北師大版選修21 3.4.1 曲線和方程 教案 .doc

3.4.1曲線和方程知識(shí)與技能目標(biāo)（1） 了解曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2） 初步領(lǐng)會(huì)“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；（3） 學(xué)會(huì)根據(jù)已有的情景資料找規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生分析、判斷、歸納的邏輯思維能力與抽象思維能力，同時(shí)強(qiáng)化“形”與“數(shù)”一致并相互轉(zhuǎn)化的思想方法。過(guò)程與方法目標(biāo)（1）通過(guò)直線方程的復(fù)習(xí)引入，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)方程的解和曲線上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的直觀認(rèn)識(shí)；（2）在形成曲線和方程概念的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷觀察，分析，討論等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，探索出結(jié)論并能有條理的闡述自己的觀點(diǎn)；（3）能用所學(xué)知識(shí)理解新的概念，并能運(yùn)用概念解決實(shí)際問(wèn)題，從中體會(huì)轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，提高思維品質(zhì)，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。情感與態(tài)度目標(biāo)（1）通過(guò)概念的復(fù)習(xí)引入，從特殊到一般，讓學(xué)生感受事物的發(fā)展規(guī)律；（2）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠體驗(yàn)幾何問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題來(lái)研究，真正認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具； （3）學(xué)生通過(guò)觀察、分析、推斷可以獲得數(shù)學(xué)猜想，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿(mǎn)著探索性和創(chuàng)造性。教學(xué)重點(diǎn)：“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念。教學(xué)難點(diǎn)：怎樣利用定義驗(yàn)證曲線是方程的曲線、方程是曲線的方程。教學(xué)過(guò)程：一、創(chuàng)設(shè)情境，新課引入：在本節(jié)課之前，我們研究過(guò)直線的各種方程，建立了二元一次方程與直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可以用一個(gè)二元一次方程來(lái)表示，同時(shí)任何一個(gè)二元一次方程也表示著一條直線。二、師生互動(dòng)，新課講解： + +k 例1：作出方程表示的直線借助多媒體讓學(xué)生再一次從直觀上深刻體會(huì)：必須同時(shí)滿(mǎn)足（1）直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解和（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是直線上的點(diǎn)，即方程的解的集合與直線上所有點(diǎn)的集合之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么直線（圖形） 方程（數(shù)量）。變式訓(xùn)練1：作出函數(shù)y=x2的圖象類(lèi)比方程與如圖所示的拋物線。這條拋物線是否與這個(gè)二元方程 也能建立這種對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？ （按照例1的分析方式的得出答案是肯定的.）?推廣：那么對(duì)任意的曲線和二元方程是否都能建立這種等價(jià)關(guān)系呢？這就是今天這節(jié)課的內(nèi)容：曲線和方程。（板書(shū)課題） 現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們思考這樣的問(wèn)題：方程的解與曲線c上的點(diǎn)的坐標(biāo)具備怎樣的關(guān)系，就能用方程表示曲線c，同時(shí)曲線c也表示著方程,為什么要具備這些條件？ . .x.x.k 學(xué) 。x。x。k剛才的討論中，有的同學(xué)提到了應(yīng)具備關(guān)系：“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”；有的同學(xué)提到了應(yīng)具備關(guān)系“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)”；還有的同學(xué)雖用了不同的提法，但意思不外乎這兩個(gè)?，F(xiàn)在的問(wèn)題是：上述的兩種提法一樣嗎？它們反映的是不是同一個(gè)事實(shí)？有何區(qū)別？究竟用怎樣的關(guān)系才能把例1中曲線和方程的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系完整的表達(dá)出來(lái)？為了弄清這些問(wèn)題，我們來(lái)研究下列例題。（說(shuō)明：在討論中，學(xué)生會(huì)有各種不同的意見(jiàn)，教師應(yīng)予鼓勵(lì)，并隨時(shí)補(bǔ)正糾錯(cuò)，但不要急著把兩個(gè)關(guān)系并列起來(lái)拋出定義，中斷學(xué)生的探索性思維，而是再提出問(wèn)題，深入探索。）例2：用下列方程表示如圖所示的曲線c，對(duì)嗎？為什么？（1）（2）（3） 說(shuō)明：方程（1），（2），（3）都不是表示曲線c的方程。第（1）題中曲線c上的點(diǎn)不全是方程的解。例如點(diǎn)，等，即不符合“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”這一結(jié)論；第（2）題中，盡管“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”，但是以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)卻不全在曲線c上。例如、等，即不符合“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”這一結(jié)論；第（3）題中，則既有以方程的解坐標(biāo)的點(diǎn)，如、等不在曲線c上，又有曲線c上的點(diǎn)，如、等的坐標(biāo)不是方程的解。事實(shí)上，（1）、（2）、（3）中各方程所表示的曲線應(yīng)該是如圖所示的三種情況。 學(xué) (1) (2) (3)上面我們既觀察、分析了完整地用方程表示曲線，用曲線表示方程的例1；又觀察、分析了例2中所出現(xiàn)的方程與曲線間所建立的不完整的對(duì)立關(guān)系。假如我們把例1這種能完整地表示曲線的方程稱(chēng)為“曲線的方程”的話(huà)，我們完全有條件自己給“曲線的方程”下個(gè)定義了。在下定義時(shí)，針對(duì)例2（1）中“曲線上混有其坐標(biāo)不是方程的解的點(diǎn)”，以及（2）中“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在曲線上”的情況，對(duì)“曲線的方程”應(yīng)作何規(guī)定？為了不使曲線上混有其坐標(biāo)不是方程的解的點(diǎn)，必須規(guī)定“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”；為了防止以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在曲線上，必須規(guī)定“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)” 這樣我們可以對(duì)“曲線的方程”、“方程的曲線”下這樣的定義：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線c上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：（1） 曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；（2） 以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。大家熟知，曲線可以看作是由點(diǎn)組成的集合，記作c；一個(gè)二元方程的解可以作為點(diǎn)的坐標(biāo)，因此二元方程的解集也描述了一個(gè)點(diǎn)集，記作f。請(qǐng)大家思考：如何用集合c和f間的關(guān)系來(lái)表述“曲線的方程”和“方程的曲線”定義中的兩個(gè)關(guān)系？進(jìn)而重新認(rèn)識(shí)“曲線的方程”和“方程的曲線”定義。關(guān)系（1）指點(diǎn)集c是點(diǎn)集f的子集；關(guān)系（2）指點(diǎn)集f是點(diǎn)集c的子集。這樣，根據(jù)集合的性質(zhì)，我們可以用集合相等的概念來(lái)定義“曲線的方程”和“方程的曲線”，即 =。例3：下列各題中，圖所示的曲線c的方程為所列方程，對(duì)嗎？如果不對(duì)，是不符合關(guān)系（1）還是關(guān)系（2）？ 學(xué) 曲線c為的中線 曲線c是到坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)組成的直線方程 方程曲線c是過(guò)點(diǎn)（4，1）的反比例函數(shù)圖象 方程解：（1）錯(cuò)。不符合定義中的（2），即; （2）錯(cuò)。不符合定義中的（1），即; （3）錯(cuò)。不符合定義中的（1）和（2），即;例4：解答下列問(wèn)題，并說(shuō)出各依據(jù)了曲線的方程和方程的曲線定義中的哪一個(gè)關(guān)系？（1） 點(diǎn)是否在方程為的圓上？（2） 已知方程為的圓過(guò)點(diǎn)，求的值。解：依據(jù)關(guān)系（2），可知點(diǎn)在圓上；依據(jù)關(guān)系（1），可知點(diǎn)不在圓上；依據(jù)關(guān)系（2），求得； 例5：證明以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑等于5的圓的方程是。（說(shuō)明：課本上原有例題：證明圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑等于5的圓的方程是，并判斷點(diǎn)。處理時(shí)將有些要求分散到了例3與例4中，例5的要求集中在“證明”上。這樣安排的意圖是先集中注意力于概念的領(lǐng)會(huì)上，對(duì)證明過(guò)程中在表述上遇到的一些困難，留在這里解決，層層深入。）與剛才判定時(shí)一樣，證明也要緊扣定義分兩步進(jìn)行；關(guān)系（1）、（2）中，“點(diǎn)”與“解”指的都是有關(guān)集合中的全體元素，我們只要用表示“任意一個(gè)”，以此代表“全體”即可，這種方法為數(shù)學(xué)證明中常用。證明：（略）三：鞏固反思：本節(jié)課我們通過(guò)對(duì)實(shí)例的研究，掌握了“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義，在領(lǐng)會(huì)定義時(shí)，要牢記關(guān)系（1）、（2）兩者缺一不可，它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件，兩者都滿(mǎn)足了，“曲線的方程”和“方程的曲線”才具備充分性。即：如果曲線c的方程是，那么點(diǎn) 在曲線c上的充要條件是。曲線和方程之間一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的確立，