江蘇省口岸中學(xué)2017屆二輪復(fù)習(xí)小專題立體幾何中的“內(nèi)切”與“外接”問題的探究.doc

江蘇省口岸中學(xué)2017屆二輪復(fù)習(xí)小專題立體幾何中的“內(nèi)切”與“外接”問題的探究1 球與柱體規(guī)則的柱體，如正方體、長(zhǎng)方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過(guò)球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.1.1 球與正方體如圖1所示，正方體,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，為棱的中點(diǎn)，為球的球心。常見組合方式有三類：一是球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，截面圖為正方形和其內(nèi)切圓，則；二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形和其外接圓，則；三是球?yàn)檎襟w的外接球，截面圖為長(zhǎng)方形和其外接圓，則.通過(guò)這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面，通過(guò)兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題 。例 1 棱長(zhǎng)為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線被球截得的線段長(zhǎng)為（ ）A B CD1.2 球與長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體各頂點(diǎn)可在一個(gè)球面上，故長(zhǎng)方體存在外切球.但是不一定存在內(nèi)切球.設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為其體對(duì)角線為.當(dāng)球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球時(shí)，截面圖為長(zhǎng)方體的對(duì)角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑例 2 在長(zhǎng)、寬、高分別為2，2，4的長(zhǎng)方體內(nèi)有一個(gè)半徑為1的球，任意擺動(dòng)此長(zhǎng)方體，則球經(jīng)過(guò)的空間部分的體積為( ) A.B.4C.D. 1.3 球與正棱柱球與一般的正棱柱的組合體，常以外接形態(tài)居多。下面以正三棱柱為例，介紹本類題目的解法構(gòu)造直角三角形法。設(shè)正三棱柱的高為，底面邊長(zhǎng)為，如圖2所示，和分別為上下底面的中心。根據(jù)幾何體的特點(diǎn)，球心必落在高的中點(diǎn)，借助直角三角形的勾股定理，可求。例3 正四棱柱的各頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有最 值，為 .2 球與錐體規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過(guò)球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.2.1 球與正四面體正四面體作為一個(gè)規(guī)則的幾何體，它既存在外接球，也存在內(nèi)切球，并且兩心合一，利用這點(diǎn)可順利解決球的半徑與正四面體的棱長(zhǎng)關(guān)系。如圖4，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，內(nèi)切球半徑為，外接球的半徑為，取的中點(diǎn)為，為在底面的射影，連接為正四面體的高。在截面三角形,作一個(gè)與邊和相切，圓心在高上的圓，即為內(nèi)切球的截面。因?yàn)檎拿骟w本身的對(duì)稱性可知，外接球和內(nèi)切球的球心同為。此時(shí)， 則有解得：這個(gè)解法是通過(guò)利用兩心合一的思路，建立含有兩個(gè)球的半徑的等量關(guān)系進(jìn)行求解.同時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)，球心為正四面體高的四等分點(diǎn).如果我們牢記這些數(shù)量關(guān)系，可為解題帶來(lái)極大的方便.例4 將半徑都為的四個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為 ( )A. B. 2+ C. 4+ D. 球的外切正四面體，這個(gè)小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點(diǎn)的距離是中心到地面距離的3倍.2.2 球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐組合問題，主要是體現(xiàn)在球?yàn)槿忮F的外接球.解決的基本方法是補(bǔ)形法，即把三棱柱補(bǔ)形成正方體或者長(zhǎng)方體。常見兩種形式：一是三棱錐的三條棱互相垂直且相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)正方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心。如圖5，三棱錐的外接球的球心和正方體的外接球的球心重合，設(shè)，則。二是如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直且不相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心，（為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)）。例5 在正三棱錐中，分別是棱的中點(diǎn)，且,若側(cè)棱,則正三棱錐外接球的表面積是 。2.3 球與正棱錐球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球?yàn)槿忮F的外接球，此時(shí)三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，根據(jù)截面圖的特點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解.二是球?yàn)檎忮F的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個(gè)面相切，球心到四個(gè)面的距離相等，都為球半徑這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個(gè)小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.例6 在三棱錐PABC中，PAPB=PC=,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60，則該三棱錐外接球的體積為（ ） A B. C. 4D.2.4 球與特殊的棱錐球與一些特殊的棱錐進(jìn)行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補(bǔ)形法、等進(jìn)行求解。例如，四面體都是直角三角形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點(diǎn)幾何特征，巧定球心位置。如圖8，三棱錐,滿足面，取的中點(diǎn)為，由直角三角形的性質(zhì)可得：,所以點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心,則. 例7 矩形中，沿將矩形折成一個(gè)直二面角,則四面體的外接球的體積是( )A. B. C. D.3 球與球?qū)€(gè)多個(gè)小球結(jié)合在一起，組合成復(fù)雜的幾何體問題，要求有豐富的空間想象能力，解決本類問題需掌握恰當(dāng)?shù)奶幚硎侄危鐪?zhǔn)確確定各個(gè)小球的球心的位置關(guān)系，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題求解.例8 在半徑為的球內(nèi)放入大小相等的4個(gè)小球，則小球的半徑的最大值為（）4 球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心的位置為目的，然后通過(guò)構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對(duì)棱的一半：.例8 把一個(gè)皮球放入如圖10所示的由8根長(zhǎng)均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)，則皮球的半徑為（） A. B. C. D. 綜合上面的四種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作截面來(lái)解決.如果外切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過(guò)球心的對(duì)角面來(lái)作；把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的內(nèi)接問題解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑發(fā)揮好空間想象力，借助于數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化，問題即可得解如果是一些特殊的幾何體，如正方體、正四面體等可以借助結(jié)論直接求解,此時(shí)結(jié)論的記憶必須準(zhǔn)確.外接球內(nèi)切球問題1. （陜西理）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（ ）A B C D 答案B2. 直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于 。 解:在中,可得,由正弦定理,可得外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此球的表面積為. 3正三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，若兩點(diǎn)的球面距離為，則正三棱柱的體積為 答案 84.表面積為 的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為A B C D 答案 A【解析】此正八面體是每個(gè)面的邊長(zhǎng)均為的正三角形，所以由知，則此球的直徑為，故選A。5.已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長(zhǎng)等于（ ）A.2 B. C. D. 答案 D6.（山東卷）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為 ( )A. 1 B. 13 C. 13 D. 19 答案 C7.（海南、寧夏理科）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為 答案 ABCPDEF8. （天津理）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1，2，3，則此球的表面積為 答案 9.（全國(guó)理）一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1 cm，那么該棱柱的表面積為 cm2. 答案 10.（遼寧）如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐，則此正六棱錐的側(cè)面積是_ 答案 11.（遼寧省撫順一中）棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是 .答案 12.（棗莊一模）一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（ ）ABCD以上都不對(duì)答案C13.(吉林省吉林市)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則它的外接球的表面積為（ ）A B2 C4D 答案C14（新課標(biāo)理）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上,是邊長(zhǎng)為的正三角形,為球的直徑,且;則此棱錐的體積為（）ABCD15（遼寧文）已知點(diǎn)P,A,B,C,D是球O表面上的點(diǎn),PA平面ABCD,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2正方形.若PA=2,則OAB的面積為_.一選擇題（共2小題）1三棱錐A一BCD的一條棱長(zhǎng)為a，其余棱長(zhǎng)均為l當(dāng)三棱錐ABCD的體枳最大時(shí)，它的外接球的表面積為（）ABCD【分析】由題意畫出三棱錐的圖形，知平面ABC平面BCD時(shí)，三棱錐ABCD的體積最大；求出此時(shí)a的值，設(shè)三棱錐外接圓的球心為O，半徑為R，根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，從而求出外接球的表面積【解答】解：由題意畫出三棱錐的圖形，其中AB=BC=CD=BD=AC=1，AD=a；取BC，AD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，可知AEBC，DEBC，且AEDE=E，BC平面AED，平面ABC平面BCD時(shí)，三棱錐ABCD的體積最大，此時(shí)AD=a=AE=；設(shè)三棱錐外接圓的球心為O，半徑為R，則球心O在線段EF上，OA=OC=R，又EF=，設(shè)OF=xOE=x，R2=+x2=+，解得x=；球的半徑R滿足R2=+=，三棱錐外接球的表面積為4R2=4=故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間想象能力，計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化能力的應(yīng)用問題，是難題2在三棱錐ABCD中，ABC與BCD都是邊長(zhǎng)為6的正三角形，平面ABC平面BCD，則該三棱錐的外接球的體積為（）A5B60C60D20【分析】取AD，BC中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接EF，AF，DF，求出EF，判斷三棱錐的外接球球心O在線段EF上，連接OA，OC，求出半徑，然后求解三棱錐的外接球的體積【解答】解：取AD，BC中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接EF，AF，DF，由題意知AFDF，AF=CF=3，EF=AD=，易知三棱錐的外接球球心O在線段EF上，連接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=DF2+OF2，R2=（）2+OE2，R2=32+（OE）2，R=三棱錐的外接球的體積為R3=20故選：D【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查球的內(nèi)接幾何體的相關(guān)計(jì)算問題，對(duì)考生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想都提出很高要求，本題是一道綜合題，屬于較難題二填空題（共2小題）3如圖，三個(gè)半徑都是10cm的小球放在一個(gè)半球面的碗中，小球的頂端恰好與碗的上沿處于同于水平面，則這個(gè)碗的半徑R是cm【分析】根據(jù)三個(gè)小球和碗的相切關(guān)系，作出對(duì)應(yīng)的正視圖和俯視圖，建立球心和半徑之間的關(guān)系即可得到碗的半徑【解答】解：分別作出空間幾何體的正視圖和俯視圖如圖：則俯視圖中，球心O（也是圓心O）是三個(gè)小球與半圓面的三個(gè)切點(diǎn)的中心，小球的半徑為10cm，三個(gè)球心之間的長(zhǎng)度為20cm，即OA=cm，在正視圖中，球心B，球心O（同時(shí)也是圓心O），和切點(diǎn)A構(gòu)成直角三角形，則OA2+AB2=OB2，其中OB=R10，AB=10，即，即R=10+=cm故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了球的相切問題 的計(jì)算，根據(jù)條件作出正視圖和俯視圖，確定球半徑之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大4已知三棱錐ABCD中，平面ABD平面BCD，BCCD，BC=CD=4，AB=AD=，則三棱錐ABCD的外接球的大圓面積為9【分析】利用已知三棱錐ABCD的特點(diǎn)AB=AC=AD，先確定ABD的外心O，及外接圓的半徑，然后證明O也是三棱錐ABCD的外接球的球心，即可解答【解答】解：如圖取BD的中點(diǎn)E，連接AE，CE則AEBD，CEBD平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，AE平面BCD，又CE平面BCD，AECE設(shè)ABD的外接圓的圓心為O，半徑為rAB=AD，圓心O在AE所在的直線上r2=BE2+OE2=BE2+（rAE）2在RtBCD中，BD=4BE=EC=2在RtABE中，AE=2r2=8+（r2）2，解得r=3OE=1在RtOEC中，OC=3OA=OB=OC=OD=3點(diǎn)O是三棱錐ABCD的外接球的球心，則球半徑R=3大圓面積S=R2=9故答案為：9【點(diǎn)評(píng)】本題考查球內(nèi)接多面體及其度量，考查空間想象能力，計(jì)算能力，解答的關(guān)鍵是確定球心位置，利用已知三棱錐的特點(diǎn)是解決問題關(guān)鍵，屬于難題三解答題（共2小題）5四棱錐PABCD中，ABCD為矩形，AD=2，AB=2，PA=PD，APD=，且平面PAD平面ABCD（1）證明：PAPC；（2）求四棱錐PABCD的外接球的體積【分析】（1）設(shè)AD的中點(diǎn)為E，證明PA平面PCD，即可證明PAPC；（2）連接AC交BD于F，球心O在底面的射影必為點(diǎn)F，取截面PEF，利用勾股定理求出球的半徑，即可求四棱錐PABCD的外接球的體積【解答】證明：（1）設(shè)AD的中點(diǎn)為E，則PA=PD，PEAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PE平面ABCD，PA在平面ABCD內(nèi)的射影為AE，AECD，PACD，PAPD，CDPD=D，PA平面PCDPAPC；解：（2）連接AC交BD于F，球心O在底面的射影必為點(diǎn)F，取截面PEF，PE=，EF=1假設(shè)OF=x，則由OA2=x2+4=1+得x=0，球的半徑為2，四棱錐PABCD的外接球的體積為=【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查四棱錐PABCD的外接球的體積，屬于中檔題6 已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的，求這兩個(gè)圓錐中，體積較小者與體積較大者的高的比值【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形設(shè)出球的半徑，求出球的面