數(shù)學實驗習題.docx

題目1：導彈跟蹤問題某軍一導彈基地發(fā)現(xiàn)正北方向120km處海面上有敵艇一艘以90km/h的速度向正東方向行駛，該基地立即發(fā)射導彈追擊敵艇，導彈速度為450km/h，自動導航系統(tǒng)使導彈在任一時刻都能對準敵艇。1） 試問導彈在何時何處擊中敵艇？2） 如果當基地發(fā)射導彈的同時，敵艇立即由儀器發(fā)覺，假定敵艇為高速快艇，它即刻以135千米/小時的速度向與導彈方向垂直的方向逃逸，問導彈何時何地擊中敵艇？3） 敵艇與導彈方向成何夾角逃逸才好？從結(jié)論中你能得到些什么啟示？思考：敵艇的逃跑策略是什么？在什么樣的情形下可能逃脫？1問題分析：此問題涉及到得因素主要有：時間、敵艇逃逸速度、導彈追擊速度、敵艇行駛方向、敵艇的位置等等因素。2假設及模型1） 記導彈擊中敵艇的時間為t,敵艇逃逸的速度為m,導彈追擊速度為n,敵艇行駛方向與導彈的方向的夾角為，敵艇與基地的距離為H。2） 先分析第一問，根據(jù)題意建立坐標系，設基地的為坐標原點（0，0），敵艇的坐標為（0，120），x軸指向正東方向，y軸指向正北方向。假設經(jīng)過時間t后，導彈的位置為P（x(t),y(t)）,則由題意可得：(dxdt)2+(dydt)2=n2; 其中 n=450km/h另外在t時刻，敵艇的位置為（mt,H）,其中m為90km/h，由于導彈軌跡的切線方向必須指向敵艇，即直線PM的方向就是導彈軌跡上的P點的切線方向，所以有dydx=(H-y)（mt-x） 公式和公式可得到一個微分方程組：dxdt2+(dydt)2=n2；dydx=(H-y)（mt-x） ；又已知x(0)=0,y(0)=0。1、 模型求解采用數(shù)值解，這里用差分方法：dx=x(k+1)-x(k),dy=y(k+1)-y(k),dt=t(k+1)-t(k)=h;其中h為時間的步長。Matlab程序如下：畫出的函數(shù)圖形如下：2、 結(jié)論分析第一個問中，導彈會在經(jīng)過0.277秒后，在（25.0058，120.0031）處擊中敵艇。題目2：數(shù)據(jù)擬合Malthus人口指數(shù)增長模型中的參數(shù)1970年到1980年間美國每隔10年的人口記錄如下表：年份1790180018101820183018401850人口（106）3.95.37.29.612.917.123.2年份1860187018801890190019101920人口31.438.650.262.97692106.5年份193019401950196019701980人口123.2131.7150.7179.3204226.5問題：用以上數(shù)據(jù)檢驗馬爾薩斯人口指數(shù)增長模型，根據(jù)檢驗結(jié)果進一步討論馬爾薩斯人口模型的改進。在matlab命令窗口中輸入程序如下：畫出的擬合曲線和差值曲線如下：其中，標有+的是已知數(shù)據(jù)點，連接數(shù)據(jù)點的紅色實線是線性插值函數(shù)曲線，光滑的藍色函數(shù)曲線是最佳擬合曲線。題目3：現(xiàn)收集了華北地區(qū)不同行業(yè)的職工工資水平及年平均收入，如下表：地區(qū)工業(yè)建筑業(yè)交通運輸、郵電通訊業(yè)教育、文化藝術(shù)和廣播電視事業(yè)北京1327173715291244天津1161163115031162河北1113142812451026山西1210149312971108內(nèi)蒙1246149913321199試問：1）不同行業(yè)的職工工資水平是否有顯著差異？ 2）不同地區(qū)、不同行業(yè)的職工工資水平是否有顯著差異？解：1）先提出零假設H0：各行業(yè)因素總體均值相等。在matlab下計算程序和結(jié)果如下： clear fish=1327 1737 1529 1244; 1161 1631 1503 1162; 1113 1428 1245 1026; 1210 1493 1297 1108; 1246 1499 1332 1199; save liu fish load liu fishfish = 1327 1737 1529 1244 1161 1631 1503 1162 1113 1428 1245 1026 1210 1493 1297 1108 1246 1499 1332 1199 anoval(fish)? Undefined command/function anoval. anova1(fish)ans = 6.8562e-005單因素方差分析表：因為p= 6.8562e-0050.05=,故拒絕H0故可認為不同行業(yè)的職工工資水平有顯著差異。解2）：首先提出零假設，H1：不同行業(yè)因素的效應值為0；H2：不同地區(qū)因素的效應值為0；H12：行業(yè)因素和地區(qū)因素交互效應值為0。雙因素方差分析表：檢驗結(jié)果：由雙因素方差分析表可知，計算得到的p值分別為1.0e-003*0.0002，0.2886,都小于0.05，所以可拒絕零假設H1和假設H2認為不同地區(qū)、不同行業(yè)的職工工資水平有顯著差別，且行業(yè)因素和地區(qū)因素沒有交互作用。題目4 ：導彈跟蹤問題某軍一導彈基地發(fā)現(xiàn)正北方向120km處海面上有敵艇一艘以90km/h的速度向正東方向行駛，該基地立即發(fā)射導彈追擊敵艇，導彈速度為450km/h，自動導航系統(tǒng)使導彈在任一時刻都能對準敵艇。4） 如果當基地發(fā)射導彈的同時，敵艇立即由儀器發(fā)覺，假定敵艇為高速快艇，它即刻以135千米/小時的速度向與導彈方向垂直的方向逃逸，問導彈何時何地擊中敵艇？解：3、 問題分析：此問題涉及到得因素主要有：時間、敵艇逃逸速度、導彈追擊速度、敵艇行駛方向、敵艇的位置等等因素。4、 假設及模型 設t時刻導彈和敵艇的位置分別為（x1,y1）,(x2,y2);導彈和敵艇的速度垂直，設在t時刻導彈的行駛方向和x軸所成角度記為a（為方便編程a已經(jīng)用pi換算過），則此時敵艇與x軸所成角度為（a-1.5708）,1.5708=pi/2。取時間間隔h,在t+h時刻有： X1=x1+450*h*cos(a);y1=y1+450*sin(a);x2=x2+135*h*cos(a-0.15708);y2=y2+135*sin(a-1.5708)cos(a)=(x2-x1)/d,sin(a)=(y2-y1)/d,d=sqrt(x2-x1)2+(y2-y1)2)設當d0.1時，導彈擊中敵艇。5、 matlab求解先建立m文件：functionx,y,z=fm(h,p)k=1;hold onx1=0;y1=0;x2=0,y2=120;while k500 plot(x1,y1,r) plot(x2,y2) a=atan(y2-y1)/(x2-x1); x1=x1+450*h*cos(a); y1=y1+450*h*sin(a); x2=x2+135*h*cos(a-1.5708); y2=y2+135*h*sin(a-1.5708); if(sqrt(x1-x2)2+(y1-y2)2) h=0.001; p=0.1; x,y,z=fm(h,p)結(jié)果如下：x = 35.0550y = 116.4064z = 0.5000得到圖形如下：6、 結(jié)論導彈將會在向東35.055米，向北146.4064處擊中敵艇。題目5 求出教科書P232頁圖14.2中從點1到頂點6的最短路徑極其長度。（使用dijkstra算法求解） 先建立dijkstra.m文件： function d,DD=dijkstra(D,s)m,n=size(D);d=inf.*ones(1,m);d(1,s)=0; dd=zeros(1,m);dd(1,s)=1;y=s;DD=zeros(m,m);DD(y,y)=1;counter=1;while length(find(dd=1)m for i=1:m if dd(i)=0 d(i)=min(d(i),d(y)+D(y,i); end end ddd=inf; for i=1:m if dd(i)=0&d(i) D=0,6,inf,5,8,inf; 6,0,4,2,inf,inf; inf,4,0,2,inf,3; 5,