解析幾何專題.doc

此文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除解析幾何專題題型一：結(jié)合韋達(dá)定理解題（）定值問題：例1、橢圓：（）的左、右焦點分別為、，右頂點為，為橢圓上任意一點已知的最大值為，最小值為（）求橢圓的方程；（）若直線：與橢圓相交于、兩點（、不是左右頂點），且以為直徑的圓過點求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)解析：（1） 是橢圓上任一點,且，2分當(dāng)時，有最小值；當(dāng)或時, 有最大值， ， 橢圓方程為。4分（2）設(shè)，將代入橢圓方程得6分，為直徑的圓過點，或都滿足，9分若直線恒過定點不合題意舍去，若直線：恒過定點EX1.1 已知橢圓上有一個頂點到兩個焦點之間的距離分別為，；（1）求橢圓的方程；（2）如果直線與橢圓相交于，若，證明直線與直線的交點必在一條確定的雙曲線上；（3）過點作直線（與軸不垂直）與橢圓交于兩點，與軸交于點，若，證明：為定值解：（1）由已知3分所以橢圓方程為。5分（2）依題意可設(shè)，且有又，將代入即得所以直線與直線的交點必在雙曲線上。10分（3）依題意，直線的斜率存在，故可設(shè)直線的方程為，11分設(shè)、，則兩點坐標(biāo)滿足方程組消去并整理，得， 所以， ， 13分因為，所以，即所以，又與軸不垂直，所以，所以，同理。 14分所以。將代入上式可得。 16分例2、如圖所示，是拋物線的焦點，點為拋物線內(nèi)一定點，點為拋物線上一動點，的最小值為8.（1）求拋物線方程；xA(4,2)OyPF（2）若為坐標(biāo)原點，問是否存在定點，使過點的動直線與拋物線交于兩點，且以為直徑的圓恰過坐標(biāo)原點, 若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過作于，過作于，B （1）由拋物線定義知xA(4,2)OyPFC(折線段大于垂線段)，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線取等號.由題意知,即拋物線的方程為： 5分（2）假設(shè)存在點，設(shè)過點的直線方程為，顯然，設(shè)，由以為直徑的圓恰過坐標(biāo)原點有 6分把代人得由韋達(dá)定理 7分又 代人得 代人得 動直線方程為必過定點 10分當(dāng)不存在時，直線交拋物線于,仍然有， 綜上：存在點滿足條件 12分EX2.1 已知拋物線的頂點是橢圓的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合.(1)求拋物線的方程；(2)已知動直線過點,交拋物線于、兩點.若直線的斜率為1,求的長；是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，說明理由. 解:(1)由題意,可設(shè)拋物線方程為. 1分由,得. 2分拋物線的焦點為,. 3分拋物線D的方程為. 4分(2)設(shè),. 5分直線的方程為：, 6分聯(lián)立,整理得: 7分=.9分 EX2.2 已知橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線是拋物線的一條切線（）求橢圓的方程；（）過點的動直線交橢圓于，兩點問：是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過點？ 若存在，求點坐標(biāo)；若不存在，說明理由解析：（）由因直線相切，2分圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形， 故所求橢圓方程為 （）當(dāng)L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：當(dāng)L與x軸垂直時，以AB為直徑的圓的方程：由即兩圓公共點（0，1）因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1） （）當(dāng)直線L斜率不存在時，以AB為直徑的圓過點T（0，1）（）若直線L斜率存在時，可設(shè)直線L：由記點 TATB, 綜合（）（），以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）（）取值范圍問題：例3、如圖所示，已知圓為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足的軌跡為曲線E；（I）求曲線E的方程；（II）若過定點F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點G、H（點G在點F、H之間），且滿足，求的取值范圍【解】（1）NP為AM的垂直平分線，|NA|=|NM|.2分又動點N的軌跡是以點C（1，0），A（1，0）為焦點的橢圓.且橢圓長軸長為焦距2c=2. 5分曲線E的方程為6分（2）當(dāng)直線GH斜率存在時，設(shè)直線GH方程為得設(shè)8分，10分又當(dāng)直線GH斜率不存在，方程為12分EX3.1 如圖，已知橢圓C：，經(jīng)過橢圓C的右焦點F且斜率為k（k0）的直線l交橢圓G于A、B兩點，M為線段AB的中點，設(shè)O為橢圓的中心，射線OM交橢圓于N點（1）是否存在k，使對任意m0，總有成立？若存在，求出所有k的值；（2）若，求實數(shù)k的取值范圍【解】（1）橢圓C：1分直線AB：yk（xm）, 2分，（10k26）x220k2mx10k2m215m203分設(shè)A（x1,y1）、B（x2,y2）,則x1x2，x1x24分則xm5分若存在k,使為ON的中點，即N點坐標(biāo)為 6分由N點在橢圓上，則7分即5k42k230k21或k2（舍）故存在k1使8分（2）x1x2k2（x1m）（x2m）（1k2）x1x2k2m（x1x2）k2m2（1k2）10分由得12分即k21520k212,k2且k014分EX3.2 已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸的負(fù)半軸上，過其上一點的切線方程為為常數(shù)）； （I）求拋物線方程； （II）斜率為的直線與拋物線的另一交點為A，斜率為的直線與拋物線的另一交點為B（A、B兩點不同），且滿足，求證線段PM的中點在y軸上； （III）在（II）的條件下，當(dāng)時，若P的坐標(biāo)為（1，1），求PAB為鈍角時點A的縱坐標(biāo)的取值范圍【解】（I）由題意可設(shè)拋物線的方程為,過點的切線方程為,2分 拋物線的方程為3分 （II）直線PA的方程為, 同理,可得. 5分 6分 又 線段PM的中點在y軸上.7分 （III）由8分PAB為鈍角，且P, A, B不共線, 即10分又點A的縱坐標(biāo) 當(dāng)時，；當(dāng)PAB為鈍角時點A的坐標(biāo)的取值范圍為12分EX3.3 已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，過點P（4，0）且不垂直于x軸直線與橢圓C相交于A、B兩點；（1）求橢圓C的方程；（2）求的取值范圍；（3）若B點在于x軸的對稱點是E，證明：直線AE與x軸相交于定點(1)解：由題意知，即又，故橢圓的方程為(2)解：由題意知直線AB的斜率存在，設(shè)直線PB的方程為由得： 由得：設(shè)A(x1，y1)，B (x2，y2)，則，的取值范圍是(3)證：B、E兩點關(guān)于x軸對稱，E(x2，y2)直線AE的方程為，令y = 0得：又，由將代入得：x = 1，直線AE與x軸交于定點(1，0)EX3.4 在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，已知兩點M（1，3）、N（5，1），若動點滿足交于A、B兩點； （I）求證：； （II）在x軸上是否存在一點，使得過點P的直線l交拋物線于D、E兩點，并以線段DE為直徑的圓都過原點。若存在，請求出m的值及圓心M的軌跡方程；若不存在，請說明理由。【解】（I）解：由知點C的軌跡是過M，N兩點的直線，故點C的軌跡方程是： （II）解：假設(shè)存在于D、E兩點，并以線段DE為直徑的圓都過原點。設(shè) 由題意，直線l的斜率不為零， 所以，可設(shè)直線l的方程為 代入 7分 此時，以DE為直徑的圓都過原點。 10分 設(shè)弦DE的中點為 題型二：不使用韋達(dá)定理例4、如圖，已知橢圓的長軸為，過點的直線與軸垂直直線所經(jīng)過的定點恰好是橢圓的一個頂點，且橢圓的離心率.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； B（2）設(shè)是橢圓上異于、的任意一點，軸，為垂足，延長到點使得，連結(jié)延長交直線于點，為的中點試判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系（1） 將整理得 解方程組得直線所經(jīng)過的定點（0，1），所以 由離心率得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為-4分（2）設(shè)，則，點在以為圓心，2為半徑的的圓上即點在以為直徑的圓上6分又，直線的方程為令，得又，為的中點，8分，直線與圓相切EX4.1 如圖，在中，以、為焦點的橢圓恰好過的中點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的右頂點作直線與圓相交于、兩點，試探究點、能將圓分割成弧長比值為的兩段弧嗎？若能，求出直線的方程；若不能，請說明理由.yPABCOx解（1）依橢圓的定義有： ， 又， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為7分（求出點p的坐標(biāo)后，直接設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將P點的坐標(biāo)代入即可求出橢圓方程，也可以給滿分.）橢圓的右頂點，圓圓心為，半徑.假設(shè)點、能將圓分割成弧長比值為的兩段弧，則，圓心到直線的距離 當(dāng)直線斜率不存在時，的方程為，此時圓心到直線的距離（符合）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)的方程為，即，圓心到直線的距離，無解綜上：點M、N能將圓分割成弧長比值為的兩段弧，此時方程為例5、 已知圓C1的方程為，定直線l的方程為動圓C與圓C1外切，且與直線相切（）求動圓圓心C的軌跡M的方程；A（II）斜率為的直線與軌跡M相切于第一象限的點P，過點P作直線l的垂線恰好經(jīng)過點A（0，6），并交軌跡M于異于點P的點Q，記為POQ（O為坐標(biāo)原點）的面積，求的值解（）設(shè)動圓圓心C的坐標(biāo)為，動圓半徑為R，則 ，且 2分 可得 由于圓C1在直線l的上方，所以動圓C的圓心C應(yīng)該在直線l的上方，所以有，從而得，整理得，即為動圓圓心C的軌跡M的方程 5分（II）如圖示，設(shè)點P的坐標(biāo)為，則切線的斜率為，可得直線PQ的斜率為，所以直線PQ的方程為由于該直線經(jīng)過點A（0,6），所以有，得因為點P在第一象限，所以，點P坐標(biāo)為（4,2），直線PQ的方程為 9分把直線PQ的方程與軌跡M的方程聯(lián)立得，解得或4，可得點Q的坐標(biāo)為所以 EX5.1 設(shè)拋物線的焦點為，曲線與關(guān)于原點對稱() 求曲線的方程；() 曲線上是否存在一點（異于原點），過點作的兩條切線PA，PB，切點A，B，滿足| AB |是與的等差中項？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由()解；因為曲線與關(guān)于原點對稱，又的方程，所以方程為 5分()解：設(shè)，,的導(dǎo)數(shù)為，則切線的方程，又，得，因點在切線上,故同理, 所以直線經(jīng)過兩點，即直線方程為,即，代入得，則,，所以 ，由拋物線定義得，所以，由題設(shè)知，即，解得，從而綜上，存在點滿足題意，點的坐標(biāo)為 或 15分EX5.2 已知動點A、B分別在軸、軸上，且滿足|AB|=2，點P在線段AB上，且 設(shè)點P的軌跡方程為； （1）求點P的軌跡方程； （2）若t=2，點M、N是上關(guān)于原點對稱的兩個動點（M、N不在坐標(biāo)軸上），點Q坐標(biāo)為求QMN的面積S的最大值【解】（1）設(shè) （2）t=2時， 5分EX5.3 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓；（1）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（2）設(shè)為平面上的點，滿足：存在過點的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點的坐標(biāo)(1)