蘇教版選修22 2.2.2間接證明 學案.docx

2.2.2間接證明學習目標1.了解反證法是間接證明的一種基本方法.2.理解反證法的思考過程，會用反證法證明數(shù)學問題知識點一間接證明思考閱讀下列證明過程，若a2b2c2，則a，b，c不可能都是奇數(shù)證明：假設a，b，c都是奇數(shù)，則a2，b2，c2都是奇數(shù)，a2b2為偶數(shù)，a2b2c2，這與已知矛盾a，b，c不可能都是奇數(shù)請問上述證法是直接證明嗎？為什么？答案不是直接證明，因為這種證明既不是直接從條件出發(fā)，也不是從結論出發(fā)梳理間接證明不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立，像這種不是直接證明的方法通常稱為間接證明反證法就是一種常用的間接證明方法間接證明還有同一法、枚舉法等知識點二反證法王戎小時候，愛和小朋友在路上玩耍一天，他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨有王戎沒動，等到小朋友們摘了李子一嘗，原來是苦的！他們都問王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結滿了李子，所以李子一定是苦的”思考1本故事中王戎運用了什么論證思想？答案運用了反證法思想思考2反證法解題的實質是什么？答案否定結論，導出矛盾，從而證明原結論正確梳理(1)反證法證明過程反證法證明時，要從否定結論開始，經(jīng)過正確的推理，導致邏輯矛盾，從而達到新的否定(即肯定原命題)，用反證法證明命題“若p則q”的過程可以用下圖表示：(2)反證法證明命題的步驟反設假設命題的結論不成立，即假定原結論的反面為真歸謬從反設和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結果存真由矛盾結果，斷定反設不真，從而肯定原結論成立類型一用反證法證明否定性命題例1設an是公比為q的等比數(shù)列設q1，證明：數(shù)列an1不是等比數(shù)列證明假設an1是等比數(shù)列，則對任意的kn*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，即aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，這與已知矛盾假設不成立，故an1不是等比數(shù)列反思與感悟(1)用反證法證明否定性命題的適用類型：結論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法(2)用反證法證明數(shù)學命題的步驟跟蹤訓練1已知三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列但不成等差數(shù)列求證：，不成等差數(shù)列證明假設，成等差數(shù)列，則2，4bac2.a，b，c成等比數(shù)列，b2ac，由得b，代入式，得ac2()20，ac，從而abc.這與已知a，b，c不成等差數(shù)列相矛盾，假設不成立故，不成等差數(shù)列類型二用反證法證明“至多、至少”類問題例2a，b，c(0,2)，求證：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.證明假設(2a)b，(2b)c，(2c)a都大于1.因為a，b，c(0,2)，所以2a0,2b0,2c0.所以1.同理，1，1.三式相加，得3，即33，矛盾所以(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.引申探究已知a，b，c(0,1)，求證：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.證明假設(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于.a，b，c都是小于1的正數(shù)，1a,1b,1c都是正數(shù).同理，.三式相加，得，即，顯然不成立(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.反思與感悟應用反證法常見的“結論詞”與“反設詞”當命題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語時，直接證明不易入手且討論較復雜這時，可用反證法證明，證明時常見的“結論詞”與“反設詞”如下：結論詞反設詞結論詞反設詞至少有一個一個也沒有對所有x成立存在某個x0不成立至多有一個至少有兩個對任意x不成立存在某個x0成立至少有n個至多有n1個p或q綈p且綈q至多有n個至少有n1個p且q綈p或綈q跟蹤訓練2已知a，b，c，dr，且abcd1，acbd1.求證：a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)證明假設a，b，c，d都不是負數(shù)，即a0，b0，c0，d0.abcd1，b1a0，d1c0，acbdac(1a)(1c)2ac(ac)1(aca)(acc)1a(c1)c(a1)1.a(c1)0，c(a1)0，a(c1)c(a1)11，即acbd1，與acbd1相矛盾，假設不成立，a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)類型三用反證法證明惟一性命題例3求證：方程2x3有且只有一個根證明2x3，xlog23.這說明方程2x3有根下面用反證法證明方程2x3的根是惟一的假設方程2x3至少有兩個根b1，b2(b1b2)，則3,3，兩式相除得1，b1b20，則b1b2，這與b1b2矛盾假設不成立，從而原命題得證反思與感悟用反證法證明惟一性命題的一般思路：證明“有且只有一個”的問題，需要證明兩個命題，即存在性和惟一性當證明結論以“有且只有”“只有一個”“惟一存在”等形式出現(xiàn)的命題時，可先證“存在性”，由于假設“惟一性”結論不成立易導出矛盾，因此可用反證法證其惟一性跟蹤訓練3若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，求證：方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有一個實根證明假設方程f(x)0在區(qū)間a，b上至少有兩個實根，設、為其中的兩個實根因為 ，不妨設，又因為函數(shù)f(x)在a，b上是增函數(shù)，所以f()f()這與假設f()0f()矛盾，所以方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有一個實根1證明“在abc中至多有一個直角或鈍角”，第一步的假設應是_答案三角形中至少有兩個直角或鈍角2用反證法證明“在三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60”，應先假設這個三角形中_答案每一個內(nèi)角都小于603“ab4用反證法證明“在同一平面內(nèi)，若ac，bc，則ab”時，應假設_答案a與b相交5求證：過一點只有一條直線與已知平面垂直已知：平面和一點p.求證：過點p與垂直的直線只有一條證明如圖所示，不論點p在內(nèi)還是在外，設pa，垂足為a(或p)假設過點p不止有一條直線與垂直，如還有另一條直線pb，設pa，pb確定的平面為，且a，于是在平面內(nèi)過點p有兩條直線pa，pb垂直于a，這與過一點有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾，假設不成立，原命題成立用反證法證題需把握三點(1)必須先否定結論，對于結論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不全面的(2)反證法必須從否定結論進行推理，且必須根據(jù)這一條件進行論證，否則，僅否定結論，不從結論的反面出發(fā)進行論證，就不是反證法(3)反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以與已知矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾，但推導出的矛盾必須是明顯的課時作業(yè)一、填空題1反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以是下列敘述中的某些情況，則敘述正確的序號是_與已知條件矛盾；與假設矛盾；與定義、公理、定理矛盾；與事實矛盾答案2命題“a，b是實數(shù)，若|a1|b1|0，則ab1”用反證法證明時應假設為_答案a1或b1解析“ab1”是“a1且b1”，又“p且q”的否定為“綈p或綈q”，所以“ab1”的否定為“a1或b1”3有下列敘述：“ab”的反面是“ay或xy”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”；“三角形最多有一個鈍角”的反面是“三角形沒有鈍角”其中正確敘述的序號為_答案解析錯，應為ab；對；錯，應為三角形的外心在三角形內(nèi)或在三角形的邊上；錯，應為三角形有2個或2個以上的鈍角4已知平面平面直線a，直線ba，直線c，baa，ca，求證：b與c是異面直線，若利用反證法證明，則應假設_答案b與c共面解析“異面”的否定為“共面”5(1)已知p3q32，證明：pq2.用反證法證明時，可假設pq2；(2)若a，br，|a|b|2，故(1)中的假設錯誤；對于(2)，其假設正確6“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”的否定應是_.答案存在一個三角形，其外角最多有一個鈍角解析“任何三角形”的否定是“存在一個三角形”，“至少有兩個”的否定是“最多有一個”7用反證法證明命題“若x2(ab)xab0，則xa且xb”時，應假設_答案xa或xb8設a，b，c都是正數(shù)，則三個數(shù)a，b，c不能都_于2.(填“大”或“小”)答案小解析假設a2，b2，c2，則(a)(b)(c)2；a2b22.其中能推出“a，b中至少有一個大于1”的條件是_(填序號)答案10某珠寶店丟了一件珍貴珠寶，以下四人中只有一人說真話，只有一人偷了珠寶甲：我沒有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；?。何覜]有偷根據(jù)以上條件，可以判斷偷珠寶的人是_答案甲解析假如甲：我沒有偷是真的，則乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；丁：我沒有偷就是真的，與他們四人中有一人說真話矛盾假如甲：我沒有偷是假的，則?。何覜]有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立可以判斷偷珠寶的人是甲11用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟：abc9090c180，這與三角形內(nèi)角和為180矛盾，故假設錯誤；所以一個三角形不能有兩個直角；假設abc中有兩個直角，不妨設a90，b90.上述步驟的正確順序為_(填序號)答案二、解答題12若a，b，c均為實數(shù)，且ax22y，by22z，cz22x.求證a，b，c中至少有一個是大于0的證明假設a，b，c都不大于0，則a0，b0，c0，abc0，而abc(x22y)(y22z)(z22x)(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23，abc0.這與abc0矛盾，假設不成立，故a，b，c中至少有一個是大于0的13已知f(x)ax(a1)，求證：方程f(x)0沒有負數(shù)根證明假設x0是f(x)0的負數(shù)根，則x00且x01，且ax0，0ax01，01，解得x02，這與x00矛盾，故方程f(x)0沒有負數(shù)根三、探究與拓展14若下列兩個方程x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(，21，)解析若兩方程均無實根，則1(a1)24a2(3a1)(a1)0，a.2(2a)28a4a(a2)0，2a0，故2a1.若兩個方程至少有一個方程有實根，則a