中考數(shù)學(xué)真題分類匯編第三期專題25矩形菱形與正方形試題含解析.doc

矩形菱形與正方形一.選擇題1. （2018廣西賀州3分）如圖、正方形ABCD的邊長為1、以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF、再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH、依此下去、第n個正方形的面積為（）A（）n1B2n1C（）nD2n【解答】解：第一個正方形的面積為1=20、第二個正方形的面積為（）2=2=21、第三個正方形的邊長為22、第n個正方形的面積為2n1、故選：B2. （2018湖北十堰3分）菱形不具備的性質(zhì)是（）A四條邊都相等B對角線一定相等C是軸對稱圖形D是中心對稱圖形【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)即可判斷；【解答】解：菱形的四條邊相等、是軸對稱圖形、也是中心對稱圖形、對角線垂直不一定相等、故選：B【點評】本題考查菱形的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)、屬于中考基礎(chǔ)題3. （2018廣西梧州3分）如圖、在正方形ABCD中、A.B.C三點的坐標(biāo)分別是（1、2）、（1、0）、（3、0）、將正方形ABCD向右平移3個單位、則平移后點D的坐標(biāo)是（）A（6、2）B（0、2）C（2、0）D（2、2）【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)求出D點坐標(biāo)、再將D點橫坐標(biāo)加上3、縱坐標(biāo)不變即可【解答】解：在正方形ABCD中、A.B.C三點的坐標(biāo)分別是（1、2）、（1、0）、（3、0）、D（3、2）、將正方形ABCD向右平移3個單位、則平移后點D的坐標(biāo)是（0、2）、故選：B【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形變化平移、是基礎(chǔ)題、比較簡單4. （2018湖北江漢3分）如圖、正方形ABCD中、AB=6、G是BC的中點將ABG沿AG對折至AFG、延長GF交DC于點E、則DE的長是（）A1B1.5C2D2.5【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證RtAFERtADE；在直角ECG中、根據(jù)勾股定理即可求出DE的長【解答】解：AB=AD=AF、D=AFE=90、在RtABG和RtAFG中、RtAFERtADE、EF=DE、設(shè)DE=FE=x、則EC=6xG為BC中點、BC=6、CG=3、在RtECG中、根據(jù)勾股定理、得：（6x）2+9=（x+3）2、解得x=2則DE=2故選：C5.（2018四川省攀枝花3分）如圖、在矩形ABCD中、E是AB邊的中點、沿EC對折矩形ABCD、使B點落在點P處、折痕為EC、連結(jié)AP并延長AP交CD于F點、連結(jié)CP并延長CP交AD于Q點給出以下結(jié)論：四邊形AECF為平行四邊形；PBA=APQ；FPC為等腰三角形；APBEPC其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A1B2C3D4解：如圖、EC、BP交于點G；點P是點B關(guān)于直線EC的對稱點、EC垂直平分BP、EP=EB、EBP=EPB點E為AB中點、AE=EB、AE=EP、PAB=PBAPAB+PBA+APB=180、即PAB+PBA+APE+BPE=2（PAB+PBA）=180、PAB+PBA=90、APBP、AFEC；AECF、四邊形AECF是平行四邊形、故正確；APB=90、APQ+BPC=90、由折疊得：BC=PC、BPC=PBC四邊形ABCD是正方形、ABC=ABP+PBC=90、ABP=APQ、故正確；AFEC、FPC=PCE=BCEPFC是鈍角、當(dāng)BPC是等邊三角形、即BCE=30時、才有FPC=FCP、如右圖、PCF不一定是等腰三角形、故不正確；AF=EC、AD=BC=PC、ADF=EPC=90、RtEPCFDA（HL）ADF=APB=90、FAD=ABP、當(dāng)BP=AD或BPC是等邊三角形時、APBFDA、APBEPC、故不正確；其中正確結(jié)論有、2個 故選B6.（2018云南省曲靖4分）如圖、在正方形ABCD中、連接AC、以點A為圓心、適當(dāng)長為半徑畫弧、交AB.AC于點M、N、分別以M、N為圓心、大于MN長的一半為半徑畫弧、兩弧交于點H、連結(jié)AH并延長交BC于點E、再分別以A.E為圓心、以大于AE長的一半為半徑畫弧、兩弧交于點P、Q、作直線PQ、分別交CD、AC、AB于點F、G、L、交CB的延長線于點K、連接GE、下列結(jié)論：LKB=22.5、GEAB、tanCGF=、SCGE：SCAB=1：4其中正確的是（）ABCD【解答】解：四邊形ABCD是正方形、BAC=BAD=45、由作圖可知：AE平分BAC、BAE=CAE=22.5、PQ是AE的中垂線、AEPQ、AOL=90、AOL=LBK=90、ALO=KLB、LKB=BAE=22.5；故正確；OG是AE的中垂線、AG=EG、AEG=EAG=22.5=BAE、EGAB、故正確；LAO=GAO、AOL=AOG=90、ALO=AGO、CGF=AGO、BLK=ALO、CGF=BLK、在RtBKL中、tanCGF=tanBLK=、故正確；連接EL、AL=AG=EG、EGAB、四邊形ALEG是菱形、AL=EL=EGBL、EGAB、CEGCBA、=、故不正確；本題正確的是：、故選：A7.（2018浙江省臺州4分）下列命題正確的是（）A對角線相等的四邊形是平行四邊形B對角線相等的四邊形是矩形C對角線互相垂直的平行四邊形是菱形D對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形【分析】根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可【解答】解：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形、A錯誤；對角線相等的平行四邊形是矩形、B錯誤；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形、C正確；對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形；故選：C【點評】本題考查的是命題的真假判斷、正確的命題叫真命題、錯誤的命題叫做假命題判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理8. （2018萊蕪3分）如圖、在矩形ABCD中、ADC的平分線與AB交于E、點F在DE的延長線上、BFE=90、連接AF、CF、CF與AB交于G有以下結(jié)論：AE=BCAF=CFBF2=FGFCEGAE=BGAB其中正確的個數(shù)是（）A1B2C3D4【分析】只要證明ADE為直角三角形即可只要證明AEFCBF（SAS）即可；假設(shè)BF2=FGFC、則FBGFCB、推出FBG=FCB=45、由ACF=45、推出ACB=90、顯然不可能、故錯誤、由ADFGBF、可得=、由EGCD、推出=、推出=、由AD=AE、EGAE=BGAB、故正確、【解答】解：DE平分ADC、ADC為直角、ADE=90=45、ADE為直角三角形AD=AE、又四邊形ABCD矩形、AD=BC、AE=BCBFE=90、BFE=AED=45、BFE為等腰直角三角形、則有EF=BF又AEF=DFB+ABF=135、CBF=ABC+ABF=135、AEF=CBF在AEF和CBF中、AE=BC、AEF=CBF、EF=BF、AEFCBF（SAS）AF=CF假設(shè)BF2=FGFC、則FBGFCB、FBG=FCB=45、ACF=45、ACB=90、顯然不可能、故錯誤、BGF=180CGB、DAF=90+EAF=90+（90AGF）=180AGF、AGF=BGC、DAF=BGF、ADF=FBG=45、ADFGBF、=、EGCD、=、=、AD=AE、EGAE=BGAB、故正確、故選：C【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識、解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題、屬于中考?？碱}型9. （2018陜西3分） 如圖、在菱形ABCD中、點E.F、G、H分別是邊AB.BC.CD和DA的中點、連接EF、FG、GH和HE若EH2EF、則下列結(jié)論正確的是A. ABEF B. AB2EF C. ABEF D. ABEF【答案】D【解析】【分析】連接AC.BD交于點O、由菱形的性質(zhì)可得OA=AC、OB=BD、ACBD、由中位線定理可得EH=BD、EF=AC、根據(jù)EH=2EF、可得OA=EF、OB=2EF、在RtAOB中、根據(jù)勾股定理即可求得AB=EF、由此即可得到答案.【詳解】連接AC.BD交于點O、四邊形ABCD是菱形、OA=AC、OB=BD、ACBD、E.F、G、H分別是邊AB.BC.CD和DA的中點、EH=BD、EF=AC、EH=2EF、OA=EF、OB=2OA=2EF、在RtAOB中、AB=EF、故選D. 【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等、正確添加輔助線是解決問題的關(guān)鍵.10.（2018遼寧大連3分）如圖、菱形ABCD中、對角線AC、BD相交于點O、若AB=5、AC=6、則BD的長是（）A8B7C4D3解：四邊形ABCD是菱形、OA=OC=3、OB=OD、ACBD在RtAOB中、AOB=90、根據(jù)勾股定理、得：OB=4、BD=2OB=8 故選A11.（2018江蘇常州2分）下列命題中、假命題是（）A一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B三個角是直角的四邊形是矩形C四邊相等的四邊形是菱形D有一個角是直角的菱形是正方形【分析】根據(jù)矩形、正方形、平行四邊形、菱形的判定即可求出答案【解答】解：A.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形、是假命題；B.三個角是直角的四邊形是矩形、是真命題；C.四邊相等的四邊形是菱形、是真命題；D.有一個角是直角的菱形是正方形、是真命題；故選：A【點評】本題考查菱形、矩形和平行四邊形的判定與命題的真假區(qū)別、關(guān)鍵是根據(jù)矩形、正方形、平行四邊形、菱形的判定解答二.填空題1. （2018廣西賀州3分）如圖、正方形ABCD的邊長為12、點E在邊AB上、BE=8、過點E作EFBC、分別交BD.CD于G、F兩點若點P、Q分別為DG、CE的中點、則PQ的長為 【解答】解：作QMEF于點M、作PNEF于點N、作QHPN交PN的延長線于點H、如右圖所示、正方形ABCD的邊長為12、BE=8、EFBC、點P、Q分別為DG、CE的中點、DF=4、CF=8、EF=12、MQ=4、PN=2、MF=6、QMEF、PNEF、BE=8、DF=4、EGBFGD、即、解得、FG=4、FN=2、MN=62=4、QH=4、PH=PN+QM、PH=6、PQ=、故答案為：22.（2018四川省攀枝花3分）如圖、在矩形ABCD中、AB=4、AD=3、矩形內(nèi)部有一動點P滿足SPAB=S矩形ABCD、則點P到A.B兩點的距離之和PA+PB的最小值為 解：設(shè)ABP中AB邊上的高是hSPAB=S矩形ABCD、 ABh=ABAD、h=AD=2、動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上、如圖、作A關(guān)于直線l的對稱點E、連接AE、連接BE、則BE的長就是所求的最短距離在RtABE中、AB=4、AE=2+2=4、BE=4、即PA+PB的最小值為4故答案為：43.（2018浙江省臺州5分）如圖、在正方形ABCD中、AB=3、點E、F分別在CD、AD上、CE=DF、BE、CF相交于點G若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3、則BCG的周長為+3【分析】根據(jù)面積之比得出BGC的面積等于正方形面積的、進(jìn)而依據(jù)BCG的面積以及勾股定理、得出BG+CG的長、進(jìn)而得出其周長【解答】解：陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3、陰影部分的面積為9=6、空白部分的面積為96=3、由CE=DF、BC=CD、BCE=CDF=90、可得BCECDF、BCG的面積與四邊形DEGF的面積相等、均為3=、設(shè)BG=a、CG=b、則ab=、又a2+b2=32、a2+2ab+b2=9+6=15、即（a+b）2=15、a+b=、即BG+CG=、BCG的周長=+3、故答案為：+3【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形面積問題解題時注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用4(2018遼寧省葫蘆島市) 如圖、在菱形OABC中、點B在x軸上、點A的標(biāo)為（2、3）、則點C的坐標(biāo)為（2、3）【解答】解：四邊形OABC是菱形、A.C關(guān)于直線OB對稱A（2、3）、C（2、3） 故答案為：（2、3）5（2018遼寧省阜新市）如圖、在矩形ABCD中、點E為AD中點、BD和CE相交于點F、如果DF=2、那么線段BF的長度為4【解答】解：四邊形ABCD是矩形、ADBC、AD=BC、DEFBCF、 =點E為AD中點、DE=AD、DE=BC、 =、BF=2DF=4故答案為：46. （2018呼和浩特3分）如圖、已知正方形ABCD、點M是邊BA延長線上的動點（不與點A重合）、且AMAB、CBE由DAM平移得到若過點E作EHAC、H為垂足、則有以下結(jié)論：點M位置變化、使得DHC=60時、2BE=DM；無論點M運動到何處、都有DM=HM；無論點M運動到何處、CHM一定大于135其中正確結(jié)論的序號為 解：由題可得、AM=BE、AB=EM=AD、四邊形ABCD是正方形、EHAC、EM=AH、AHE=90、MEH=DAH=45=EAH、EH=AH、MEHDAH（SAS）、MHE=DHA、MH=DH、MHD=AHE=90、DHM是等腰直角三角形、DM=HM、故正確；當(dāng)DHC=60時、ADH=6045=15、ADM=4515=30、RtADM中、DM=2AM、即DM=2BE、故正確；點M是邊BA延長線上的動點（不與點A重合）、且AMAB、AHMBAC=45、CHM135、故正確；故答案為：7. （2018樂山3分）如圖、四邊形ABCD是正方形、延長AB到點E、使AE=AC、連結(jié)CE、則BCE的度數(shù)是 度解：四邊形ABCD是正方形、CAB=BCA=45；ACE中、AC=AE、則：ACE=AEC=（180CAE）=67.5；BCE=ACEACB=22.5故答案為：22.58. （2018萊蕪4分）如圖、正三角形和矩形具有一條公共邊、矩形內(nèi)有一個正方形、其四個頂點都在矩形的邊上、正三角形和正方形的面積分別是2和2、則圖中陰影部分的面積是2【分析】由正方形的面積公式和正三角形的面積公式求得圖中大矩形的寬和長、然后求大矩形的面積、從而求得圖中陰影部分的面積【解答】解：設(shè)正三角形的邊長為a、則a2=2、解得a=2則圖中陰影部分的面積=22=2故答案是：2【點評】考查了二次根式的應(yīng)用解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖中正三角形和正方形的面積求得大矩形的長和寬9. （2018湖北咸寧3分）如圖、將正方形OEFG放在平面直角坐標(biāo)系中、O是坐標(biāo)原點、點E的坐標(biāo)為（2、3）、則點F的坐標(biāo)為_【答案】（1、5）【解析】【分析】結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可以求得點G的坐標(biāo)、再由正方形的中心對稱的性質(zhì)求得點F的坐標(biāo)【詳解】如圖、過點E作x軸的垂線EH、垂足為H過點G作x軸的垂線EG、垂足為G、連接GE.FO交于點O、四邊形OEFG是正方形、OG=EO、GOM=OEH、OGM=EOH、在OGM與EOH中、 、OGMEOH（ASA）、GM=OH=2、OM=EH=3、G（3、2）、O（、）、點F與點O關(guān)于點O對稱、點F的坐標(biāo)為 （1、5）、故答案是：（1、5）【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、中點坐標(biāo)公式等、正確添加輔助線以及熟練掌握和運用相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.10.（2018江蘇鎮(zhèn)江2分）如圖、點E.F、G分別在菱形ABCD的邊AB、BC、AD上、AE=AB、CF=CB、AG=AD已知EFG的面積等于6、則菱形ABCD的面積等于27【解答】解：在CD上截取一點H、使得CH=CD連接AC交BD于O、BD交EF于Q、EG交AC于P=、EGBD、同法可證：FHBD、EGFH、同法可證EFGF、四邊形EFGH是平行四邊形、四邊形ABCD是菱形、ACBD、EFEG、四邊形EFGH是矩形、易證點O在線段FG上、四邊形EQOP是矩形、SEFG=6、S矩形EQOP=3、即OPOQ=3、OP：OA=BE：AB=2：3、OA=OP、同法可證OB=3OQ、S菱形ABCD=ACBD=3OP6OQ=9OPOQ=27故答案為27三.解答題1. （2018廣西賀州8分）如圖、在ABC中、ACB=90、O、D分別是邊AC.AB的中點、過點C作CEAB交DO的延長線于點E、連接AE（1）求證：四邊形AECD是菱形；（2）若四邊形AECD的面積為24、tanBAC=、求BC的長【解答】（1）證明：點O是AC中點、OA=OC、CEAB、DAO=ECO、在AOD和COE中、AODCOE（ASA）、AD=CE、CEAB、四邊形AECD是平行四邊形、又CD是RtABC斜邊AB上的中線、CD=AD、四邊形AECD是菱形；（2）由（1）知、四邊形AECD是菱形、ACED、在RtAOD中、tanDAO=、設(shè)OD=3x、OA=4x、則ED=2OD=6x、AC=2OA=8x、由題意可得：、解得：x=1、OD=3、O、D分別是AC、AB的中點、OD是ABC的中位線、BC=2OD=62. （2018湖北荊州8分）如圖、對折矩形紙片ABCD、使AB與DC重合、得到折痕MN、將紙片展平；再一次折疊、使點D落到MN上的點F處、折痕AP交MN于E；延長PF交AB于G求證：（1）AFGAFP；（2）APG為等邊三角形【解答】證明：（1）由折疊可得：M、N分別為AD.BC的中點、DCMNAB、F為PG的中點、即PF=GF、由折疊可得：PFA=D=90、1=2、在AFP和AFG中、AFPAFG（SAS）；（2）AFPAFG、AP=AG、AFPG、2=3、1=2、1=2=3=30、2+3=60、即PAG=60、APG為等邊三角形3. （2018湖北十堰10分）已知正方形ABCD與正方形CEFG、M是AF的中點、連接DM、EM（1）如圖1、點E在CD上、點G在BC的延長線上、請判斷DM、EM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系、并直接寫出結(jié)論；（2）如圖2、點E在DC的延長線上、點G在BC上、（1）中結(jié)論是否仍然成立？請證明你的結(jié)論；（3）將圖1中的正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)、使D、E、F三點在一條直線上、若AB=13、CE=5、請畫出圖形、并直接寫出MF的長【分析】（1）結(jié)論：DMEM、DM=EM只要證明AMHFME、推出MH=ME、AH=EF=EC、推出DH=DE、因為EDH=90、可得DMEM、DM=ME；（2）結(jié)論不變、證明方法類似；（3）分兩種情形畫出圖形、理由勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題即可；【解答】解：（1）結(jié)論：DMEM、DM=EM理由：如圖1中、延長EM交AD于H四邊形ABCD是正方形、四邊形EFGC是正方形、ADE=DEF=90、AD=CD、ADEF、MAH=MFE、AM=MF、AMH=FME、AMHFME、MH=ME、AH=EF=EC、DH=DE、EDH=90、DMEM、DM=ME（2）如圖2中、結(jié)論不變DMEM、DM=EM理由：如圖2中、延長EM交DA的延長線于H四邊形ABCD是正方形、四邊形EFGC是正方形、ADE=DEF=90、AD=CD、ADEF、MAH=MFE、AM=MF、AMH=FME、AMHFME、MH=ME、AH=EF=EC、DH=DE、EDH=90、DMEM、DM=ME（3）如圖3中、作MRDE于R在RtCDE中、DE=12、DM=NE、DMME、MR=DE、MR=DE=6、DR=RE=6、在RtFMR中、FM=如圖4中、作MRDE于R在RtMRF中、FM=、故滿足條件的MF的值為或【點評】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及直角三角形的性質(zhì)、靈活運用相關(guān)的定理、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵4.（2018四川省攀枝花）已知ABC中、A=90（1）請在圖1中作出BC邊上的中線（保留作圖痕跡、不寫作法）；（2）如圖2、設(shè)BC邊上的中線為AD、求證：BC=2AD（1）解：如圖1、AD為所作；（2）證明：延長AD到E、使ED=AD、連接EB.EC、如圖2CD=BD、AD=ED、四邊形ABEC為平行四邊形CAB=90、四邊形ABEC為矩形、AE=BC、BC=2AD5.（2018云南省昆明12分）如圖1、在矩形ABCD中、P為CD邊上一點（DPCP）、APB=90將ADP沿AP翻折得到ADP、PD的延長線交邊AB于點M、過點B作BNMP交DC于點N（1）求證：AD2=DPPC；（2）請判斷四邊形PMBN的形狀、并說明理由；（3）如圖2、連接AC、分別交PM、PB于點E、F若=、求的值【分析】（1）過點P作PGAB于點G、易知四邊形DPGA、四邊形PCBG是矩形、所以AD=PG、DP=AG、GB=PC、易證APGPBG、所以PG2=AGGB、即AD2=DPPC；（2）DPAB、所以DPA=PAM、由題意可知：DPA=APM、所以PAM=APM、由于APBPAM=APBAPM、即ABP=MPB、從而可知PM=MB=AM、又易證四邊形PMBN是平行四邊形、所以四邊形PMBN是菱形；（3）由于=、可設(shè)DP=1、AD=2、由（1）可知：AG=DP=1、PG=AD=2、從而求出GB=PC=4、AB=AG+GB=5、由于CPAB、從而可證PCFBAF、PCEMAE、從而可得、從而可求出EF=AFAE=AC=AC、從而可得=【解答】解：（1）過點P作PGAB于點G、易知四邊形DPGA、四邊形PCBG是矩形、AD=PG、DP=AG、GB=PCAPB=90、APG+GPB=GPB+PBG=90、APG=PBG、APGPBG、PG2=AGGB、即AD2=DPPC；（2）DPAB、DPA=PAM、由題意可知：DPA=APM、PAM=APM、APBPAM=APBAPM、即ABP=MPBAM=PM、PM=MB、PM=MB、又易證四邊形PMBN是平行四邊形、四邊形PMBN是菱形；（3）由于=、可設(shè)DP=1、AD=2、由（1）可知：AG=DP=1、PG=AD=2、PG2=AGGB、4=1GB、GB=PC=4、AB=AG+GB=5、CPAB、PCFBAF、=、又易證：PCEMAE、AM=AB=、EF=AFAE=AC=AC、=【點評】本題考查相似三角形的綜合問題、涉及相似三角形的性質(zhì)與判定、菱形的判定、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等知識、綜合程度較高、需要學(xué)生靈活運用所學(xué)知識6（2018遼寧省沈陽市）（8.00分）如圖、在菱形ABCD中、對角線AC與BD交于點O過點C作BD的平行線、過點D作AC的平行線、兩直線相交于點E（1）求證：四邊形OCED是矩形；（2）若CE=1、DE=2、ABCD的面積是4【分析】（1）欲證明四邊形OCED是矩形、只需推知四邊形OCED是平行