高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)測(cè)評(píng)課件43.ppt

第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積 基礎(chǔ)梳理 1 直棱柱 正棱錐 正棱臺(tái)的概念 側(cè)面展開圖及側(cè)面積一些簡(jiǎn)單的多面體可以沿著多面體的某些棱將其剪開成平面圖形 這個(gè)平面圖形叫做該多面體的 平面展開圖 直棱柱 直棱柱 ch 正棱錐 正棱臺(tái) 2 旋轉(zhuǎn)體的表面積公式 1 圓柱的表面積s 其中r為底面半徑 l為母線長(zhǎng) 2 圓錐的表面積s 其中r為底面半徑 l為母線長(zhǎng) 3 圓臺(tái)的表面積公式s 其中r r為上 下底面半徑 l為母線長(zhǎng) 4 球的表面積公式s 其中r為球半徑 3 幾何體的體積公式 1 柱體的體積公式v 其中s為底面面積 h為高 2 錐體的體積公式v 其中s為底面面積 h為高 3 臺(tái)體的體積公式v 其中s s為上 下底面面積 h為高 4 球的體積公式v 其中r為球半徑 2 r r l r r l r r l r2 r 2 4 r2 sh 典例分析 例1 已知一個(gè)正三棱臺(tái)的兩底面邊長(zhǎng)分別為30cm和20cm 且其側(cè)面積等于兩底面面積之和 求棱臺(tái)的高 題型一幾何體的表面積問(wèn)題 分析要求正棱臺(tái)的高 首先要畫出正棱臺(tái)的高 使其包含在某一個(gè)特征直角梯形中 轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題 由已知條件 列出方程 求解所需的幾何元素 解如圖所示 正三棱臺(tái)abc a1b1c1中 o o1分別為兩底面中心 d d1分別為bc和b1c1的中點(diǎn) 則dd1為棱臺(tái)的斜高 設(shè)a1b1 20 ab 30 則可得od o1d1 由s側(cè) s上 s下 得 20 30 3 dd1 202 302 dd1 在直角梯形o1odd1中 o1o 棱臺(tái)的高為cm 學(xué)后反思 1 求解有關(guān)多面體表面積的問(wèn)題 關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形 解決旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題 要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截面及側(cè)面展開圖 2 借助于平面幾何知識(shí) 利用已知條件求得所需幾何要素 舉一反三1 圓臺(tái)側(cè)面的母線長(zhǎng)為2a 母線與軸的夾角為30 一個(gè)底面的半徑是另一個(gè)底面半徑的2倍 求兩底面的半徑以及兩底面面積之和 解析 如圖 延長(zhǎng)圓臺(tái)母線交于點(diǎn)s 設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為r 則下底面半徑為2r 則 aso 30 在rt sa o 中 sa 2r 在rt sao中 sa 4r sa sa aa 即4r 2r 2a r a 圓臺(tái)上底面半徑為a 下底面半徑為2a 兩底面面積之和為 例2 直平行六面體的底面為菱形 過(guò)不相鄰兩條側(cè)棱的截面面積為q1 q2 求它的側(cè)面積 分析要求此棱柱的側(cè)面積 只要求出它的底面邊長(zhǎng)與高即可 學(xué)后反思 1 在多面體或旋轉(zhuǎn)體中 要正確識(shí)別和判斷某截面圖形的形狀和特征 2 用已知量來(lái)表示側(cè)面積公式中的未知量 利用平面幾何知識(shí) 菱形的對(duì)角線互相垂直平分 采用整體代入 設(shè)而不求 減少運(yùn)算量 簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程 舉一反三2 三棱柱的底面是等腰三角形 ab ac bac 2 上底面的頂點(diǎn)在下底面的射影是下底面三角形外接圓圓心o 下底面 abc外接圓半徑為r 側(cè)棱和ab成2 角 求三棱柱的側(cè)面積 解析 如圖所示 作od ab于d 則ad rcos ab 2rcos ab ao bc 由三垂線定理得 bc 故 bc 又 bc 2rsin2 例3 已知四棱臺(tái)兩底面均為正方形 邊長(zhǎng)分別為4cm 8cm 各側(cè)棱長(zhǎng)均為8cm 求它的側(cè)面積和體積 題型二幾何體的體積問(wèn)題 分析由題意知 需求側(cè)面等腰梯形的高和四棱臺(tái)的高 然后利用平面圖形面積公式和臺(tái)體體積公式求解 解如圖 設(shè)四棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于點(diǎn)p 則 pbc為等腰三角形 取bc中點(diǎn)e 連接pe交b1c1于點(diǎn)e1 則pe bc e1e為側(cè)面等腰梯形的高 作po 底面abcd交上底面于點(diǎn)o1 連接o1e1 oe 在 pb1c1和 pbc中 pb1 b1b 8 b1為pb的中點(diǎn) e1為pe的中點(diǎn) 在rt peb中 pe cm e1e cm 在rt poe中 po oo1 po cm s四棱臺(tái)側(cè) 4s梯形bcc1b1 v四棱臺(tái) v四棱錐pabcd v四棱錐pa1b1c1d1 s四邊形abcd po s四邊形a1b1c1d1 po1 82 414 42 214 cm3 學(xué)后反思 1 求棱臺(tái)的側(cè)面積與體積要注意利用公式以及正棱臺(tái)中的 特征直角三角形 和 特征直角梯形 它們是架起 求積 關(guān)系式中的未知量與滿足題設(shè)條件中幾何圖形元素間關(guān)系的橋梁 2 平行于棱臺(tái)底面的截面分棱臺(tái)的側(cè)面積與體積比的問(wèn)題 通常是 還臺(tái)為錐 而后利用平行于棱錐底面的截面性質(zhì)去解 還臺(tái)為錐 借助于軸截面 將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題 求出相關(guān)數(shù)據(jù) 進(jìn)行計(jì)算 還臺(tái)為錐 是解決棱臺(tái)問(wèn)題的重要方法和手段 舉一反三3 如圖 在多面體abcdef中 已知四邊形abcd是邊長(zhǎng)為1的正方形 四邊形abfe為等腰梯形 且 ade bcf均為正三角形 ef 2 則該多面體的體積為 答案 解析 如圖 分別過(guò)a b作ef的垂線 垂足分別為g h 連接dg ch 易求得eg hf ag gd bh hc 可得 題型三組合體的體積和表面積問(wèn)題 例4 14分 如圖 正三棱錐的高為1 底面邊長(zhǎng)為26 內(nèi)有一個(gè)球與四個(gè)面都相切 求棱錐的表面積和球的半徑 分析先畫截面圖再求解 解過(guò)pa與球心o作截面pae與平面pcb交于pe 與平面abc交于ae 2 因?yàn)?abc是正三角形 易知ae既是 abc中bc邊上的高 又是bc邊上的中線 作為正三棱錐的高pd既通過(guò)球心o 且d也是 abc的重心 4 據(jù)此根據(jù)底面邊長(zhǎng)為 即可算出 6 8 又f為球與平面pbc的切點(diǎn) of pe 設(shè)of r 10 由 pof ped 知 12 14 學(xué)后反思 1 球與多面體 旋轉(zhuǎn)體的相接 相切問(wèn)題簡(jiǎn)稱為組合體問(wèn)題 這類問(wèn)題能夠很好地考查學(xué)生對(duì)空間圖形的識(shí)圖 辨別能力 更能考查學(xué)生的空間想象能力 所以在高考中一直是熱點(diǎn)題型 復(fù)習(xí)中要注意總結(jié)規(guī)律 掌握常見問(wèn)題的求解方法 2 相切或相接問(wèn)題一般通過(guò)作出截面 使構(gòu)成組合體的各個(gè)簡(jiǎn)單體中的主要元素盡可能集中在該截面中 從而轉(zhuǎn)化成平面圖形的計(jì)算加以解決 旋轉(zhuǎn)體之間的相接 相切問(wèn)題 通常作出它們的共軸的截面 旋轉(zhuǎn)體與多面體之間的相接 相切問(wèn)題 一般作出它們接 切的某個(gè)公共點(diǎn)與軸所確定的截面 舉一反三4 將一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的正方體加工成一個(gè)體積最大的木球 這個(gè)球的體積為 答案 36 解析 易知正方體的內(nèi)切球體積最大 設(shè)其內(nèi)切球的半徑為r 則根據(jù)題意知2r 6 即r 3 故其內(nèi)切球的體積 考點(diǎn)演練 10 2010 蘇州質(zhì)檢 半徑為r的半圓卷成一個(gè)圓錐 求它的體積 解析 設(shè)所求圓錐底面半徑為r 高為h 則 r 2 r 故所求圓錐的體積為 11 一個(gè)正三棱錐的高和底面邊長(zhǎng)都為a 求它的側(cè)面積和體積 解析 如圖 過(guò)s作so 平面abc 垂足為o 過(guò)s作sd ab交ab于d 連接od 則so a od ab 且