北師大版必修一 函數(shù)的單調(diào)性(一) 學(xué)案.docVIP

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性等概念.2.會(huì)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性.3.會(huì)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性思考畫(huà)出函數(shù)f(x)x、f(x)x2的圖像，并指出f(x)x、f(x)x2的圖像的升降情況如何？梳理單調(diào)性是相對(duì)于區(qū)間來(lái)說(shuō)的，函數(shù)圖像在某區(qū)間上上升，則函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)反之則為減函數(shù)很多時(shí)候我們不知道函數(shù)圖像是什么樣的，而且用上升下降來(lái)刻畫(huà)單調(diào)性很粗糙所以有以下定義：一般地，在函數(shù)yf(x)的定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間a上，如果對(duì)于任意兩數(shù)x1，x2a，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么，就稱(chēng)函數(shù)yf(x)在區(qū)間a上是_，有時(shí)也稱(chēng)函數(shù)yf(x)在區(qū)間a上是_在函數(shù)yf(x)的定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間a上，如果對(duì)于任意兩數(shù)x1，x2a，當(dāng)x1f(x2)，那么，就稱(chēng)函數(shù)yf(x)在區(qū)間a上是_，有時(shí)也稱(chēng)函數(shù)yf(x)在區(qū)間a上是_如果函數(shù)yf(x)在定義域的某個(gè)子集上是增加的或是減少的，就稱(chēng)函數(shù)yf(x)在該子集上具有單調(diào)性；如果函數(shù)yf(x)在整個(gè)定義域內(nèi)是增加的或是減少的，我們分別稱(chēng)這個(gè)函數(shù)是增函數(shù)或減函數(shù)，統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的單調(diào)區(qū)間思考我們已經(jīng)知道f(x)x2在(，0 上是減少的，f(x)在區(qū)間(，0)上是減少的，這兩個(gè)區(qū)間能不能交換？梳理一般地，有下列常識(shí)：(1)函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，單獨(dú)一點(diǎn)不存在單調(diào)性問(wèn)題，所以單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)若屬于定義域，則該點(diǎn)處區(qū)間可開(kāi)可閉，若區(qū)間端點(diǎn)不屬于定義域則只能開(kāi)(2)單調(diào)區(qū)間d定義域i.(3)遵循最簡(jiǎn)原則，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大類(lèi)型一求單調(diào)區(qū)間并判斷單調(diào)性例1如圖是定義在區(qū)間5,5 上的函數(shù)yf(x)，根據(jù)圖像說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增加的還是減少的？反思與感悟函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集；當(dāng)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)以上單調(diào)區(qū)間時(shí)，單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開(kāi)，不能用“”，可以用“和”來(lái)表示；在單調(diào)區(qū)間d上函數(shù)要么是增加的，要么是減少的，不能二者兼有跟蹤訓(xùn)練1寫(xiě)出函數(shù)y|x22x3|的單調(diào)區(qū)間，并指出單調(diào)性類(lèi)型二證明單調(diào)性例2證明f(x)在其定義域上是增函數(shù)反思與感悟運(yùn)用定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)給定的區(qū)間上任意取x1，x2且x10時(shí)，f(x)1.求證：函數(shù)f(x)在r上是增函數(shù)反思與感悟因?yàn)槌橄蠛瘮?shù)不知道解析式，所以不能代入求f(x1)f(x2)，但可以借助題目提供的函數(shù)性質(zhì)來(lái)確定f(x1)f(x2)的大小，這時(shí)就需要根據(jù)解題需要對(duì)抽象函數(shù)進(jìn)行賦值跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)的定義域是r，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n，恒有f(mn)f(m)f(n)，且當(dāng)x0時(shí)，0f(x)1.求證：f(x)在r上是減函數(shù)類(lèi)型三單調(diào)性的應(yīng)用例4若函數(shù)f(x)是定義在r上的減函數(shù)，則a的取值范圍為()a，)b(0，)c，)d(， ，)反思與感悟分段函數(shù)在定義域上單調(diào)，除了要保證各段上單調(diào)外，還要接口處不能反超另外，函數(shù)在單調(diào)區(qū)間上的圖像不一定是連續(xù)不斷的跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)x22ax3在區(qū)間1,2 上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)例5已知yf(x)在定義域(1,1)上是減函數(shù)，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范圍反思與感悟若已知函數(shù)f(x)的單調(diào)性，則由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大?。挥蒮(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小跟蹤訓(xùn)練5在例5中若函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)閞，且為增函數(shù)，f(1a)f(2a1)，則a的取值范圍又是什么？1函數(shù)yf(x)在區(qū)間2,2 上的圖像如圖所示，則此函數(shù)的增區(qū)間是()a2,0 b0,1 c2,1 d1,1 2函數(shù)y的減區(qū)間是()a0，) b(，0 c(，0)，(0，) d(，0)(0，)3在下列函數(shù)f(x)中，滿(mǎn)足對(duì)任意x1，x2(0，)，當(dāng)x1f(x2)的是()af(x)x2 bf(x)cf(x)|x| df(x)2x14已知函數(shù)yf(x)滿(mǎn)足：f(2)f(1)，f(1)f(1)，則x的取值范圍是()ax1c1x1 dx11若f(x)的定義域?yàn)閐，ad，bd，f(x)在a和b上都遞減，未必有f(x)在ab上遞減2對(duì)增函數(shù)的判斷，對(duì)任意x1x2，都有f(x1)0或0.對(duì)減函數(shù)的判斷，對(duì)任意x1f(x2)，相應(yīng)地也可用一個(gè)不等式來(lái)替代：(x1x2)f(x1)f(x2) 0或0.3熟悉常見(jiàn)的一些單調(diào)性結(jié)論，包括一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)等4若f(x)，g(x)都是增函數(shù)，h(x)是減函數(shù)，則：在定義域的交集(非空)上，f(x)g(x)遞增，f(x)h(x)遞增，f(x)遞減，遞減(f(x)0)5對(duì)于函數(shù)值恒正(或恒負(fù))的函數(shù)f(x)，證明單調(diào)性時(shí)，也可以作商與1比較答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考兩函數(shù)的圖像如下：函數(shù)f(x)x的圖像由左到右是上升的；函數(shù)f(x)x2的圖像在y軸左側(cè)是下降的，在y軸右側(cè)是上升的梳理增加的遞增的減少的遞減的知識(shí)點(diǎn)二思考f(x)x2的減區(qū)間可以寫(xiě)成(，0)，而f(x)的減區(qū)間(，0)不能寫(xiě)成(，0 ，因?yàn)?不屬于f(x)的定義域題型探究例1解yf(x)的單調(diào)區(qū)間有5，2 ，2,1 ，1,3 ，3,5 ，其中yf(x)在區(qū)間5，2 ，1,3 上是減少的，在區(qū)間2,1 ，3,5 上是增加的跟蹤訓(xùn)練1解先畫(huà)出f(x)的圖像，如圖所以y|x22x3|的單調(diào)區(qū)間有(，1 ，1,1 ，1,3 ，3，)，其中遞減區(qū)間是(，1 ，1,3 ；遞增區(qū)間是1,1 ，3，)例2證明f(x)的定義域?yàn)?，)設(shè)x1，x2是定義域0，)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1x2，則f(x1)f(x2).0x1x2，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在定義域0，)上是增函數(shù)跟蹤訓(xùn)練2證明設(shè)x1，x2是實(shí)數(shù)集r上的任意實(shí)數(shù)，且1x1x2，則f(x1)f(x2)x1(x2)(x1x2)()(x1x2)(x1x2)(1)(x1x2)()1x1x2，x1x20,10，故(x1x2)()0，即f(x1)f(x2)0，即f(x1)x2.令xyx1，yx2，則xx1x20.f(x1)f(x2)f(xy)f(y)f(x)f(y)1f(y)f(x)1.x0，f(x)1，f(x)10，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函數(shù)f(x)在r上是增函數(shù)方法二設(shè)x1x2，則x1x20，從而f(x1x2)1，即f(x1x2)10.f(x1)fx2(x1x2) f(x2)f(x1x2)1f(x2)，故f(x)在r上是增函數(shù)跟蹤訓(xùn)練3證明對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n，恒有f(mn)f(m)f(n)，令m1，n0，可得f(1)f(1)f(0)，當(dāng)x0時(shí)，0f(x)1，f(1)0，f(0)1.令mx0，nx0，則f(mn)f(0)f(x)f(x)1，f(x)f(x)1，又x0時(shí)，0f(x)1，f(x)1.對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f(x)恒大于0.設(shè)任意x10，0f(x2x1)1，f(x2)f(x1)f(x2x1)x1 f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)1 0，f(x)在r上是減少的例4a要使f(x)在r上是減函數(shù)，需滿(mǎn)足：解得a. 跟蹤訓(xùn)練4a1或a2解析由于二次函數(shù)開(kāi)口向上，故其增區(qū)間為a，