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衢州學(xué)院學(xué)年論文 題 目： 神奇的斐波那契數(shù)列姓 名： 學(xué) 號： 4111012128 院 別： 教師教育學(xué)院 系： 數(shù)理系 所在專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范） 指導(dǎo)教師： 職 稱： 教 授 2017年10月15日目 錄1斐波那契數(shù)列21.1斐波那契數(shù)列產(chǎn)生的背景21.2斐波那契數(shù)列的通項公式21.3斐波那契數(shù)列的幾個奇特性質(zhì)22 斐波那契數(shù)列與其它對象的聯(lián)系22.1 斐波那契數(shù)列與黃金分割數(shù)的聯(lián)系22.2斐波那契數(shù)列與代數(shù)、概率中問題的聯(lián)系23 斐波那契數(shù)列的應(yīng)用23.1在股市的應(yīng)用23.2在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用23.3應(yīng)用推廣2參考文獻：2致謝辭2衢州學(xué)院教師教育學(xué)院數(shù)理系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）專業(yè)學(xué)年論文神奇的斐波那契數(shù)列【內(nèi)容摘要】首先介紹了斐波那契數(shù)列產(chǎn)生的背景及其一些歷史研究成果；然后給出了該數(shù)列與黃金分割數(shù)、代數(shù)、概率問題存在的聯(lián)系；最后討論了斐波那契數(shù)列在股市和中學(xué)數(shù)學(xué)兩個方面的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列在自然界、現(xiàn)實生活和學(xué)習(xí)中大量存在并發(fā)揮著它的作用，更多的奧秘正等待著人們?nèi)フJ識、研究和發(fā)現(xiàn).【關(guān)鍵詞】斐波那契數(shù)列；生小兔問題；菠蘿的鱗片；松果和向日葵1斐波那契數(shù)列1.1斐波那契數(shù)列產(chǎn)生的背景1.1.1生小兔問題引起的斐波那契數(shù)列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,斐波那契數(shù)列的發(fā)明者是意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契，他生于公元1170年，卒于1240年，籍貫是比薩，被人稱作“比薩的列昂納多”.1202年，他撰寫了算盤書.他是第一個研究印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人.他的父親被比薩的一家商業(yè)團體聘任為外交領(lǐng)事，派駐地點相當(dāng)于今日的阿爾及利亞地區(qū)，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導(dǎo)下研究數(shù)學(xué).他曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數(shù)學(xué).斐波那契在他的算盤書中提出了一個有趣的生小兔問題1：兔子出生以后兩個月就能生小兔，若每次不多不少恰好生一對（一雌一雄），且每月生一次.假如養(yǎng)了出生的小兔一對，則一年以后共可有多少對兔子（如果生下的小兔都不死的話）?我們來推算一下.如圖1所示：圖1第1個月：只有1對兔子；第2個月：兔子還未成熟不能生殖，仍然只有1對兔子；第3個月：這對兔子生了1對兔子，這時共有2對兔子；第4個月：老兔子又生了1對兔子，而上月出生的兔子還未成熟,這時有3對兔子；第5個月：這時已有2對兔子可以生殖（原來的老兔和第3個月出生的兔子），于是生了2對兔子，這時共有5對兔子；如此推算下去，我們不難得出下面的結(jié)果：表1月份數(shù)12345678910111213兔子數(shù)（對）1123581321345589144233從表中可知：一年后（第13個月時）共有兔子233對.若n表示月份數(shù)，表示兔子對數(shù)，則得斐波那契數(shù)列，且稱為斐波那契數(shù).1634年數(shù)學(xué)家吉拉德發(fā)現(xiàn)（那已經(jīng)是斐波那契死后四百年的事了）：斐波那契數(shù)列之間有如下的遞推關(guān)系.由于這一發(fā)現(xiàn)，生小兔問題引起了人們的極大興趣，首先計算這列數(shù)便捷多了，再者由于人們繼續(xù)對這個數(shù)列的探討，又發(fā)現(xiàn)了它的許多奇特性質(zhì).比如它的項數(shù)間有更一般的關(guān)系：.1680年，卡西尼發(fā)現(xiàn)了下面關(guān)于斐波那契數(shù)列項間更重要的關(guān)系：即從第二項開始，每個奇數(shù)項的平方都比前后兩項之積多1，每個偶數(shù)項的平方都比前后兩項之積少1.1753年，西姆森發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列中前后兩項和之比是連分數(shù) 的第n個漸進分數(shù).1864年，法國數(shù)學(xué)家拉梅利用斐波那契數(shù)列證明：應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法的步數(shù)不大于較小的那個數(shù)的位數(shù)的5倍.這是斐波那契數(shù)列的第一次有價值的應(yīng)用.1876年，數(shù)學(xué)家盧卡斯發(fā)現(xiàn)：方程的兩個根的任何次方冪的線性組合都滿足關(guān)系式：.20世紀(jì)50年代出現(xiàn)的“優(yōu)選法”中，也找到了斐波那契數(shù)列的巧妙應(yīng)用，從而使得這個曾作為故事或智力游戲的古老的“生小兔問題”所引出的數(shù)列，綻開了新花.由于這個數(shù)列越來越多的性質(zhì)被人們發(fā)現(xiàn)，越來越多的應(yīng)用被人們找到，因而這一數(shù)列引起了敏感的數(shù)學(xué)家們的極大關(guān)注和熱情，隨后一本專門研究它的雜志斐波那契季刊于1963年開始發(fā)行.1.1.2斐波那契數(shù)列的蹤跡不止在生小兔問題中，在現(xiàn)實生活、經(jīng)濟、自然界等中我們也總能見到斐波那契數(shù)列的身影，如植物葉序、樹枝生長、人類歷史的演變周期、生產(chǎn)能力發(fā)展變化趨勢等.下面的一些例子2不乏為斐波那契數(shù)列神、奇、特的體現(xiàn).1) 植物花瓣與斐波那契數(shù)花瓣數(shù) 花種3百合和蝴蝶花5藍花耬斗菜、金鳳花、飛燕草、毛茛花8翠雀花13 金盞和玫瑰21 紫宛34、55、89 雛菊2) 菠蘿的鱗片與斐波那契數(shù)列把菠蘿中心線視為Z軸，與之垂直的平面叫XOY平面（如圖2），量出菠蘿的鱗片表皮六邊形中心距XOY平面的距離（按照某個比例單位），把它們記錄下來填到圖3,那些彼此聯(lián)系著的鱗狀表皮上的數(shù)有三個方向是按照等差數(shù)列方式排列的：0，5，10，15，20，（公差d是5，與之方向平行的各鱗片上的數(shù)字也如此）；0，8，16，24，32，（公差d是8，與之方向平行的各鱗片上的數(shù)字也如此）；0，13，26，39，52，（公差d是13，與之方向平行的各鱗片上的數(shù)字也如此）.這三個方向上所給出的各等差數(shù)列，其公差分別是5，8，13它們恰好是斐波那契數(shù)列中的三項. 圖2 圖33）向日葵花盤內(nèi)葵花子排列的螺線數(shù)與斐波那契數(shù)列向日葵花盤內(nèi)，種子是按對數(shù)螺線排列的，有順時針轉(zhuǎn)和逆時針轉(zhuǎn)的兩組對數(shù)螺線.兩組螺線的條數(shù)往往成相繼的兩個斐波那契數(shù)，一般是34和55，大向日葵是89和144，還曾發(fā)現(xiàn)過一個更大的向日葵有144和233條螺線，它們都是相繼的兩個斐波那契數(shù).松果種子的排列和菜花表面的螺線數(shù)也有類似特點.這一模式被廣泛研究并給出解釋：這是植物生長的動力學(xué)特性造成的；這使種子的堆集效率達到最高.4) 生物學(xué)與斐波那契數(shù)列1123581311 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1樹木的生長，由于新生的枝條，基本上都需要一段“休息”時間，補充自己由于新生枝條的消耗，而后當(dāng)補滿消耗之后才能萌發(fā)新枝因此，樹苗在一段間隔，比如一年以后長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝繼續(xù)萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過一年的新枝同時萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則次年“休息”這樣，一株樹木各個年份的枝椏數(shù)，便構(gòu)成斐波那契數(shù)列這個規(guī)律，就是生物學(xué)上著名的“魯?shù)戮S格定律”.5) 楊輝三角與斐波那契數(shù)列如圖4所示，畫一與水平方向成角的斜線， 圖4可以由楊輝三角得到斐波那契數(shù)列.6) 蜜蜂的家譜與斐波那契數(shù)列 蜜蜂的“家譜”:蜜蜂的繁殖規(guī)律十分有趣.雄蜂只有母親，沒有父親，因為蜂后所產(chǎn)的卵，受精的孵化為雌蜂（即工蜂或蜂后），未受精的孵化為雄蜂.人們在追溯雄蜂的家譜時，發(fā)現(xiàn)1只雄蜂的第n代子孫的數(shù)目剛好就是斐波那契數(shù)列數(shù)列的第n項.7) 仙人掌的結(jié)構(gòu)與斐波那契數(shù)列在仙人掌的結(jié)構(gòu)中有這一數(shù)列的特征.研究人員分析了仙人掌的形狀、葉片厚度和一系列控制仙人掌情況的各種因素，并將所得數(shù)據(jù)輸入電腦，結(jié)果發(fā)現(xiàn)仙人掌的斐波那契數(shù)列結(jié)構(gòu)特征能讓仙人掌最大限度地減少能量消耗，適應(yīng)其在干旱沙漠的生長環(huán)境.創(chuàng)新生活：斐波那契數(shù)列常與諸多自然現(xiàn)象相吻合，菠蘿的鱗片結(jié)構(gòu)、松果和向日葵的種子堆積方式等都與斐波那契數(shù)有關(guān)，它們的出現(xiàn)是植物適應(yīng)自然的和諧生長方式，這是數(shù)列與自然美的完美體現(xiàn).我們也可以利用這一緊湊而和諧的生長方式去創(chuàng)新和設(shè)計我們的生活.例如種植架可以設(shè)計成菠蘿狀，菠蘿鱗片處挖空種植適宜的草藥，利于上面的植物花粉掉落達到授粉目的和更密集生長；燈具設(shè)計上可以采用菠蘿狀，以求更為絢麗；噴水灌溉系統(tǒng)的噴頭設(shè)計成松果噴頭，以求水量充足下的更稠密和均勻；家庭浴室噴頭采用向日葵種子分布結(jié)構(gòu)不乏更為均勻合理；鮮花束的插制利用松果螺旋等.1.2斐波那契數(shù)列的通項公式斐波那契數(shù)列的通項公式：.此式又稱為“比內(nèi)公式”,以最初證明它的法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)命名.該等式的左邊是正整數(shù)，而等式的右邊卻是用無理數(shù)來表達的3,斐波那契數(shù)列的神奇性不言而喻.證明：利用特征方程（線性代數(shù)解法）線性遞推數(shù)列的特征方程為,解得，則， ，把代入解得,所以 .除此之外，通項公式的推導(dǎo)還有初等代數(shù)法、構(gòu)造等比數(shù)列法、迭代法等.1.3斐波那契數(shù)列的幾個奇特性質(zhì)斐波那契數(shù)列被發(fā)現(xiàn)有許多有趣的特性，下面僅列出其中的5條供大家欣賞.1）斐波那契數(shù)列的第n+2項同時也代表了集合1,2,.,n中所有不包含相鄰正整數(shù)的子集個數(shù)；2）第3、6、9、12等項的數(shù)字能被2整除；第4、8、12等項的數(shù)字能被3整除；第5、10等項的數(shù)字能被5整除；其余依此類推；3）從斐波納數(shù)列中任意選出10個連續(xù)的數(shù)，它們的和等于這10個數(shù)中第7個數(shù)的11倍；4）；5）前n項和： .2 斐波那契數(shù)列與其它對象的聯(lián)系2.1 斐波那契數(shù)列與黃金分割數(shù)的聯(lián)系黃金數(shù)與斐波那契數(shù)列之間有關(guān)系式 .4早在古希臘，那時的人們就已經(jīng)認識到0.618的神奇性，并將其廣泛應(yīng)用到建筑和繪畫等領(lǐng)域.現(xiàn)在它的應(yīng)用更為廣泛，例如人體模型設(shè)計、風(fēng)景照中地平線位置的安排、舞臺主持人的最佳站位、小說戲曲高潮的出現(xiàn)，決策與管理中的優(yōu)選法等都選擇按黃金比.除此之外我們還可以利用比內(nèi)公式推得斐波那契數(shù)列與黃金數(shù)之間的一些關(guān)系式.1）2）3）黃金數(shù)恒位于兩相鄰分數(shù)和之間，且更靠近后一個分數(shù)，即4）在所有分母不大于的分數(shù)中，以最接近（即最佳漸進分數(shù)）.2.2斐波那契數(shù)列與代數(shù)、概率中問題的聯(lián)系1)一個由求方程近似解而得到斐波那契數(shù)列的例子.我們用迭代的方法求方程的正的近似解:令.由，知在（0，1）間有解.由,得,考慮迭代格式：.令（稱為第0次迭代），則（第1次迭代）； （第2次迭代）；（第3次迭代）；（第4次迭代）；（第5次迭代）， 我們已經(jīng)看到，各次迭代的近似解的分子、分母都恰好是構(gòu)成一個斐波那契數(shù)列.2)一個與古典概率問題研究有關(guān)的例子.連續(xù)拋一枚硬幣，直到連續(xù)出現(xiàn)兩個正面為止.假定事件發(fā)生在第n次拋擲的情形：我們用H表示硬幣的正面，用T表示硬幣的反面，從下表可以看出：事件發(fā)生在第n次的所有可能的種類數(shù)恰為.表2n可能的序列序列的數(shù)目2HH13THH14HTHH,TTHH25THTHH,HTTHH,TTTHH36HTHTHH,TTHTHH,THTTHH,HTTTHH,TTTTHH5當(dāng)n=7時，只需在n=6時序列每個的前面加上T（共5個），此外還可以在每個T打頭的序列面前加上H(共3個)，這樣一共有5+3=8個.仿此，利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：“連續(xù)拋一枚硬幣，直到連續(xù)兩次出現(xiàn)正面為止”的事件發(fā)生在第n次拋擲所有可能的方式數(shù)為.n=2,3的情形顯然成立.設(shè)拋擲次數(shù)n時結(jié)論為真，即事件發(fā)生在第k(n)時拋擲的方式數(shù) .拋擲次數(shù)為n+1時，因為拋擲n+1次的情況可看為一次一次的拋擲直到n+1次，所以拋擲n+1次的方式數(shù)再拋一次增加的方式數(shù).再拋一次的可能情況為在第n次拋擲情況基礎(chǔ)上前面再加H或T.+T的種類為第n次拋擲的所有情況，方式數(shù)為.+H的種類為第n次拋擲時所有以T打頭的方式數(shù)，也就是拋n次后再拋一次增加的方式數(shù).這樣，事件發(fā)生在第n+1次的拋擲方式數(shù)種，即命題對n+1也成立.從而，結(jié)論對任何的自然數(shù)n都成立.3 斐波那契數(shù)列的應(yīng)用3.1在股市的應(yīng)用應(yīng)用：斐波那契數(shù)列應(yīng)用于股市技術(shù)分析中的波浪理論3.波浪理論的創(chuàng)始人是美國的艾略特.波浪理論具有3個重要方面：形態(tài)、比例和時間，其重要性依上述次序逐漸下降.艾略特在大自然的規(guī)律一書中談到，其波浪理論的數(shù)字基礎(chǔ)是在13世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的斐波那契數(shù)列.斐波那契數(shù)列在波浪理論中的應(yīng)用:一是波浪數(shù)目都是按照斐波那契數(shù)組織起來的；二是在各浪之間的比例關(guān)系上,常常應(yīng)用斐波那契數(shù)列.例如:1）當(dāng)3浪成為延伸浪時,1浪和5浪的升幅和運行時間大致趨于相同，假如并非完全相同，則極有可能以0.618的關(guān)系相互維持.2）把1浪乘以1.618,然后加到2浪的底點上,可以得出3浪的起碼目標(biāo)位.3）把1浪乘以2再乘以1.618,然后分別加到1浪的頂點和底點上,大致就是5浪的最大和最小目標(biāo).4）如果1浪大致相等,我們就預(yù)期5浪延長，其價格目標(biāo)的估算方法是先量出從1浪底點到3浪頂點的距離再乘以1.618,最后把結(jié)果加到4浪的底點上.波浪理論浪的劃分如圖4所示。 圖4 圖5波浪理論還認為,任一個序列中任一個級次的浪,都可被細分以及再細分為更小級次的浪;相反,它們也可被看成較大級次浪的組成部分.例如浪1、3、5可以分成更小的5個小波浪,而向相反方向進行的浪2、4也可分成更小的3個小波浪(如圖5).從圖5中我們可以看到,第一大浪由5浪組成,同時又由更小的21浪組成,而第二大浪由3浪組成,同時又由更小的13浪組成.第一大浪和第二大浪由8個較大的浪組成,同時又由34個更小的浪組成.如果將最高層次的浪數(shù)增加,則我們還可以看到比34大的斐波那契數(shù)列中的數(shù)字.上面出現(xiàn)的數(shù)字2、3、5、8、13、21、34都是斐波那契數(shù)列中的數(shù)字.它們的出現(xiàn)不是偶然的,這是艾略特波浪理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),正是在這一基礎(chǔ)上,才有波浪理論往后的發(fā)展.3.2在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用斐波那契數(shù)列由于其規(guī)律簡單、內(nèi)涵豐富，因而在中學(xué)數(shù)學(xué)和各類數(shù)學(xué)競賽中頗受青睞下面以兩道數(shù)學(xué)高考題來看看該數(shù)列在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用：例1：2011年湖北省高考數(shù)學(xué)理156給個自上而下相連的正方形著黑色或白色.當(dāng)時，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如圖6所示：n=1n=2n=3n=4圖6由此推斷，當(dāng)時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有 種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有 種.（結(jié)果用數(shù)值表示）解法一：設(shè)個正方形時黑色正方形互不相鄰的著色方案數(shù)為，由圖可知，由此推斷，故黑色正方形互不相鄰著色方案共有21種；由于給6個正方形著黑色或白色，每一個小正方形有2種方法，所以一共有種方法，由于黑色正方形互不相鄰著色方案共有21種，所以至少有兩個黑色正方形相鄰著色方案共有種著色方案，故分別填.解法二：把6個自上而下相連的正方形著黑色或白色，若黑色正方形互不相連，則黑色正方形的個數(shù)可以是0，1，2，3.由插空法知，著色方案數(shù)分別是1，它們的和是21.此即為所求答案.例2 2009年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題157:五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報數(shù)，規(guī)定：第一位同學(xué)首次報出的數(shù)為1，第二位同學(xué)首次報出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報出的數(shù)之和；若報出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報該數(shù)的同學(xué)需拍手一次.已知甲同學(xué)第一個報數(shù)，當(dāng)五位同學(xué)依序循環(huán)報到第100個數(shù)時，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為_.解：設(shè)第n個報數(shù)為，則，觀察這幾項可發(fā)現(xiàn)：為3的倍數(shù)，下用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)m=1時,是3的倍數(shù),假設(shè)為3的倍數(shù).利用遞推條件及假設(shè)有,上式最后兩項都是3的倍數(shù)，所以也是3的倍數(shù).由歸納原理知,對,為3的倍數(shù).學(xué)生甲所報數(shù)為，這些數(shù)中是3的倍數(shù)有，故學(xué)生甲拍手總數(shù)為5.3.3應(yīng)用推廣綜上所述，我們可以發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列主要應(yīng)用在：利用斐波那契數(shù)列的數(shù)字特征進行設(shè)計、規(guī)劃；利用該數(shù)列進行趨勢估計.現(xiàn)將斐波那契數(shù)列用于降雨量高峰時段的估計.如下圖是一些城市年降雨量的統(tǒng)計圖： 圖7 圖8 圖9 圖10通過觀察我國一些城市的降雨量統(tǒng)計圖和查閱相關(guān)資料可以發(fā)現(xiàn)，年降雨量高峰在7、8月當(dāng)中，在一年總天數(shù)的0.618附近.其實，通過統(tǒng)計觀察還可發(fā)現(xiàn)，很多時候月降雨量也呈現(xiàn)如此規(guī)律.我們或許可以猜測這可能與天體運行規(guī)律有關(guān)，這種猜測又一次帶給我們對斐波那契數(shù)列表征自然萬物和諧運作的神奇感受. 目前我們可以看到斐波那契數(shù)列在股市走勢估計、地質(zhì)災(zāi)害發(fā)生可能時間估計,潮汐漲落時間估計等方面的應(yīng)用研究.該數(shù)列一次又一次的見證了它與自然、社會、生活的極強吻合度，我們可以大膽地展開想象的翅膀，將來利用該數(shù)列進行河道水位預(yù)測、氣象溫度變化預(yù)測，甚至歷年考卷難度變化趨勢預(yù)測，斐波那契數(shù)列的神奇和獨特魅力正不斷引領(lǐng)我們?nèi)ヌ剿?、去發(fā)現(xiàn)和去創(chuàng)造。參考文獻：1 吳振奎,斐波那契數(shù)列欣賞M, 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2012. 1-18.2 李西明,生物世界中蘊藏的數(shù)學(xué)奧秘J,生物學(xué)通報,2012年，卷47，第1期：2325.3 郭帥, 美妙的斐波那契數(shù)列J, 數(shù)學(xué)教育研究，2012(2):5960.4 張青麗，張國艷, 由斐波那契數(shù)列談數(shù)學(xué)美J,北京廣播電視大學(xué)學(xué)報，2004(4)：46-49.5 吳曉求, 證券投資學(xué)M, 北京：中國人民大學(xué)出版社，2004.265269.6 宋建輝, 以“斐波那契數(shù)列”為背景的數(shù)學(xué)試題的賞析J,福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2012(3),23.7 甘志國, 湖北理科卷15、19、21題J, 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志：高中版，2011(7):5155.The magic of the Fibonacci sequence Lai Yu-tingAbstract: First introduces the background of the Fibonacci sequence and some history research; Then the sequence is given with the golden number, algebra, probability problems; The Fibonacci sequence is discussed in the end in the stock market and the application of the two aspe