北師大版選修44 1.3柱坐標系和球坐標系 學(xué)案.doc

3柱坐標系和球坐標系1.柱坐標系(1)定義：在平面極坐標系的基礎(chǔ)上，通過極點o，再增加一條與極坐標系所在平面垂直的z軸，這樣就建立了柱坐標系.設(shè)m(x，y，z)為空間一點，并設(shè)點m在xoy平面上的投影點p的極坐標為(r，)，則這樣的三個數(shù)r，z構(gòu)成的有序數(shù)組(r，z)就叫作點m的柱坐標，這里規(guī)定r，z的變化范圍為0r，02，z.特別地，r常數(shù)，表示的是以z軸為軸的圓柱面；常數(shù)，表示的是過z軸的半平面；z常數(shù)，表示的是與xoy平面平行的平面.(2)空間點m的直角坐標(x，y，z)與柱坐標(，z)之間的變換公式為2.球坐標系(1)定義：設(shè)m(x，y，z)為空間一點，點m可用這樣三個有次序的數(shù)r，來確定，其中r為原點o到點m間的距離，為有向線段與z軸正方向所夾的角，為從z軸正半軸看，x軸正半軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到有向線段的角，這里p為點m在xoy平面上的投影.這樣的三個數(shù)r，構(gòu)成的有序數(shù)組(r，)叫作點m的球坐標，這里r，的變化范圍為0r，0，02.特別地，r常數(shù)，表示的是以原點為球心的球面；常數(shù)，表示的是以原點為頂點，z軸為軸的圓錐面；常數(shù)，表示的是過z軸的半平面.(2)空間點p的直角坐標(x，y，z)與球坐標(r，)之間的變換關(guān)系為【思維導(dǎo)圖】【知能要點】1.柱坐標系.2.球坐標系.3.空間點的坐標的確定.題型一柱坐標系柱坐標系又稱半極坐標系，它是由平面極坐標系及空間直角坐標系中的一部分建立起來的.空間任一點p的位置可以用有序數(shù)組(，z)表示，(，)是點p在oxy平面上的射影q的極坐標，z是p在空間直角坐標系中的豎坐標.【例1】 柱坐標滿足方程2的點所構(gòu)成的圖形是什么？解在平面極坐標系中，2表示以極點為圓心，2為半徑的圓.因此，在柱坐標系中，設(shè)oz軸所在的直線為l，則方程2表示以l為軸，且垂直于軸的截面是半徑為2的圓柱面.【反思感悟】 柱坐標滿足2的點可以和平面直角坐標系中滿足x1的點構(gòu)成一條直線，空間直角坐標系中滿足y2的點構(gòu)成的圖形是一個平面結(jié)合考慮.1.將下列各點的柱坐標化為直角坐標.p，q解直接代入互化公式，可得p的直角坐標為(，1，1)，q點的直角坐標為(2，2，3).題型二球坐標系球坐標系又稱空間極坐標系，用空間任意一點p到o的距離r以及兩個角，來刻畫點p的位置.【例2】 經(jīng)過若干個固定和流動的地面遙感觀測站監(jiān)測，并通過數(shù)據(jù)匯總，計算出一個航天器在某一時刻離地面2 384千米的位置，地球半徑為6 371千米，此時經(jīng)度為80，緯度為75.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼?，確定出此時航天器點p的坐標.解在赤道平面上，我們選取地球球心為極點，以o為端點且與零子午線相交的射線ox為極軸，建立平面極坐標系，在此基礎(chǔ)上，取以o為端點且經(jīng)過北極的射線oz(垂直于赤道平面)為另一條極軸，如圖所示建立一個球坐標系.由已知航天器位于經(jīng)度為80，可知80，由航天器位于緯度75，可知，907515，由航天器離地面2 384千米，地球半徑為6 371千米，可知r2 3846 3718 755千米.所以點p的球坐標為(8 755，15，80).【反思感悟】 寫空間任一點的球半徑，就是求該點到點o的距離和方位角、高低角.兩個角可以和地球的經(jīng)緯度相結(jié)合，要搞清它們的聯(lián)系和區(qū)別.2.在赤道平面上，我們選取地球球心o為極點，以o為端點且與零子午線相交的射線ox為極軸，建立坐標系.有a，b兩個城市，它們的球坐標分別為a，b，飛機應(yīng)該走怎樣的航線最快，所走的路程有多遠？解由題意可知面aoo1，面boo1都垂直于兩圓平面，ao1b是兩平面aoo1和boo1的夾角，又a，b，ao1b，aoo1boo1，ao1obo1o，小圓o1的半徑rr，abr，aob，則經(jīng)過a、b兩地的球面距離為r.故飛機經(jīng)過a、b兩地的大圓，航線最短，其路程為r.題型三空間點的坐標1.空間直角坐標系中點的坐標是由橫坐標、縱坐標和豎坐標三度來確定的，即(x，y，z).2.空間點的柱坐標是由平面極坐標系及空間直角坐標系中的豎坐標組成的，即(，z).3.(1)空間點的球坐標是點和原點的連線與x軸正方向所成的角，與z軸的正方向所成的角，以及點到原點的距離r組成的，即(r，).(2)注意球坐標的順序為：到原點的距離r；與z軸正方向所成的角；與x軸正方向所成的角.【例3】 已知長方體abcda1b1c1d1的邊長為ab14，ad6，aa110，以這個長方體的頂點a為坐標原點，以射線ab、ad、aa1分別為ox、oy、oz軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求長方體頂點c1的空間直角坐標，球坐標，柱坐標.分析如圖所示，此題是考查空間直角坐標，球坐標，柱坐標的概念，我們要能借此區(qū)分三個坐標，找到它們的相同和不同來.c1點的(x，y，z)，分別對應(yīng)著cd、bc、cc1，c1點的(，z)分別對應(yīng)著ca、dca、cc1，c1點的(r，)分別對應(yīng)著ac1、a1ac1、bac.解c1點的空間直角坐標為(14，6，10)，c1點的柱坐標為(2，arctan ，10)，c1點的球坐標為.【反思感悟】 注意空間任一點的直角坐標、球坐標和柱坐標的聯(lián)系和區(qū)別，它們都能刻畫點的位置，可以進行互化.3.結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞，圖(1)是食鹽晶胞的示意圖(可看成是八個棱長為的小正方體堆積成的正方體)，圖形中的點代表鈉原子，其他點代表氯原子，如圖(2)所示，建立空間直角坐標系oxyz后，試寫出全部鈉原子所在位置的球坐標，柱坐標.解把圖中的鈉原子分成下、中、上三層來寫它們所在位置的坐標.下層的原子全部在xoy平面上，它們所在位置的豎坐標全是0，所以這五個鈉原子所在位置的球坐標分別為(0，0，0)，它們的柱坐標分別為(0，0，0)，(1，0，0)，；上層的鈉原子所在的平面平行于xoy平面，與z軸交點的豎坐標為1，所以，這五個鈉原子所在位置的球坐標分別為(1，0，0)，它們的柱坐標分別為(0，0，1)，(1，0，1)，.中層的原子所在的平面平行于xoy平面，與z軸交點的豎坐標為，所以，這四個鈉原子所在位置的球坐標分別為，它們的柱坐標分別為，1.一個圓形體育館，自正東方向起，按逆時針方向等分為十六個扇形區(qū)域，順次記為一區(qū)，二區(qū)，十六區(qū)，我們設(shè)圓形體育場第一排與體育中心o的距離為500 m，每相鄰兩排的間距為1 m，每層看臺的高度為0.7 m，現(xiàn)在需要確定第九區(qū)第四排正中的位置a，請建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼?，求出點a的坐標.解以圓形體育場中心o為極點，選取以o為端點且過正東入口的射線ox為極軸，在地平面上建立極坐標系.則點a與體育場中軸線oz的距離為503 m，極軸ox按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，就是oa在地平面上的射影，a距地面的高度為2.8 m，因此我們可以用柱坐標來表示點a的準確位置.所以點a的柱坐標為.2.一只螞蟻在一個母線與軸線夾角為的圓錐面上從頂點出發(fā)盤旋著向上爬行，已知它上升的速度為v0，盤旋的角速度為0，求t時刻螞蟻所在的位置的球坐標.解取圓錐的頂點o為坐標原點，建立球坐標系，設(shè)t時刻螞蟻在點m(r，)處，由題意得t，zvt，由于cos cos ，于是r2z2vt，所以t時刻螞蟻在球坐標系中的位置為m，t0，).3.攤開世界地圖，問初次降臨地球的外星人：臺灣在哪里？阿根廷的formosa(福爾摩沙)省又位于何處(如圖所示)？外星人必然一頭霧水，如果你再給他一組數(shù)據(jù)：經(jīng)度緯度臺灣東經(jīng)121北緯25formosa西經(jīng)59南緯25我們相信，外星人可以找到這兩個可愛的地方臺灣與福爾摩沙.想一想，它們的位置有什么關(guān)聯(lián)？解兩地經(jīng)度差180，緯度相反.故它們位于地球同一直徑的兩個端點上.1.空間點的坐標的確定(1)空間直角坐標系中點的坐標是由橫坐標、縱坐標和豎坐標三度來確定的，即(x，y，z).(2)空間點的柱坐標是由平面極坐標系及空間直角坐標系中的豎坐標組成的，即(，z).(3)空間點的球坐標是點在oxy平面上的射影和原點的連線與x軸正方向所成的角，點和原點的連線與z軸的正方向所成的角，以及點到原點的距離r組成的，即(r，).注意球坐標的順序為：到原點的距離r；與z軸正方向所成的角；與x軸正方向所成的角.2.球坐標的應(yīng)用在球坐標系中，它的三度實際上也是我們所熟悉的，它與前面所學(xué)的球的一些基本知識是有著密切聯(lián)系的.我們得熟悉這部分內(nèi)容.(1)經(jīng)線與經(jīng)度：地球球面上從北極到南極的半個大圓叫做經(jīng)線，規(guī)定以經(jīng)過英國格林尼治天文臺原址的經(jīng)線為0經(jīng)線.一個地方的經(jīng)度是指經(jīng)過當(dāng)?shù)亟?jīng)線的所在半平面和0經(jīng)線所在半平面之間的夾角的度數(shù)，以0經(jīng)線為基準，向東度量的為東經(jīng)，向西度量的為西經(jīng).如東經(jīng)30，西經(jīng)60等.(2)緯線與緯度：與地軸(通過北極和南極的直線)垂直的平面截地球球面所得的圓叫做緯線(緯線圈)，其中的大圓叫做赤道.一個地方的緯度是指當(dāng)?shù)嘏c球心的連線和地球赤道平面之間所成的角的度數(shù)，赤道為0緯線；以赤道為基準，向北度量為北緯，向南度量為南緯.如北緯25，南緯23.5.與球坐標比較，點p(r，)中的r是到球心的距離，與緯度是互余的；與經(jīng)度是相關(guān)的，若建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼?，就是?jīng)度.【規(guī)律方法總結(jié)】1.根據(jù)圖形的特征，可以選擇不同的坐標系來確定點的位置.2.點的直角坐標、柱坐標、球坐標可以相互轉(zhuǎn)化.3.利用柱坐標系、球坐標系解決空間點的位置時，對于含角度的比較方便.一、選擇題1.已知點p的柱坐標為，點b的球坐標為，則這兩個點在空間直角坐標系中的點的坐標為()a.p點(5，1，1)，b點b.p點(1，1，5)，b點c.p點，b點(1，1，5)d.p點(1，1，5)，b點解析設(shè)p點的直角坐標為(x，y，z)，xcos 1，ysin 1，z5.設(shè)b點的直角坐標為(x，y，z)，xsin cos ，ysin sin ，zcos .所以，點p的直角坐標為(1，1，5)，點b的直角坐標為.答案b2.設(shè)點m的直角坐標為(1，3)，則它的柱坐標是()a. b. c. d.解析 2，z3.m的柱坐標為.答案c3.設(shè)點m的直角坐標為(1，1，)，則它的球坐標為()a. b.c. d.解析由變換公式r2，cos ，.tan 1，.m的球坐標為.答案b4.點m的球坐標為則它的直角坐標為()a.(6，2，4) b.(6，2，4)c.(6，2，4) d.(6，2，4)解析由x8sin cos 6，y8sin sin 2，z8cos 4，得點m的直角坐標為(6，2，4).答案a5.點p的柱坐標為，則點p到原點的距離為()a. b.2c.4 d.8解析x8cos4，y8sin4，柱坐標化為直角坐標為(4，4，2)，|op|2.答案b二、填空題6.在球坐標系中a和b的距離為_.解析把a、b兩點的球坐標化為直角坐標為a，b.|ab|2.答案27.在空間的柱坐標系中，方程2表示_.解析在極坐標系中，2表示圓心在極點半徑為2的圓.在柱坐標系中方程2表示以z軸為中軸線的，半徑為2的圓柱面.答案以z軸為中軸線的，半徑為2的圓柱面8.已知點m的球坐標為，點n的球坐標為，則m、n兩點間的距離為_.解析x4sincos42，y4sinsin42，z4cos42，點m的直角坐標為(2，2，2).同理點n的直角坐標為(2，2，2)，|mn|4.答案49.在球坐標系中，方程r1表示_，方程表示空間的_.解析r1表示球心在原點半徑為1的球面，表示頂點在原點，母線與z軸夾角為的圓錐面.答案球心在原點，半徑為1的球面頂點在原點，軸截面夾角為的圓錐面三、解答題10.如圖所示，在長方體oabcdabc中，|oa|3，|oc|5，|od|3，ac與bd相交于點p，分別寫出點c、b、p的柱坐標.解c點的、分別為|oc|及coa.b點的為|ob|；boa，而tanboa，所以boaarctan .p點的、分別為oe、aoe，|oe|ob|，aoeaob.各點的柱坐標為c，b，p.11.用兩平行面去截球，如圖，在兩個截面圓上有兩個點，它們的球坐標分別為a、b，求出這兩個截面間的距離.解在oo1a中，由球坐標知aoo1，|oa|8，|oo1|8cos aoo184，同理在oo2b中，|ob|8，o2ob，oo24，o1o28