蘇教版選修45 5.1 不等式的基本性質(zhì) 學(xué)案.doc

5.1 不等式的基本性質(zhì)自主整理1.兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系:aba-b_0;a=ba-b_0;aba-b_0.2.不等式的基本性質(zhì):(1)abb_a;(2)ab,bca_c;(3)aba+c_b+c;(4)ac_bc,ac_bc;(5)ab0an_bn(nn,且n1);(6)ab0_(nn,且n1).高手筆記1.實(shí)數(shù)大小比較的原理與實(shí)數(shù)乘法的符號(hào)法則是推導(dǎo)不等式性質(zhì)的依據(jù).與等式相比,主要區(qū)別在數(shù)乘這一性質(zhì)上,對(duì)于等式a=bac=bc,其中c可取任意實(shí)數(shù),而對(duì)于不等式ab,兩邊同乘c之后,ac與bc的大小關(guān)系就需對(duì)c加以討論確定.2.學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)應(yīng)注意三個(gè)方面的問題:(1)注意區(qū)分不等號(hào)“”“”“”“”“”的含義，準(zhǔn)確地表述不等式.(2)不等式的傳遞變形中應(yīng)注意不等號(hào)方向的一致性.(3)適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小是不等式變形的關(guān)鍵.3.不等式的一些性質(zhì)在應(yīng)用時(shí)可以適當(dāng)延伸,如將“”改為“”,“”改為“”，將正數(shù)改為非負(fù)數(shù)等.如:ab,bcac;ab0,c0acbc等,而且還可推證出其他一些結(jié)論性質(zhì),如ab,cda+cb+d;ab0,cd0acbd等.4.區(qū)分“”和“”,即“推出關(guān)系”和“等價(jià)關(guān)系”,或者說“不可逆關(guān)系”與“可逆關(guān)系”.如ab,c0acbc,但acbc不一定推出ab,c0,有可能ab,c0.5.文字語言翻譯成數(shù)學(xué)符號(hào)要準(zhǔn)確,“大于”“”,“小于”“”，“至多”“不多于”“小于等于”“”,“至少”“不少于”“大于等于”“”.名師解惑使用不等式的性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意哪些問題?剖析:(1)不等式的性質(zhì)都可由兩個(gè)實(shí)數(shù)具有的性質(zhì)推得，在使用時(shí)，一定要弄清它們成立的前提條件,例如,在應(yīng)用傳遞性時(shí),如果不等式中有一個(gè)帶等號(hào)而另一個(gè)不帶等號(hào),那么等號(hào)是傳遞不過去的,如ac,cbab.(2)在乘法法則中,要特別注意c的符號(hào),如果不確定則需討論,如當(dāng)c0時(shí),有abac2bc2,但如果缺少條件c0,則abac2bc2就是錯(cuò)誤的,只能得到ac2bc2(當(dāng)且僅當(dāng)c=0時(shí)取“=”).(3)ab0anbn成立的條件“nn且n1”不能省略.假設(shè)去掉會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤,如n=-1,a=3,b=2,則3-12-1與事實(shí)矛盾.總之,要正確使用不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形,需注意不等式性質(zhì)成立的條件,條件不同時(shí),得到的結(jié)論有可能不同.講練互動(dòng)【例1】若a、b、cr,ab,則下列不等式成立的是( )a. b.a2b2 c. d.a|c|b|c|解析:a中-=,由ab可以確定b-a0,但不能確定ab的符號(hào),無法判定.b中需在都是正數(shù)的前提下成立. c中c2+110,0.在ab兩邊同乘一正數(shù),方向不變,c成立.而d中|c|0,當(dāng)c=0時(shí),a|c|=b|c|,d不成立.答案:c綠色通道 解答有關(guān)不等式性質(zhì)的選擇題,一是利用不等式相關(guān)的性質(zhì)推導(dǎo),要特別注意不等式變號(hào)的因素及不等式的使用條件是否具備;二是可用特殊值法或排除法解答.變式訓(xùn)練1.如果a、b、c滿足cba,且ac0,則下列不一定成立的是( )a.abac b.c(b-a)0 c.cb2ab2 d.ac(a-c)0解法一:cba且ac0,c0,a0.a中bc,a0abac成立.b中ba,b-a0.又c0,(b-a)c0成立.c中b20,當(dāng)b=0時(shí),cb2=ab2,c項(xiàng)不一定成立.d中ac,a-c0.ac0,ac(a-c)0成立.解法二:取c=-1、b=0、a=1,分別代入a、b、c、d中驗(yàn)證,可知c不成立.答案:c【例2】已知ab0,cd0,求證:.分析:觀察要證的不等式,聯(lián)系性質(zhì)(6)可知關(guān)鍵是證明.為此需先證.證明:cd0,cd0,c-d0,0.-=0.0.ab0,0.又ab0,0,0.0.綠色通道 根據(jù)不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式,可觀察要證的不等式的結(jié)構(gòu),聯(lián)想與之有聯(lián)系的不等式的性質(zhì)或兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系進(jìn)行變形運(yùn)算.變式訓(xùn)練2.已知ab0,cd0,e0,求證:.證明:cd0,-c-d0.ab0,a-cb-d0.a-cb-d0,a-c-b+d0.b-a+c-d0.e0,e(b-a+c-d)0.0.成立.【例3】若a、b、c、dr+,且ac+d,bc+d,求證:abad+bc,abac+bd.分析:由于ac+d,bc+d,但a、b的大小關(guān)系不定,可分三種情況討論.證明:a、b、c、dr+,ac+d,bc+d,(1)當(dāng)abc+d時(shí),aba(c+d)=ac+adac+bd,即abac+adbc+ad成立.(2)當(dāng)bac+d時(shí),abb(c+d)=bc+bdbc+ad,即abbc+ad成立.由abb(c+d)=bc+bdac+bd,得abac+bd成立.(3)當(dāng)a=bc+d時(shí),aba(c+d)=ac+ad=ac+bd=bc+ad,即abac+bd=bc+ad成立.綜上,abad+bc,abac+bd成立.綠色通道 證明不等式,要多觀察結(jié)構(gòu),靈活地進(jìn)行變形,情況不確定時(shí),可進(jìn)行分類討論.變式訓(xùn)練3.比較x3+11x與6x2+6的大小.解:x3+11x-(6x2+6)=x3-6x2+11x-6=x3-3x2-3x2+11x-6=x2(x-3)+(-3x+2)(x-3)=(x-3)(x2-3x+2)=(x-3)(x-2)(x-1),當(dāng)x1時(shí),x-10,x-20,x-30,(x-3)(x-2)(x-1)0.x3+11x6x2+6.當(dāng)1x2時(shí),x-10,x-20,x-30,(x-3)(x-2)(x-1)0.x3+11x6x2+6.當(dāng)2x3時(shí),x-10,x-20,x-30,(x-3)(x-2)(x-1)0.x3+11x6x2+6.當(dāng)x3時(shí),x-10,x-20,x-30,(x-3)(x-2)(x-1)0.x3+11x6x2+6.當(dāng)x=1或x=2或x=3時(shí),(x-1)(x-2)(x-3)=0.x3+11x=6x2+6.綜上,當(dāng)x1或 2x3時(shí),x3+11x6x2+6;當(dāng)1x2或x3時(shí),x3+11x6x2+6;當(dāng)x=1或x=2或x=3時(shí),x2+11x=6x2+6.【例4】已知6x+y9,-1x-y5,求2x+3y的范圍.分析:已知條件為x+y和x-y的范圍,需將2x+3y用已知條件表示出 ,再用待定系數(shù)法確定.解:設(shè)2x+3y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n)x+(m-n)y,2x+3y=(x+y)-(x-y).6x+y9,15(x+y).-1x-y5,-(x-y).(x+y)-(x-y)23,即2x+3y23.黑色陷阱 本題中所求量的范圍需用已知量表示出 ,采用整體代換的思想,即弄清所求量與已知量之間的關(guān)系.若由得再得2x+3y的范圍為(,29),這樣就在變化過程中擴(kuò)大了范圍,出現(xiàn)錯(cuò)誤.變式訓(xùn)練4.若已知二次函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn),且1f(-1)2,