八年級上冊知識點（3）分式方程知識點詳細(xì)匯總.doc

第十五章分式1. 分式的定義：如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。2. 分式有意義、無意義的條件：分式有意義的條件：分式的分母不等于0；分式無意義的條件：分式的分母等于0。3. 分式值為零的條件：當(dāng)分式的分子等于0且分母不等于0時，分式的值為0。 （分式的值是在分式有意義的前提下才可以考慮的，所以使分式為0的條件是A0，且B0.） （分式的值為0的條件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。首先求出使分子為0的字母的值，再檢驗這個字母的值是否使分母的值為0.當(dāng)分母的值不為0時，就是所要求的字母的值。）4. 分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變。 用式子表示為 （），其中A、B、C是整式 注意：（1）“C是一個不等于0的整式”是分式基本性質(zhì)的一個制約條件； （2）應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時，要深刻理解“同”的含義，避免犯只乘分子（或分母）的錯誤； （3）若分式的分子或分母是多項式，運用分式的基本性質(zhì)時，要先用括號把分子或分母括上，再乘或除以同一 整式C； （4）分式的基本性質(zhì)是分式進(jìn)行約分、通分和符號變化的依據(jù)。5.分式的通分： 和分?jǐn)?shù)類似，利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼剑桓淖兎质降闹?，把幾個異分母分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分。通分的關(guān)鍵是確定幾個式子的最簡公分母。幾個分式通分時，通常取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母就叫做最簡公分母。求最簡公分母時應(yīng)注意以下幾點：（1）“各分母所有因式的最高次冪”是指凡出現(xiàn)的字母（或含字母的式子）為底數(shù)的冪選取指數(shù)最大的；（2）如果各分母的系數(shù)都是整數(shù)時，通常取它們系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù)；（3）如果分母是多項式，一般應(yīng)先分解因式。6.分式的約分： 和分?jǐn)?shù)一樣，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，約去分式的分子和分母中的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫 做分式的約分。約分后分式的分子、分母中不再含有公因式，這樣的分式叫最簡公因式。 約分的關(guān)鍵是找出分式中分子和分母的公因式。（1）約分時注意分式的分子、分母都是乘積形式才能進(jìn)行約分；分子、分母是多項式時，通常將分子、分母 分解因式，然后再約分；（2）找公因式的方法： 當(dāng)分子、分母都是單項式時，先找分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，再找相同字母的最低次冪，它們的積就是公因式；當(dāng)分子、分母都是多項式時，先把多項式因式分解。易錯點：（1）當(dāng)分子或分母是一個式子時，要看做一個整體，易出現(xiàn)漏乘（或漏除以）； （2）在式子變形中要注意分子與分母的符號變化，一般情況下要把分子或分母前的“” 放在分?jǐn)?shù)線前； （3）確定幾個分式的最簡公分母時，要防止遺漏只在一個分母中出現(xiàn)的字母； 7.分式的運算：分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。 分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。 用式子表示是： 提示：（1）分式與分式相乘，若分子、分母是單項式，可先將分子、分母分別相乘，然后約去公因式，化為最簡分式；若分子、分母是多項式，先把分子、分母分解公因式，看能否約分，然后再相乘； （2）當(dāng)分式與整式相乘時，要把整式與分式的分子相乘作為積的分子，分母不變 （3）分式的除法可以轉(zhuǎn)化為分式的乘法運算； （4）分式的乘除混合運算統(tǒng)一為乘法運算。 分式的乘除法混合運算順序與分?jǐn)?shù)的乘除混合運算相同，即按照從左到右的順序，有括號先算括號 里面的； 分式的乘除混合運算要注意各分式中分子、分母符號的處理，可先確定積的符號； 分式的乘除混合運算結(jié)果要通過約分化為最簡分式（分式的分子、分母沒有公因式）或整式的形式。分式乘方法則：分式乘方要把分子、分母各自乘方。用式子表示是： （其中n是正整數(shù)） 注意：（1）乘方時，一定要把分式加上括號； （2）分式乘方時確定乘方結(jié)果的符號與有理數(shù)乘方相同，即正分式的任何次冪都為正；負(fù)分式的偶次冪為正，奇次冪為負(fù)； （3）分式乘方時，應(yīng)把分子、分母分別看做一個整體； （4）在一個算式中同時含有分式的乘方、乘法、除法時，應(yīng)先算乘方，再算乘除，有多項式時應(yīng)先分解因式，再約分。 分式的加減法則：法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。 用式子表示為： 法則：異分母的分式相加減，先通分，轉(zhuǎn)化為同分母分式，然后再加減。用式子表示為： 注意：（1）“把分子相加減”是把各個分子的整體相加減，即各個分子應(yīng)先加上括號后再加減，分子是單項式時括號可以省略； （2）異分母分式相加減，“先通分”是關(guān)鍵，最簡公分母確定后再通分，計算時要注意分式中符號的處理，特別是分子相減，要注意分子的整體性； （3）運算時順序合理、步驟清晰； （4）運算結(jié)果必須化成最簡分式或整式。分式的混合運算:分式的混合運算，關(guān)鍵是弄清運算順序，與分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除及乘方的混合運算一樣，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號要先算括號里面的，計算結(jié)果要化為整式或最簡分式。8. 任何一個不等于零的數(shù)的零次冪等于1， 即；當(dāng)n為正整數(shù)時， （ 注意：當(dāng)冪指數(shù)為負(fù)整數(shù)時，最后的計算結(jié)果要把冪指數(shù)化為正整數(shù)。9. 整數(shù)指數(shù)冪： 若m、n為正整數(shù)，a0，am amn 又因為am amnammnan,所以a n 一般地，當(dāng)n是正整數(shù)時，a n（a0），即a n（a0）是an的倒數(shù)，這樣指數(shù)的取值范圍就推廣到全體整數(shù)。整數(shù)指數(shù)冪可具有下列運算性質(zhì)：(m,n是整數(shù)) （1）同底數(shù)的冪的乘法：；（2）冪的乘方：;（3）積的乘方：；（4）同底數(shù)的冪的除法：( a0)；（5）商的乘方： ；(b0)規(guī)定：a01（a0），即任何不等于0的零次冪都等于1.10. 分式方程：含分式，并且分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程。去分母分式方程的解法： 轉(zhuǎn)化（1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程 整式方程.（2）解分式方程的一般方法和步驟： 去分母：即在方程的兩邊都同時乘以最簡公分母，把分式方程化為整式方程，依據(jù)是等式的基本性質(zhì)； 解這個整式方程； 檢驗：把整式方程的解代入最簡公分母，使最簡公分母不等于0的解是原方程的解，使最簡公分母等于0的解不是原方程的解，即說明原分式方程無解。注意： 去分母時，方程兩邊的每一項都乘以最簡公分母，不要漏乘不含分母的項； 解分式方程必須要驗根，千萬不要忘了！解分式方程的步驟 ：(1) 能化簡的先化簡；(2)方程兩邊同乘以最簡公分母，化為整式方程；(3)解整式方程；(4)驗根分式方程檢驗方法：將整式方程的解帶入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解。 11.含有字母的分式方程的解法： 在數(shù)學(xué)式子的字母不僅可以表示未知數(shù)，也可以表示已知數(shù)，含有字母已知數(shù)的分式方程的解法，也是去分母， 解整式方程，檢驗這三個步驟，需要注意的是要找準(zhǔn)哪個字母表示未知數(shù)，哪個字母表示未知數(shù)，還要注意題目的 限制條件。計算結(jié)果是用已知數(shù)表示未知數(shù)，不要混淆。 12.列分式方程解應(yīng)用題的步驟是： (1)審：審清題意；(2)找: 找出相等關(guān)系；(3)設(shè)：設(shè)未知數(shù)；(4)列：列出分式方程；(5)解：解這個分式方程；(6)驗：既要檢驗根是否是所列分式方程的解，又要檢驗根是否符合題意；(7)答：寫出答案。應(yīng)用題有幾種類型；基本公式是什么？基本上有五種： (1)行程問題 基本公式：路程=速度時間 而行程問題中又分相遇問題、追及問題 (2)數(shù)字問題：在數(shù)字問題中要掌握十進(jìn)制數(shù)的表示法(3)工程問題 基本公式：工作量=工時工效 (4)順?biāo)嫠畣栴} v順?biāo)?v靜水+v水 v逆水=v靜水-v