§1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積與體積.doc

1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積與體積（1） 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 理解和掌握柱、錐、臺的表面積計(jì)算公式；2. 能運(yùn)用柱、錐、臺的表面積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P23 P25，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)：斜二測畫法畫的直觀圖中，軸與軸的夾角為_，在原圖中平行于軸或軸的線段畫成與_和_保持平行；其中平行于軸的線段長度保持_，平行于軸的線段長度_.引入：研究空間幾何體，除了研究結(jié)構(gòu)特征和視圖以外，還得研究它的表面積和體積.表面積是幾何體表面的面積，表示幾何體表面的大?。惑w積是幾何體所占空間的大小.那么如何求柱、錐、臺、球的表面積和體積呢？二、新課導(dǎo)學(xué) 探索新知探究1：棱柱、棱錐、棱臺的表面積問題：我們學(xué)習(xí)過正方體和長方體的表面積，以及它們的展開圖（下圖），你覺的它們展開圖與其表面積有什么關(guān)系嗎？結(jié)論： 正方體、長方體是由多個平面圍成的多面體，其表面積就是各個面的面積的和，也就是展開圖的面積.新知1：棱柱、棱錐、棱臺都是多面體，它們的表面積就是其側(cè)面展開圖的面積加上底面的面積.試試1：想想下面多面體的側(cè)面展開圖都是什么樣子，它們的表面積如何計(jì)算？正四棱錐正四棱臺正六棱柱 探究2：圓柱、圓錐、圓臺的表面積問題：根據(jù)圓柱、圓錐的幾何特征，它們的側(cè)面展開圖是什么圖形？它們的表面積等于什么？你能推導(dǎo)它們表面積的計(jì)算公式嗎？新知2：（1）設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長為，則它的表面積等于圓柱的側(cè)面積（矩形）加上底面積（兩個圓），即.（2）設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，則它的表面積等于圓錐的側(cè)面積（扇形）加上底面積（圓形），即.試試2：圓臺的側(cè)面展開圖叫扇環(huán)，扇環(huán)是怎么得到的呢？（能否看作是個大扇形減去個小扇形呢）你能試著求出扇環(huán)的面積嗎？從而圓臺的表面積呢？ 新知3：設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為，母線長為，則它的表面積等上、下底面的面積（大、小圓）加上側(cè)面的面積（扇環(huán)），即.反思：想想圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)，你覺得它們的側(cè)面積之間有什么關(guān)系嗎？ 典型例題例1 已知棱長為，各面均為等邊三角形的四面體，求它的表面積.例2 如圖,一個圓臺形花盆盆口直徑為20,盆底直徑為15,底部滲水圓孔直徑為,盆壁長15.為了美化花盆的外觀,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100個這樣的花盆需要多少油漆(取3.14,結(jié)果精確到1毫升)? 動手試試練1. 一個正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，底面邊長為，求它的表面積.練2. 粉碎機(jī)的上料斗是正四棱臺形狀，它的上、下底面邊長分別為80、440，高(上下底面的距離)是200, 計(jì)算制造這樣一個下料斗所需鐵板的面積.三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 棱柱、棱錐、棱臺及圓柱、圓錐、圓臺的表面積計(jì)算公式；2. 將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，是解決立體幾何問題最基本、最常用的方法. 知識拓展當(dāng)柱體、錐體、臺體是一些特殊的幾何體,比如直棱柱、正棱錐、正棱臺時，它們的展開圖是一些規(guī)則的平面圖形，表面積比較好求；當(dāng)它們不是特殊的幾何體，比如斜棱柱、不規(guī)則的四面體時，要注意分析各個面的形狀、特點(diǎn)，看清楚題目所給的條件，想辦法求出各個面的面積，最后相加. 學(xué)習(xí)評價(jià) 自我評價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 正方體的表面積是64,則它對角線的長為（ ）. A. B. C. D.2. 一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形,這個圓柱的表面積與側(cè)面積的比是（ ）. A. B. C. D.3. 一個正四棱臺的兩底面邊長分別為,側(cè)面積等于兩個底面積之和,則這個棱臺的高為（ ）.A. B. C. D. 4. 如果圓錐的軸截面是正三角形,則該圓錐的側(cè)面積與表面積的比是_.5. 已知圓臺的上、下底面半徑和高的比為44,母線長為10,則圓臺的側(cè)面積為_. 課后作業(yè) 1. 圓錐的底面半徑為，母線長為，側(cè)面展開圖扇形的圓心角為，求證：（度）. 2. 如圖，在長方體中，且，求沿著長方體表面到的最短路線長. 1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積與體積（2） 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 了解柱、錐、臺的體積計(jì)算公式；2. 能運(yùn)用柱、錐、臺的體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P25 P26，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：多面體的表面積就是_加上_.復(fù)習(xí)2：圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是_、_、_；若圓柱、圓錐底面和圓臺上底面的半徑都是，圓臺下底面的半徑是，母線長都為,則_,_，_.引入：初中我們學(xué)習(xí)了正方體、長方體、圓柱的體積公式（為底面面積，為高），是否柱體的體積都是這樣求呢？錐體、臺體的體積呢？二、新課導(dǎo)學(xué) 探索新知新知：經(jīng)過證明(有興趣的同學(xué)可以查閱祖暅原理)柱體體積公式為：，（為底面積，為高）錐體體積公式為：，（為底面積，為高）臺體體積公式為： （，分別為上、下底面面積，為高）補(bǔ)充：柱體的高是指兩底面之間的距離；錐體的高是指頂點(diǎn)到底面的距離；臺體的高是指上、下底面之間的距離.反思：思考下列問題比較柱體和錐體的體積公式，你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？比較柱體、錐體、臺體的體積公式，你能發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系嗎？ 典型例題例1有一堆規(guī)格相同的鐵制(鐵的密度是)六角螺帽共重，已知底面是正六邊形，邊長為12，內(nèi)孔直徑為10，高為10，問這堆螺帽大約有多少個(取3.14). 例2 在中,若將繞直線旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積. 動手試試圖(2)練1. 如圖(2)，在邊長為4的立方體中，求三棱錐的體積.練2. 直三棱柱高為6,底面三角形的邊長分別為3，將棱柱削成圓柱，求削去部分體積的最小值.三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 柱體、錐體、臺體體積公式及應(yīng)用，公式不要死記，要在理解的基礎(chǔ)上掌握；2. 求體積要注意頂點(diǎn)、底面、高的合理選擇. 知識拓展祖暅及祖暅原理祖暅，祖沖之（求圓周率的人）之子，河北人，南北朝時代的偉大科學(xué)家. 柱體、錐體,包括球的體積都可以用祖暅原理推導(dǎo)出來.祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等. 學(xué)習(xí)評價(jià) 自我評價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 圓柱的高增大為原來的3倍，底面直徑增大為原來的2倍，則圓柱的體積增大為原來的（ ）. A.6倍 B.9倍 C.12倍 D.16倍2. 已知直四棱柱相鄰的三個面的面積分別為,，則它的體積為（ ）.A. B. C. D.43. 各棱長均為的三棱錐中，任意一個頂點(diǎn)到其對應(yīng)面的距離為（ ）.A. B. C. D.4. 一個斜棱柱的的體積是30，和它等底等高的棱錐的體積為_.5. 已知圓臺兩底面的半徑分別為,則圓臺和截得它的圓錐的體積比為_.1.3.2 球的體積和表面積 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 了解球的表面積和體積計(jì)算公式；2. 能運(yùn)用柱錐臺球的表面積公式及體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P27 P28，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)：柱體包括_和_,它的體積公式為_；錐體包括_和_,它的體積公式為_；臺體包括_和_,它可以看作是大錐體上截去了一個小錐體,所以它的體積公式為_.二、新課導(dǎo)學(xué) 探索新知新知：球的體積和表面積球沒有底面,也不能像柱體、錐體、臺體那樣展成平面圖形，它的體積和表面積的求法涉及極限思想(一種很重要的數(shù)學(xué)方法).經(jīng)過推導(dǎo)證明：球的體積公式 球的表面積公式 其中，為球的半徑.顯然，球的體積和表面積的大小只與半徑有關(guān). 典型例題例1 木星的表面積約是地球的120倍，則體積約是地球的多少倍? 變式：若三個球的表面積之比為，則它們的體積之比為多少?例2 一種空心鋼球的質(zhì)量是142，外徑是5.0，求它的內(nèi)徑. （鋼密度7.9）例3 如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑(即圓柱內(nèi)有一內(nèi)切球)，求證（1）球的體積等于圓柱體積的；（2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.變式：半徑為的球內(nèi)有一內(nèi)接正方體，設(shè)正方體的內(nèi)切球半徑為，則為多少?小結(jié)：兩個幾何體相接是指一個幾何體的所有頂點(diǎn)都在另一個幾何體的表面上；兩個幾何體相切是指一個幾何體的各面與另一個幾何體的各面相切.解決幾何體相切或相接問題，要利用截面來展現(xiàn)這兩個幾何體之間的相互關(guān)系，從而把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決. 動手試試練1.長方體的一個頂點(diǎn)上的三條棱長為3、，若它的八個頂點(diǎn)都在同一個球面上，求出此球的表面積和體積.練2. 如圖，求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和體積.BCAD452三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 球的表面積及體積公式的應(yīng)用； 2. 空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的思想. 知識拓展極限的思想推導(dǎo)球的表面積公式過程：如圖,將球的表面分成個小球面，每個小球面的頂點(diǎn)與球心連接起來，近似的看作是一個棱錐，其高近似的看作是球的半徑.則球的體積約為這個小棱錐的體積和，表面積是這個小球面的面積和.當(dāng)越大時，分割得越細(xì)密，每個小棱錐的高就越接近球的半徑，于是當(dāng)趨近于無窮大時(即分割無限加細(xì))，小棱錐的高就變成了球的半徑(這就是極限的思想).所有小棱錐的體積和就是球的體積.最后根據(jù)球的體積公式就可以推導(dǎo)出球的表面積公式. 學(xué)習(xí)評價(jià) 自我評價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 如果球的半徑擴(kuò)大倍，則球的表面積擴(kuò)大（ ）. A.倍 B.倍 C.倍 D.8倍2. 有相等表面積的球及正方體，它們的體積記為，球直徑為，正方體的棱長為，則（ ）. A. B. C. D.3. 記與正方體各個面相切的球?yàn)?，與各條棱相切的球?yàn)?，過正方體各頂點(diǎn)的球?yàn)閯t這3個球的體積之比為（ ）. A.1:2:3 B.1: