數(shù)學(xué)模型評價方面的思考.doc

一：數(shù)學(xué)模型評價方面的思考1.解釋。大家都很關(guān)注數(shù)學(xué)模型的建立和求解過程。這也是最富有技術(shù)性的部分。但在建立和求解以后，一定要做出合理的解釋。把數(shù)學(xué)結(jié)果翻譯成實際問題的語言。而且即使是在一些技術(shù)細(xì)節(jié)上，如果能做出和實際相符的解釋，也會使模型變得可靠和有意義。有的手段，無論輸入什么數(shù)據(jù)，都能得到某些結(jié)果。比如擬合，比如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，比如計算機(jī)仿真。但是否有真實意義，這需要“解釋”來揭示和驗證。設(shè)想一個最簡單的預(yù)測問題，如果搞一個高次多項式，一定可以把現(xiàn)有的數(shù)據(jù)擬合得天衣無縫。但這又能說明什么呢？ 2.檢驗。上面所說，有許多建模中常用的手段，無論什么數(shù)據(jù)輸進(jìn)去，都能輸出一些結(jié)果。而這些結(jié)果是否真的可信，往往需要檢驗。事實上，凡是從特殊的事例推到一般情況時，結(jié)論是否可靠，都需要進(jìn)行檢驗。例如給了一系列數(shù)據(jù)(x,y)，我們通過某種手段，找到了x與y之間的關(guān)系（當(dāng)然這往往是近似的）。我們就應(yīng)當(dāng)事先保留一些沒用過的數(shù)據(jù)，最后用于模型的檢驗，如果檢驗的結(jié)果是吻合得相當(dāng)不錯，那我們的模型是可靠的。這個步驟不要忽略，在許多建模問題中，至少有30%的數(shù)據(jù)是專門用來檢驗?zāi)Ｐ徒Y(jié)論的。3.靈敏度分析和可靠性評估。粗略地講，靈敏度是指模型的結(jié)論與初始條件之間的關(guān)系是否非常敏感。模型總要做許多假設(shè)，這些假設(shè)不總是萬無一失的。模型也總是要輸入一些初始的數(shù)據(jù)，無論是調(diào)查還是測量得來，數(shù)據(jù)總會有誤差。如果初始條件有微小的偏差，結(jié)果就有顯著的變化，那這個模型可以說是毫無意義的。所以低靈敏度在某種意義上意味著高可靠性。傳統(tǒng)上，狹義的靈敏度分析就是指輸入數(shù)據(jù)的誤差，引起結(jié)果的變化，這有許多成型的方法來進(jìn)行分析。而對廣義的，由于假設(shè)不夠準(zhǔn)確而引起結(jié)果的變化，很難有系統(tǒng)的方法來分析。但是，總之對模型的靈敏度和可靠性要通過各種角度，做出全面的分析，這是建模工作是否完善的重要標(biāo)志。4.評價。模型的評價不要流于空泛。“本模型結(jié)果可信，效果良好，有許多因素還沒有考慮到，一些方面還有不足”此類評價事實上毫無意義。評價不是為了做結(jié)論，而是為了對模型做進(jìn)一步的研究。模型的意義，可信程度，精度，可能的問題，改進(jìn)方案，都是需要認(rèn)真思考的方面。只有認(rèn)真地對模型做研究，才能認(rèn)識清楚模型的優(yōu)點和不足，才能夠針對不足之處進(jìn)行改進(jìn)。模型都是需要錘煉才能完善的。 二：般說來建立數(shù)學(xué)模型的方法大體上可分為兩大類、一類是機(jī)理分析方法，一類是測試分析方法機(jī)理分析是根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認(rèn)識、分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律,建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實意義.模型準(zhǔn)備 首先要了解問題的實際背景，明確建模的目的搜集建模必需的各種信息如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等，盡量弄清對象的特征,由此初步確定用哪一類模型，總之是做好建模的準(zhǔn)備工作情況明才能方法對，這一步一定不能忽視，碰到問題要虛心向從事實際工作的同志請教，盡量掌握第一手資料.模型假設(shè) 根據(jù)對象的特征和建模的目的，對問題進(jìn)行必要的、合理的簡化，用精確的語言做出假設(shè)，可以說是建模的關(guān)鍵一步一般地說，一個實際問題不經(jīng)過簡化假設(shè)就很難翻譯成數(shù)學(xué)問題，即使可能，也很難求解不同的簡化假設(shè)會得到不同的模型假設(shè)作得不合理或過份簡單，會導(dǎo)致模型失敗或部分失敗，于是應(yīng)該修改和補(bǔ)充假設(shè)；假設(shè)作得過分詳細(xì)，試圖把復(fù)雜對象的各方面因素都考慮進(jìn)去，可能使你很難甚至無法繼續(xù)下一步的工作通常，作假設(shè)的依據(jù)，一是出于對問題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識，二是來自對數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析，也可以是二者的綜合作假設(shè)時既要運(yùn)用與問題相關(guān)的物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)等方面的知識，又要充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別問題的主次，果斷地抓住主要因素，舍棄次要因素，盡量將問題線性化、均勻化經(jīng)驗在這里也常起重要作用寫出假設(shè)時，語言要精確，就象做習(xí)題時寫出已知條件那樣模型構(gòu)成 根據(jù)所作的假設(shè)分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個量(常量和變量)之間的等式(或不等式)關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)這里除需要一些相關(guān)學(xué)科的專門知識外，還常常需要較廣闊的應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的知識，以開拓思路.當(dāng)然不能要求對數(shù)學(xué)學(xué)科門門精通,而是要知道這些學(xué)科能解決哪一類問題以及大體上怎樣解決相似類比法，即根據(jù)不同對象的某些相似性，借用已知領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型，也是構(gòu)造模型的一種方法建模時還應(yīng)遵循的一個原則是，盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具，因為你建立的模型總是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少數(shù)專家欣賞.模型求解 可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運(yùn)算、數(shù)值計算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，特別是計算機(jī)技術(shù)模型分析 對模型解答進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，有時要根據(jù)問題的性質(zhì)分析變量間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定狀況，有時是根據(jù)所得結(jié)果給出數(shù)學(xué)上的預(yù)報，有時則可能要給出數(shù)學(xué)上的最優(yōu)決策或控制，不論哪種情況還常常需要進(jìn)行誤差分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏性分析等模型檢驗 把數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果翻譯回到實際問題，并用實際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)與之比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性這一步對于建模的成敗是非常重要的，要以嚴(yán)肅認(rèn)真的態(tài)度來對待當(dāng)然，有些模型如核戰(zhàn)爭模型就不可能要求接受實際的檢驗了模型檢驗的結(jié)果如果不符合或者部分不符合實際，問題通常出在模型假設(shè)上，應(yīng)該修改、補(bǔ)充假設(shè)，重新建模有些模型要經(jīng)過幾次反復(fù)，不斷完善，直到檢驗結(jié)果獲得某種程度上的滿意模型應(yīng)用 應(yīng)用的方式自然取決于問題的性質(zhì)和建模的目的，這方面的內(nèi)容不是本書討論的范圍。應(yīng)當(dāng)指出，并不是所有建模過程都要經(jīng)過這些步驟，有時各步驟之間的界限也不那么分明建模時不應(yīng)拘泥于形式上的按部就班，本書的建模實例就采取了靈活的表述方式 三：數(shù)學(xué)模型的評價2009-09-11 10:48我們對模型的評價這項工作大多數(shù)時候都在流于形式。其實模型的水準(zhǔn)高低，很多時候要看對模型優(yōu)缺點的分析。 想要判斷模型好壞，起碼有一個標(biāo)準(zhǔn)是模型的可靠性。模型既然是對真實問題的一種簡化和數(shù)學(xué)化的處理，那么就一定是“不真實”的。這種簡化的處理到底在多大程度上扭曲了真實？ 我們從模型里算出來的數(shù)學(xué)結(jié)果要經(jīng)過一個“解釋”的過程，才能和真實問題對應(yīng)起來。這個步驟其實承擔(dān)著相當(dāng)大的壓力，因為合理地解釋結(jié)果，判明適用范圍，修正失真，得出對真實問題“有效”的結(jié)論這些工作都沒有定規(guī)可循，而且本身也不見得有多可靠。假設(shè)越是貼近真實，建模過程帶來的問題的失真就會小一些，模型的有效性和可信性也應(yīng)當(dāng)更好一些，對真實問題的指導(dǎo)意義也理應(yīng)更強(qiáng)一些。誰不想讓模型的結(jié)果更確切地反映真實問題呢？而且就是為了讓結(jié)果更精確，人們花了不知道多少力氣?？雌饋碚f更真實的模型更好，應(yīng)當(dāng)沒什么異議。但麻煩的事情就此而來：一個模型，不是越貼近真實越好的。第一個問題是簡潔。簡單的模型總的來說比復(fù)雜的模型要好。從美學(xué)上來說，簡潔流暢，一氣呵成的美感和力度感，比過分復(fù)雜甚至拼湊凌亂的當(dāng)然要好許多。而且從實用性能上來說這兩者也不可比。第二個問題是普遍性，最重要的模型往往不只是針對某個極為特定的問題，而是能對解決一類問題有幫助。在科學(xué)界這幾乎是個必備要求，在工程領(lǐng)域?qū)@個要求雖然低些，但如果模型能有普適意義，那也必定是熱烈歡迎。然而模型對特定條件的針對性過強(qiáng)，勢必會造成應(yīng)用范圍的狹窄。即使是很接近的問題，一旦某些細(xì)節(jié)條件不同，這個模型的結(jié)論是否還能用，如果能，該怎么用，就很難講，不如簡潔（可能稍感粗糙）的模型“耐用”。君不見在好多領(lǐng)域里充斥著相當(dāng)粗糙卻到處在用的經(jīng)驗公式，也有它們受歡迎的道理。專為解釋特定問題而強(qiáng)行補(bǔ)充的特定假設(shè)，稱做ad hoc（特設(shè)的），不能算惹人喜歡的詞。第三個問題是深度。有一些該“理想化”掉的問題，如果包括在模型里，很可能起到反作用。回想一下有關(guān)物體在地上運(yùn)動的研究，把阻力等各種大小因素都混入模型當(dāng)中，得到的模型足夠真實，大體能用，但說是一團(tuán)亂麻我看不為過。伽利略做的“理想模型”把這些真實存在的力強(qiáng)行忽略，結(jié)果甚至幾乎要違背人們的生活經(jīng)驗。失真至此，大道既出。以后再想追求“真實”并不難，在理想模型上添加各種忽略掉的作用力，層次清楚，計算簡單，精度甚高。這“失真”了一下，獲得了解釋深度的巨大提升，又有誰說沒好處呢？簡潔有力深刻普適，這些溢美之詞其實內(nèi)部有著很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)。說來說去，最可怕的事情我感覺就是一件：瑣碎的事情考慮得過多，恐怕沖淡了重要的主題。引入的“噪聲”淹沒了有價值的信息，自己迷失在自己的工作當(dāng)中。做到此也就該覺得傷心了。該分離的分離，該忽略的忽略。不該忽略的別忽略，最終還是什么也沒說。我看我該墮入虛無主義了。sigh。 四：數(shù)學(xué)建模的一般步驟分析建立數(shù)學(xué)模型，首先要充分搜集現(xiàn)實原型的資料、數(shù)據(jù)，分析它的狀態(tài)、性質(zhì)、變化規(guī)律、特征、結(jié)構(gòu)，建立經(jīng)驗定律，提出理論假說；然后建立數(shù)學(xué)模型，這一過程包括：分析什么是所需要解決的問題的主要方面，什么是次要方面，什么是本質(zhì)，什么是無關(guān)緊要的，以及探尋用什么數(shù)學(xué)語言、符號、結(jié)構(gòu)來表示所研究的問題或經(jīng)驗定律的結(jié)構(gòu)，即要使數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)（主要是概念，關(guān)系，公理等）盡可能與原型的概念，結(jié)構(gòu)相吻合；模型建立之后，就要解決數(shù)學(xué)模型所提出的數(shù)學(xué)問題最后，還要以原型的數(shù)據(jù)檢驗數(shù)學(xué)模型并對數(shù)學(xué)解決做出解釋和評價（一般認(rèn)為，評價一個數(shù)學(xué)模型的科學(xué)價值取決于該模型的預(yù)測與觀察數(shù)據(jù)的一致程度）。應(yīng)該指出的是，正常情況下，建立模型是一個多次反復(fù)的過程，是在不斷地根據(jù)原型修正模型的過程中使兩者趨于一致。 建模的一般步驟如下（見圖3一圖3.1建模的一般步驟一模型準(zhǔn)備：了解問題的實際背景，明確題目的要求，收集各種必要的信息。 模型假設(shè)：為了利用數(shù)學(xué)方法，通常要對問題做必要的、合理的假設(shè)，使問題的主要特征凸現(xiàn)出來，忽略問題的次要方面。 模型構(gòu)成：根據(jù)所做的假設(shè)以及事物之間的聯(lián)系，構(gòu)造各種量之間的關(guān)系使之問題化。 模型求解：利用已知的數(shù)學(xué)方法求解上一步所得到的數(shù)學(xué)問題，此時往往還要作出進(jìn)一步的簡化或假設(shè)。為解決數(shù)學(xué)問題，注意要盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具。 模型檢驗：分析所得結(jié)果的實際意義，與實際情況進(jìn)行比較，看是否符合實際，如果不夠理想，應(yīng)該修改、補(bǔ)充假設(shè)，或重新建模，不斷完善。 模型應(yīng)用：所建立的模型必須在實際應(yīng)用中才能產(chǎn)生效益，在應(yīng)用中不斷改進(jìn)和完善。模型準(zhǔn)備要建立現(xiàn)實問題的數(shù)學(xué)模型，就要首先對需要解決的問題有一個清晰的提法，即要明確研究解決的問題是什么、建模所要達(dá)到的主要目的是什么等等。通常我們在剛剛遇到某個實際問題時，對問題的理解往往不是很清楚，所以需要深入實際進(jìn)行調(diào)查研究，收集與研究問題。包括收集與研究問題有關(guān)的信息、與相關(guān)人員進(jìn)行討論以搜集資料、查閱有關(guān)的文獻(xiàn)資料、明確問題的背景和特征、以及初步確定將要建構(gòu)何種模型等。 模型假設(shè)假設(shè)過程就是對實際問題作一些必要的簡化，用精確的語言做出必要的簡化假設(shè)。假設(shè)過程是建模過程中十分關(guān)鍵的一步，也是非常困難的一步。 分析和簡化資料搜集完成后，要進(jìn)一步對所研究的問題和收集到的資料進(jìn)行分析，弄清楚哪一些因素是主要的、起主導(dǎo)作用的，哪一些因素是次要的、不起作用的。然后根據(jù)建模的目的抓住主要的因素、忽視次要的因素。分析和簡化是假設(shè)的前提，需要進(jìn)行分析和簡化的有以下四點要分析主要、次要以及可忽略的因素。 對數(shù)據(jù)數(shù)量的充分性和可靠性進(jìn)行判斷并歸納和明確數(shù)據(jù)所提供的信息。 分析已知條件中哪些是主要的，哪些是次要的、不變動的。 要正確選擇輸入輸出量。 合理假設(shè)的種類假設(shè)作為建模過程的關(guān)鍵，往往不可能一次完成，需要經(jīng)過多次反復(fù)才能最終完成，合理的假設(shè)包括基本假設(shè)和其他假設(shè)兩種?；炯僭O(shè)是指變量參數(shù)的定義以及根據(jù)有關(guān)“規(guī)律”作出的變量間相互關(guān)系的假定；其他假設(shè)包括指明忽略因素、限定系統(tǒng)邊界和說明模型應(yīng)用范圍以及局部進(jìn)程中的二次假設(shè)等。 假設(shè)要遵循的原則假設(shè)要把握尺度，如果假設(shè)作得過于簡單，模型就會遠(yuǎn)離現(xiàn)實，無法用以解決現(xiàn)實問題；同樣，如果假設(shè)做得過于詳細(xì)、考慮了過多因素，那么模型就變得過于復(fù)雜，增加后而計算的難度，甚至?xí)沟媚Ｐ碗y以成功建立。因而，模型的假設(shè)要遵循以下原則明確性原則：假設(shè)條件要簡單明確，有利于模型的構(gòu)建。 目的性原則：假設(shè)是從原型中抽象出與建模目的有關(guān)的因素，因而要簡化掉無關(guān)的或者關(guān)系不大的因素。 真實性原則：假設(shè)條款要符合情理，簡化的誤差要控制在實際問題允許的范圍之內(nèi)。 全面性原則：在對事物原型本身做出的假設(shè)的同時，還要給出原型所處的環(huán)境條件。 模型構(gòu)建在建模假設(shè)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析建模假設(shè)的各條件。首先區(qū)分哪些是常量，哪些是變量，哪些是己知量，哪些是未知量；然后查明各種量所處的地位、作用和它們之間的關(guān)系，建立各個量之間的等式或不等式關(guān)系；列出表格、畫出圖形或確定其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具和構(gòu)造模型的方法對其進(jìn)行表征。構(gòu)造出刻畫實際問題的數(shù)學(xué)模型其實就是描述問題的主要因素的變量之間的一個關(guān)系或其他的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)模型構(gòu)成之后為了達(dá)到求解的要求一般還要進(jìn)行必要的分析和簡化，同時還要檢查其是否能夠代表所研究的實際問題，能否達(dá)成研究的目的。 在構(gòu)造模型時究竟采用什么數(shù)學(xué)工具，要根據(jù)問題的特征、建模的目的要求以及建模者的數(shù)學(xué)特長而定。可以這樣講，數(shù)學(xué)的任一分支在構(gòu)造模型時都可能用到，而同一實際問題也可以構(gòu)造出不同的數(shù)學(xué)模型，一般地講，在能夠達(dá)到預(yù)期目的的前提下，所用的數(shù)學(xué)工具越簡單越好。而采用什么方法構(gòu)造模型，要根據(jù)實際問題的性質(zhì)和建模假設(shè)所給出的建模信息而定，就以系統(tǒng)論中提出的機(jī)理分析法和系統(tǒng)辨識法來說，它們是構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的兩種基本方法。機(jī)理分析法是在對事物內(nèi)在機(jī)理分析的基礎(chǔ)上，利用建模假設(shè)所給出的建模信息或前提條件來構(gòu)造模型；系統(tǒng)辨識法是對系統(tǒng)內(nèi)在機(jī)理一無所知的情況下利用建模假設(shè)或?qū)嶋H對系統(tǒng)的測試數(shù)據(jù)所給出的事物系統(tǒng)的輸入、輸出信息來構(gòu)造模型。這些構(gòu)模方法各有其優(yōu)點和缺點，在構(gòu)造模型時可以同時采用，以取長補(bǔ)短，達(dá)到建模的目的。 模型求解得到模型之后就要選擇合適的數(shù)學(xué)方法來對模型進(jìn)行求解，通常情況下我們只能得到模型的數(shù)值解而非解析解，這就需要我們應(yīng)用各種數(shù)值方法、軟件和計算機(jī)。 代寫碩士論文 數(shù)值方法包括數(shù)值優(yōu)化法、線性和非線性方程組的數(shù)值方法、微分方程（或方程組的數(shù)值解法、以及各種預(yù)測、決策和概率統(tǒng)計方法等；建模最常用的系統(tǒng)軟件包括福建師范大學(xué)碩士學(xué)位論文，sAs、BMoP、GLIM、GENsTAT、EPILOG、 MiniTab等。如果現(xiàn)有的數(shù)學(xué)方法仍然不能很好的解決模型所歸結(jié)的數(shù)學(xué)問題時，就需要針對數(shù)學(xué)模型的特點，對現(xiàn)有的方法進(jìn)行改進(jìn)或者提出新的方法以適應(yīng)需求。 模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗是指把模型在數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果與研究的實際問題做比較以檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇缘倪^程。模型構(gòu)建和求解后得到結(jié)論并不意味著建模的結(jié)束，還要從實際應(yīng)用角度分析模型的結(jié)果，接受實際的檢驗，看它是否合理、可行。如果不符合實際