蘇教版選修21 3.2.3　空間的角的計算 學案1.doc

3.2.3空間的角的計算學習目標重點、難點1能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角問題2能運用向量法求各種距離3體會空間向量解決立體幾何問題的三步曲.重點：1向量法求空間角的大??；2向量法求點到面的距離難點：1空間角與向量的應(yīng)用；2轉(zhuǎn)化思想在各種距離求法中的應(yīng)用.1兩條異面直線所成的角(1)范圍：兩異面直線所成的角的取值范圍是_(2)向量求法：設(shè)直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為，則有cos |cosa，b|_.預(yù)習交流1(1)兩條異面直線所成的角就是它們的方向向量的夾角嗎？(2)已知直線l1的一個方向向量為a(1，2,1)，直線l2的一個方向向量為b(2，2,0)，則兩直線所夾角的余弦值為_2直線與平面所成的角(1)范圍：直線和平面所成角的取值范圍是_(2)向量求法：設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為，a與u的夾角為，則有sin _.預(yù)習交流2直線與平面所成的角和直線方向向量與平面法向量的夾角有什么關(guān)系？3二面角(1)二面角的取值范圍是_(2)二面角的向量求法：若ab，cd分別是二面角l的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的平面角的大小就是_(如圖甲)設(shè)n1，n2分別是二面角l的兩個面，的法向量，則向量n1與n2的_的大小就是二面角的平面角的大小(如圖乙丙)預(yù)習交流3二面角l的平面角為，平面，的法向量分別為n1，n2，如何去掉|cos |中的絕對值號？4利用空間向量求空間距離(1)利用可以求空間中有向線段的長度(2)點面距離的求法已知ab為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則b到平面的距離為|=|cos，n|=_.預(yù)習交流4已知平面的一個法向量n(2，2,1)，點a(1，3,0)在內(nèi)，則p(2,1,4)到的距離為_在預(yù)習中，還有哪些問題需要你在聽課時加以關(guān)注？請在下列表格中做個備忘吧！我的學困點我的學疑點一、求異面直線所成的角如圖所示，已知abca1b1c1是直三棱柱，acb=90，點d1，f1分別是a1b1，a1c1的中點，bc=ca=cc1，求bd1與af1所成的角的余弦值思路分析：建立空間直角坐標系，求與的夾角已知a(0,1,1)，b(2，1,0)，c(3,5,7)，d(1,2,4)，則直線ab和直線cd所成角的余弦值為_利用空間向量求兩條異面直線所成的角，可以避免復(fù)雜的幾何作圖和論證過程，只需通過相應(yīng)的向量運算即可，但應(yīng)注意：用向量法求兩條異面直線所成的角是通過兩條直線的方向向量的夾角來求解的，而兩條異面直線所成角的取值范圍是，兩向量的夾角的取值范圍是0，所以要注意二者的聯(lián)系與區(qū)別，應(yīng)有cos |cos |.二、求直線與平面所成的角棱長為2的正方體abcda1b1c1d1中，e是棱a1b1的中點，求aa1與平面ad1e所成角的正弦值思路分析：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，寫出有關(guān)點的坐標，然后利用平面ad1e的法向量求線面角在棱長為a的正方體abcdabcd中，e，f分別是bc，ad的中點(1)求證四邊形bedf為菱形；(2)求直線ad與平面bedf所成的角的正弦值利用法向量求直線與平面的夾角的基本步驟為：(1)建立空間直角坐標系；(2)求直線的方向向量；(3)求平面的法向量n；(4)設(shè)線面角為，則sin .三、求二面角的平面角如圖所示，在正方體abefdcef中，m，n分別為ac，bf的中點，求平面mna與平面mnb所成銳二面角的余弦值思路分析：解答本題可建立適當?shù)目臻g直角坐標系，利用平面的法向量求解；也可在二面角的兩個面內(nèi)分別作棱的垂線，利用兩線的方向向量所成的角求解已知pa平面abc，acbc，paac1，bc，求二面角apbc的余弦值(1)利用空間向量求二面角可以有兩種方法：一是分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到一個與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大?。欢峭ㄟ^平面的法向量來求：設(shè)二面角的兩個半平面的法向量分別為n1和n2，則二面角的大小等于n1，n2(或n1，n2)(2)利用空間向量求二面角時，注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角四、求點到平面的距離如圖所示，已知abcd是邊長為4的正方形，e，f分別是ad，ab的中點，gc垂直于abcd所在的平面且gc=2，求點b到面efg的距離思路分析：求點到平面的距離，一般方法是先由該點向平面引垂線確定垂足，把點到面的距離轉(zhuǎn)化為解三角形求解，需要作輔助線，然后通過邏輯推理論證及計算，這樣比較麻煩，而用向量法則較為簡便已知空間四點a(2,3,1)，b(4,1,2)，c(6,3,7)，d(5，4，8)，則點d到平面abc的距離是_(1)求點到平面的距離時，關(guān)鍵是建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求出平面的一個法向量，然后通過公式代入求解(2)求點到平面距離時也可將上述方法改變?yōu)椋呵蟪銎矫娴膯挝环ㄏ蛄縩0；任取一條過法向量與平面交點的該平面的一條斜線段，求出其向量坐標n1；求出n0與n1的數(shù)量積的絕對值，即得點到平面的距離d|n0n1|，其中單位法向量由法向量除以它的模得到，斜線段可以任取，但必須經(jīng)過法向量與平面的交點(3)求點到平面的距離還可以利用等體積法進行求解1平面的一個法向量n1(1,0,1)，平面的一個法向量n2(3,1,3)，則與所成的角是_2如圖，在棱長為1的正方體abcda1b1c1d1中，m和n分別是a1b1和bb1的中點，那么直線am與cn所成角的余弦值為_3若一個二面角的兩個面的法向量分別為m(0,0,3)，n(8,9,2)，則這個銳二面角的余弦值為_4直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為120，則直線l與平面所成的角等于_5正方體abcda1b1c1d1的棱長為1，則點a到平面b1d1db的距離為_用精練的語言把你當堂掌握的核心知識的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫下來，并進行識記知識精華技能要領(lǐng)答案：課前預(yù)習導(dǎo)學1(1)(2)預(yù)習交流1：(1)提示：不是，兩條異面直線所成的角只能是銳角或直角而它們的方向向量的夾角可能是銳角或直角，也可能是鈍角當兩方向向量的夾角是鈍角時，其補角才是兩異面直線所成的角(2)提示：|cosa，b|.2(1)(2)|cos |或cos sin 預(yù)習交流2：提示：直線方向向量與平面法向量所夾的銳角和直線與平面所成的角互為余角，即.因此sin cos .3(1)0，(2)向量與的夾角夾角(或其補角)預(yù)習交流3：提示：當n1，n2所在的角與相等時，|cos |cosn1，n2；當n1，n2所成角與互補時，|cos |cosn1，n24(2)預(yù)習交流4：提示：(1,2，4)，所以點p到的距離為d.課堂合作探究活動與探究1：解：如圖所示，以c為坐標原點，ca，cb，cc1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)cb=ca=cc1=1，則a(1,0,0)，b(0,1,0)，d1，f1，.，.bd1與af1所成的角的余弦值為.遷移與應(yīng)用：解析：=(2，2，1)，=(2，3，3)，而，故直線ab和cd所成角的余弦值為.活動與探究2：解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則d(0,0,0)，a(2,0,0)，a1(2,0,2)，d1(0,0,2)，e(2,1,2)，(0,0,2)，(2,0,2)，(0,1,2)設(shè)平面ad1e的法向量n(x，y，z)，則n0，n0，令x1，則y2，z1.故n(1，2,1)，設(shè)n與向量的夾角為，則cos .直線aa1與平面ad1e所成角的正弦值為.遷移與應(yīng)用：(1)證明：如圖所示，以a為原點，ab，ad，aa所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則d(0，a,0)，e，b(a,0，a)，f，.，四邊形bedf為平行四邊形，|a.又|a.|，平行四邊形bedf為菱形(2)解：設(shè)平面bedf的法向量為n(x，y，z)，則有即令x1，則y2，z1，n(1,2,1)cosn，.ad與平面bedf所成的角的正弦值為sin |cosn，|.活動與探究3：解：設(shè)正方體棱長為1.以b為坐標原點，ba，be，bc所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系bxyz，則m，n，a(1,0,0)，b(0,0,0)(方法一)取mn的中點g，連結(jié)bg，ag，則g.amn，bmn為等腰三角形，agmn，bgmn.agb為二面角的平面角或其補角由于，cos，故所求銳二面角的余弦值為.(方法二)設(shè)平面amn的法向量為n1(x，y，z)由于，.即令x1，則得y1，z1，n1(1,1,1)同理可求得平面bmn的一個法向量n2(1，1，1)cosn1，n2.故所求銳二面角的余弦值為.遷移與應(yīng)用：解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則a(0,0,0)，b(,1,0)，c(0,1,0)，p(0,0,1)，=(0,0,1)，=(,1,0)，=(,0,0)，=(0，1,1)設(shè)平面pab的法向量m=(x，y，z)，則即即令x=1，則m=(1，,0)設(shè)平面pbc的法向量為n=(x，y，z)，則即即令y=1，則n=(0，1，1)cosm，n=.二面角apbc的余弦值為.活動與探究4：解：如圖所示，以c為原點，以，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則g(0,0,2)，b(0,4,0)，a(4,4,0)，d(4,0,0)，e(4,2,0)，f(2,4,0)，=(4,2，2)，=(2,4，2)設(shè)n0=(x，y，z)是平面efg的單位法向量，則有取z0，得x=y=，n0=(1,1,3)又=(0,4，2)，d=|n0|=|10+1432|=.遷移與應(yīng)用：解析：由題意知，=(2，2,1)，=(4,0,6)設(shè)平面abc的一個法向量n=(x，y，z)，則有令x=3，則z=2，y=2，故n=(3,2，2)，=(7,7，7)，故.當堂檢測190解析：由于n1n2(1,0,1)(3,1,3)0，所以n1n2，故，與所成的