dǎo)數(shù)公式） 函數(shù)和差積商求導(dǎo)法則：函數(shù)、可導(dǎo)，則：反函數(shù)求導(dǎo)法則：若的導(dǎo)數(shù)存在且，則反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也存在且為 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則(鏈?zhǔn)椒▌t)：可導(dǎo)，可導(dǎo)，則可導(dǎo)，且隱函數(shù)求導(dǎo)法則: 參數(shù)方程求導(dǎo)法則: 若則.3.微分運(yùn)算法則三、求積分： 1.概念：原函數(shù)、不定積分。定積分是一個數(shù)，是一個和的極限形式。性質(zhì)1：性質(zhì)2： 性質(zhì)3：性質(zhì)4： (去絕對值, 分段函數(shù)積分)性質(zhì)5：2.計(jì)算公式： P186基本積分表； P203常用積分公式；第一換元法(湊微分)： 第二換元法： 分部積分法：分部化簡 ;循環(huán)解出;遞推公式有理函數(shù)積分：混合法 (賦值法+特殊值法)確定系數(shù)牛頓萊布尼茨公式：定積分換元法： （換元換限，配元(湊微)不換限） 定積分分部積分法：結(jié)論(偶倍奇零)： 若函數(shù)為偶函數(shù)，則。若函數(shù)為奇函數(shù)，則 注意:1. 利用“偶倍奇零”簡化定積分的計(jì)算；2. 定積分幾何意義求一些特殊的積分(如) 變限積分求導(dǎo)四、微分和積分的應(yīng)用1. 判斷函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、求其極值、拐點(diǎn)、描繪函數(shù)圖形 判斷單調(diào)性：第一步：找使 的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)。 第二步：以駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)劃分單調(diào)區(qū)間，在每個區(qū)間上討論的正負(fù)，函數(shù)遞增，函數(shù)遞減。 判斷凹凸性：第一步：找使的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)。 第二步：以這些點(diǎn)劃分定義區(qū)間，在每個區(qū)間上討論的正負(fù)， ，是凹區(qū)間，是凸區(qū)間。（拐點(diǎn)：左右兩邊的符號相反） 判斷函數(shù)極值：第一步：找使 的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)。 第二步：判斷這些點(diǎn)兩邊的正負(fù)，若左正右負(fù)極大值點(diǎn)左負(fù)右正極小值點(diǎn)。2.1 定積分的幾何應(yīng)用-求面積，體積和弧長 y=f上(x)y=f下(x)Ox yab 所求圖形的面積為： y y+dydOx ycy所求圖形的面積為：旋轉(zhuǎn)體：由連續(xù)曲線 y=f (x)、直線 x=a 、x=b 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。 Oxba yy 旋轉(zhuǎn)體：由連續(xù)曲線 、直線 y=c 、y=d 及 y軸所圍曲邊梯形繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體 2.3 定積分的物理應(yīng)用 變力沿直線做功；水(側(cè))壓力；引力 思路: 建立坐標(biāo)系，選取積分變量(如x)，在x, x+dx上給出微元第六 空間解析幾何1. 向量在坐標(biāo)軸上的投影分別為：；在坐標(biāo)軸上的分量分別為：。，2. 利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 ， ，數(shù)量積(數(shù)):向量積(向量) ，且 ，構(gòu)成右手系， (幾何意義: 平行四邊形的面積)3向量之間的關(guān)系 4平面圖形及其方程平面的法向量：和平面垂直的非零向量。點(diǎn)法式方程：設(shè)平面過點(diǎn)法向量(其中不全為0), 則平面的方程為一般方程： 當(dāng) D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示 通過原點(diǎn)的平面;當(dāng) A = 0 時, B y + C z + D = 0表示平行于 x 軸的平面;Ax+Cz+D = 0 表示平行于 y 軸的平面;Ax+By+D = 0 表示平行于 z 軸的平面Cz + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面;Ax + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面；By + D =0 表示平行于 zox 面 的平面設(shè)平面1的法向量為，平面2的法向量為，則兩平面夾角q 的余弦為：。平面外一點(diǎn)到平面的距離：5空間直