2018-2019學(xué)年八校聯(lián)盟高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2018-2019學(xué)年海南省八校聯(lián)盟高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1設(shè)命題，則為（ ）A， B， C， D，【答案】D【解析】直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可【詳解】解：全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題，則為：，故選：【點(diǎn)睛】本題考查命題的否定，全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系，基本知識的考查2某學(xué)校的老師配置及比例如圖所示，為了調(diào)查各類老師的薪資狀況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取部分老師進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中，青年老師有30人，則該樣本中的老年教師人數(shù)為（ ）ABCD【答案】B【解析】由分層抽樣的特點(diǎn)，運(yùn)用比例關(guān)系求出結(jié)果【詳解】設(shè)樣本中的老年教師人數(shù)為人，由分層抽樣的特點(diǎn)得：，所以，故選【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的計算，由分層抽樣的特點(diǎn)結(jié)合比例關(guān)系求出結(jié)果，較為基礎(chǔ)3設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，則使成立的是（ ）A，B，C，D，【答案】B【解析】由題意，驗證，得到，進(jìn)而得到答案?！驹斀狻坑深}意，只有B中，所以，故【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用空間向量判定點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中熟記空間向量與線面位置關(guān)系的判定方法，熟練使用平面的法向量是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題。4在8件同類產(chǎn)品中，有6件是正品，2件次品，從這8件產(chǎn)品中任意抽取2件產(chǎn)品，則下列說法正確的是A事件“至少有一件是正品”是必然事件B事件“都是次品”是不可能事件C事件“都是正品”和“至少一個正品”是互斥事件D事件“至少一個次品”和“都是正品”是對立事件【答案】D【解析】本題首先可以根據(jù)題意得出所有的可能種類，然后通過必然事件以及不可能事件的性質(zhì)判斷出A、B錯誤，再然后通過互斥事件與對立事件的性質(zhì)判斷出C錯誤以及D正確，即可得出答案?！驹斀狻恳驗槌槿〉膬杉a(chǎn)品有可能都是次品，所以A、B錯；因為事件“至少一個正品”包含事件“都是正品”，所以C錯；因為事件“至少一個次品”和事件“都是正品”包含了所有可能的事件，故互為對立事件，所以D正確，綜上所述，故選D?！军c(diǎn)睛】本題考查了事件的關(guān)系，主要考查了必然事件、不可能事件、互斥事件、對立事件的相關(guān)性質(zhì)，提高了學(xué)生對于事件的關(guān)系的判斷能力，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性，是簡單題。5若焦點(diǎn)在軸上的橢圓 的離心率為，則（ ）A31B28C25D23【答案】D【解析】根據(jù)橢圓定義，用m表示出和，再根據(jù)離心率求得m的值?！驹斀狻拷裹c(diǎn)在x軸上，所以 所以離心率 ，所以 解方程得m=23所以選D【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓定義及離心率，屬于基礎(chǔ)題。6籃球運(yùn)動員甲在某賽季前15場比賽的得分如表：得分8131822283337頻數(shù)1341312則這15場得分的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（ ）A22，18B18，18C22，22D20，18【答案】B【解析】根據(jù)頻數(shù)分布表列出的數(shù)據(jù)，找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)字為眾數(shù)；這組數(shù)據(jù)有15個，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是排序后最中間的數(shù)字【詳解】解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，得分頻率最高的為18，故眾數(shù)為18，將得分按從小到大順序排序，排在中間位置的為18，故中位數(shù)為18，故選：【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)分布表，考查眾數(shù)、中位數(shù)，對于一組數(shù)據(jù)這兩個特征數(shù)是經(jīng)常考查的，本題是基礎(chǔ)題7下列說法：若線性回歸方程為，則當(dāng)變量增加一個單位時，一定增加3個單位；將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，方差不會改變；線性回歸直線方程必過點(diǎn)；抽簽法屬于簡單隨機(jī)抽樣；其中錯誤的說法是（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)線性回歸方程與方差的求法，隨機(jī)抽樣的知識，對選項中的命題判斷正誤即可【詳解】解：對于，回歸方程中，變量增加1個單位時，平均增加3個單位，不是一定增加，錯誤；對于，將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，均值改變，方差不變，正確；對于，線性回歸方程必經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，正確；對于，抽簽法屬于簡單隨機(jī)抽樣；正確綜上，錯誤的命題是故選：【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程與的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題8在三棱柱中，若，則（ ）.ABCD【答案】D【解析】可先畫出三棱柱，結(jié)合向量的加法及減法公式將用進(jìn)行代換即可【詳解】如圖所示：根據(jù)向量線性運(yùn)算的加法法則有，整理順序得：故選：D【點(diǎn)睛】本題考查空間向量線性運(yùn)算的加法及減法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題9已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，為上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則（ ）AB或CD【答案】D【解析】連結(jié)，由于，可知是三角形的中位線，得到，然后利用雙曲線的性質(zhì)求出即可得到答案?！驹斀狻恳驗?，所以為的中點(diǎn)，(如下圖)連結(jié)，則是三角形的中位線，所以，由雙曲線方程可得，所以，而，所以或者18，因為，所以舍去，故18，則.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義及性質(zhì)，平面向量的線性運(yùn)算，屬于中檔題。10“方程表示的曲線為橢圓”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】先求出方程為橢圓時的范圍，然后根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可。【詳解】若方程表示的曲線為橢圓，則，解得且，則“方程表示的曲線為橢圓”是“”的充分不必要條件。【點(diǎn)睛】方程，若，則方程表示的曲線為圓；若，且，則方程表示的曲線為橢圓；若，則方程表示的曲線為雙曲線。11過焦點(diǎn)為F的拋物線y212x上一點(diǎn)M向其準(zhǔn)線作垂線，垂足為N，若直線NF的斜率為，則|MF|（ ）A2B2C4D4【答案】C【解析】利用拋物線的方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用已知條件轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，則，直線的斜率為，可得，則拋物線可得：，解得，所以，故選：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于基礎(chǔ)題12如圖，橢圓（）的兩焦點(diǎn)為，長軸為，短軸為，若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點(diǎn)分別為，則菱形的面積與矩形的面積的比值為（ ）ABCD【答案】D【解析】菱形的面積，求出矩形的長和寬，從而求出面積，進(jìn)而得到，然后利用圓內(nèi)切于菱形，可以求出的比值，即可求出.【詳解】由題意知，菱形的面積，設(shè)矩形中，連結(jié)（如下圖），則易知和相似，則，又因為，可得，則矩形的面積，所以，因為，可得，兩端同時平方得，由于，則，即，則解得或者，由于，故舍去，即.所以.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了圓與橢圓的綜合，橢圓的性質(zhì)，及面積的計算，屬于難題。二、填空題13若焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程為yx，虛軸長為6，則實軸長為_【答案】4【解析】可設(shè)雙曲線的方程設(shè)為，由漸近線方程可得，由題意可得，求得，可得實軸長【詳解】解：焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的方程設(shè)為，由漸近線方程為，可得，即，虛軸長為，即，可得，則實軸長為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題14已知點(diǎn)F是拋物線y22px（p0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)A（2，y1），B（，y2）分別是拋物線上位于第一、四象限的點(diǎn)，若|AF|10，則|y1y2|_【答案】12【解析】由已知根據(jù)焦半徑公式求得，得到拋物線方程，進(jìn)一步求得、的坐標(biāo)，即可求出【詳解】解：，則拋物線的方程為，把代入方程，得 舍去），即，把代入方程，得 舍去），即，則，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于基礎(chǔ)題15空氣質(zhì)量指數(shù)（Air Quality Index，簡稱AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級，050為優(yōu)；51100為良；101150為輕度污染；151200為中度污染；201300為重度污染；大于300為嚴(yán)重污染.某環(huán)保人士從當(dāng)?shù)啬衬甑腁QI記錄數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取了15天的AQI數(shù)據(jù)，用如圖所示的莖葉圖記錄.根據(jù)該統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估計此地該年空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的天數(shù)約為_（該年為366天）【答案】【解析】利用莖葉圖性質(zhì)和等可能事件概率計算公式能求出該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)或良的頻率，從而能估計該年空氣質(zhì)量優(yōu)或良的天數(shù)【詳解】從莖葉圖中可發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)或良為10天故該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)或良的頻率為，從而估計該年氣質(zhì)量優(yōu)或良的天數(shù)為天【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用，用頻率去估計概率，從而解決問題，屬基礎(chǔ)題，16在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為AD，C1D1的中點(diǎn)，O為側(cè)面BCC1B1的中心，則異面直線MN與OD1所成角的余弦值為_【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值【詳解】解：如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，令，則， ， ， ， ， ，設(shè)異面直線與所成角為，則異面直線與所成角的余弦值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題三、解答題17為了解某校高一1000名學(xué)生的物理成績，隨機(jī)抽查了部分學(xué)生的期中考試成績，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（1）估計該校高一學(xué)生物理成績不低于80分的人數(shù)；（2）若在本次考試中，規(guī)定物理成績在m分以上（包括m分）的為優(yōu)秀，該校學(xué)生物理成績的優(yōu)秀率大約為18%，求m的值【答案】（1）540人；（2）92.5【解析】（1）由頻率分布直方圖求出該校高一學(xué)生物理成績不低于80分的頻率，由此能求出該校高一學(xué)生物理成績不低于80分的人數(shù)（2）由，得，由此列方程能求出的值【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖得：該校高一學(xué)生物理成績不低于80分的頻率為：，該校高一學(xué)生物理成績不低于80分的人數(shù)為：人（2），解得【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)的求法，考查實數(shù)值的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題18一個袋中裝有6個大小形狀完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4，5，6（1）從袋中隨機(jī)抽取兩個球，求取出的球的編號之和為6的概率；（2）先后有放回地隨機(jī)抽取兩個球，兩次取的球的編號分別記為和，求的概率【答案】（1）；（2）.【解析】（1） 從袋中隨機(jī)取兩個球， 利用列舉法求出所有的基本事件個數(shù)， 再用列舉法求出取出的編號之和為6 包含的基本事件有個數(shù)， 由此能求出取出的球的編號之和為6概率 （2） 基本事件總數(shù)，再用列舉法求出包含的基本事件的個數(shù)， 由此能求出的概率 【詳解】解：（1）從袋中隨機(jī)抽取兩個球共有15種取法，取出球的編號之和為6的有，共2種取法，故所求概率.（2）先后有放回地隨機(jī)抽取兩個球共有36種取法，兩次取的球的編號之和大于5的有，共26種取法，故所求概率.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的求法， 是基礎(chǔ)題， 解題時要認(rèn)真審題， 注意列舉法的合理運(yùn)用 19求滿足下列條件的橢圓或雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，焦距為4，且經(jīng)過點(diǎn)A（3，2）；（2）雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，右焦點(diǎn)為F，過F作重直于x軸的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=3，離心率為【答案】（1）（2）【解析】（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)下焦點(diǎn)即可得知上焦點(diǎn)坐標(biāo)，由橢圓定義即可求得a，結(jié)合焦距即可求得b，進(jìn)而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）因為過右焦點(diǎn)F作垂直，即可表示出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及長度，進(jìn)而根據(jù)求得a、b的關(guān)系，結(jié)合雙曲線中a、b、c的關(guān)系即可求得a、b的值，進(jìn)而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程?！驹斀狻拷猓海?）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 上焦點(diǎn)為，下焦點(diǎn)為， 根據(jù)橢圓的定義知，即， 所以，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 把帶入雙曲線方程，得，所以. 由，得. 所以， 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，屬于基礎(chǔ)題。20如圖，菱形的邊長為4，矩形的面積為，且平面平面.(1)證明：；(2)求二面角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】(1) 因為四邊形是矩形，所以,再由面面垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直；（2）建立坐標(biāo)系得到各個面的法向量，進(jìn)而得到夾角的余弦值，再求正弦值.【詳解】(1)證明：因為四邊形是矩形，所以.因為平面平面，且平面平面，所以平面.又平面，所以.(2)解：設(shè)與的交點(diǎn)為，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因為菱形的邊長為4，且，所以.因為矩形的面積為8，所以.則，所以，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以.所以，所以.所以二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】這個題目考查了空間中的直線和平面的位置關(guān)系，平面和平面的夾角。求線面角，一是可以利用等體積計算出直線的端點(diǎn)到面的距離，除以線段長度就是線面角的正弦值；還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可。面面角一般是要么定義法，做出二面角，或者三垂線法做出二面角，利用幾何關(guān)系求出二面角，或者建系來做。21在如圖所示的幾何體中，四邊形CDEF為正方形，四邊形ABCD為梯形，平面ABCD求BE與平面EAC所成角的正弦值；線段BE上是否存在點(diǎn)M，使平面平面DFM？若存在，求的值；若不存在，請說明理由【答案】（1）；（2）見解析【解析】以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，CF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面EAC的法向量，利用向量法能求出BE與平面EAC所成角的正弦值設(shè)線段BE上存在點(diǎn)b，使平面平面DFM，求出平面DMF的法向量和平面EAC的法向量，利用向量法求出線段BE上不存在點(diǎn)M，使平面平面DFM【詳解】四邊形CDEF為正方形，四邊形ABCD為梯形，平面ABCD以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，CF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則1，0，1，0，0，1，0，設(shè)平面EAC的法向量y，則，取，得，設(shè)B