幻方的探討及其初步應用.doc

幻方的探討及其初步應用第一章 介紹幻方的基本知識1.1 幻方的定義在一個由若干個排列整齊的數(shù)組成的正方形中,圖中每一行,每一列以及每條對角線的幾個數(shù)分別加起來所得的和都相等,具有這種性質(zhì)的圖表,稱為“幻方”.這個相等的數(shù)稱幻方常數(shù)或定數(shù).幻方的每條邊有幾格,就叫做幾階幻方.階幻方常數(shù),記作.不難算出.例如將圖1填成圖2后,就成為一個4階幻方.它的每一行,每一列以及每條對角線上個各數(shù)的和都等于常數(shù).11415481110512769132316 圖1 圖21.2幻方的歷史幻方的歷史很悠久.幻方又稱縱橫圖,九宮圖,最早記錄于我國古代的洛書.在古代,人們沒有認識到幻方是利用整數(shù)的某些特性構(gòu)成的,而把它看成神秘的東西.關于幻方的起源,我國有“河圖”和“洛書”之說.相傳在遠古時期,伏羲氏取得天下,把國家治理得井井有條,感動了上天,于是黃河中躍出一匹龍馬,背上馱著一張圖,作為禮物獻給他,這就是“河圖”,也是最早的幻方.伏羲氏憑借著“河圖”而演繹出了八卦,后來大禹治洪水時,洛水中浮出一只大烏龜,它的背上有圖有字,人們稱之為“洛書”.“洛書”所畫的圖中共有黑,白圓圈45個.把這些連在一起的小圓和數(shù)目表示出來,得到九個.這九個數(shù)就可以組成一個縱橫圖,人們把由九個數(shù)3行3列的幻方稱為3階幻方,除此之外,還有4階,5階. 后來,人們經(jīng)過研究,得出計算任意階數(shù)幻方的各行,各列,各條對角線上所有數(shù)的和的公式為 ,其中為幻方的階數(shù),所求的數(shù)為.幻方最早記載于我國公元前500年的春秋時期大戴禮中,這說明我國人民早在2500年前就已經(jīng)知道了幻方的排列規(guī)律.而在國外,公元130年,希臘人塞翁才第一次提起幻方.我國也是最早發(fā)現(xiàn)幻方的國家之一.公元13世紀的數(shù)學家楊輝已經(jīng)編制出310階幻方,記載在他1275年寫的續(xù)古摘廳算法一書中.在歐洲直到574年,德國著名畫家丟勒才繪制出了完整的四階幻方.而在國外,十二世紀的阿拉伯文獻也有六階幻方的記載,我國的考古學家們曾經(jīng)在西安發(fā)現(xiàn)了阿拉伯文獻上的五塊六階幻方,除了這些以外,歷史上最早的四階幻方是在印度發(fā)現(xiàn)的,那是一個完全幻方(后面會提到),而且比中國的楊輝還要早了兩百多年,印度人認為那是天神的手筆.幻方又叫魔方,日本人稱為方陣,我國稱為縱橫圖或方宮圖等.幾千年來,人們沒有中斷過對幻方的研究.整數(shù)的這種變幻迷離的玄妙性質(zhì),自古以來吸引著無數(shù)的數(shù)學愛好者.人們不僅造出了各種幻方,還找出了其中的某些規(guī)律.到了本世紀60年代,有人應用數(shù)論的方法,證明了任何階幻方的可構(gòu)造性.隨著科學的發(fā)展以及電子計算機的問世,幻方這個頗似數(shù)學游戲的古典題目日也受到重視.現(xiàn)在已經(jīng)有人編出任意高次的偶階幻方的計算程序,并編入“CACM程序匯編”.目前,幻方正在組合數(shù)學,圖論,博奕論以及程序設計.人工智能等等方面得到應用.1.3幻方的性質(zhì)一幻方的變換性質(zhì)我們在學關于幻方的知識時,對幻方數(shù)間的關系,幻方的構(gòu)造之謎等問題表現(xiàn)出了極大的興趣.并提出：三階幻方除了“每一行,每一列,每條對角線上的三個數(shù)字的和都是同一個常數(shù)15”這一性質(zhì)外,還有其它的性質(zhì)嗎？將-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4這9個數(shù)分別填入下圖方陣(幻方)中的9個空格中,使得橫,豎,斜對角的3個數(shù)之和為0. 1 2 3 4 1 2 4 5 6 7 5 3 7 8 9 8 9 6 (1) (2) (3)6 1 8 1 -4 3 7 5 3 2 0 -2 2 9 4 -3 4 -1 (4) (5)這種幻方是33幻方,通常是填19這9個數(shù),使得各行,各列,斜對角的三個數(shù)之和為15.填法是:先從左到右,從上到下,將19這9個數(shù)依次填入幻方中（如（2）；然后中心的5不動，周圍的8個數(shù)順時針轉(zhuǎn)一格（如（3）；再將（3）中的對角的數(shù)互換一下（如（4）,即為填19的答案.將（4）中每個數(shù)減去5（或加-5）,得（5）,即填-44的答案.其他填法與之類似.仔細體會上述填法從（4）到（5）這一步,我們發(fā)現(xiàn)它事實上提出了幻方的一種變換方式：變換1 將一個幻方中的各數(shù)同時加上（或減去）一個相同的數(shù)，得到的仍就是幻方.如,上面的圖（4）中每一行,每一列以及每條對角線的幾個數(shù)分別加起來所得的和都15,是個3階幻方，那么由變換1知道把圖（4）中的每行數(shù)字加上2或減去2可分別得到圖（6）,圖（7）.圖（6）中每行，每列及每條對角線的幾個數(shù)分別加起來所得的和是21，所以它是一個3階幻方.同理，圖（7）也是一個3階幻方.6+21+28+26-21-28-27+25+23+27-25-23-22+29+24+22-29-24-2 （6） （7）變換2 將一個幻方中的各數(shù)按一定順序（從大到小或從小到大）與一個等差數(shù)列中的各數(shù)對應相加（或減），得到的還是幻方.如（8）,（9）就是在（4）的基礎上按變換2得到的. 6+111+18+156-71-178-37+135+93+57-55-93-132+39+174+72-159-14-11 (8) (9)二幻方的對稱與方冪和性質(zhì)認真觀察（5）,我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)：關于中心數(shù)0對稱的兩個數(shù)互為相反數(shù).根據(jù)填幻方的要求（各行,各列,斜對角的三個數(shù)之和相等）和方冪的性質(zhì)（互為相反數(shù)的兩個數(shù)的偶次冪相等,而奇次冪互為相反數(shù)）,我們得到（5）的兩條奇妙性質(zhì)：（i） 關于中心行（列）對稱的兩行（列）的各數(shù)之和互為相反數(shù),且各數(shù)的奇次冪之和亦互為相反數(shù).（ii） 關于中心行（列）對稱的兩行（列）的各數(shù)之和相等,且各數(shù)的偶次冪之和亦相等.面對如此奇妙的性質(zhì),我們不盡浮想連翩：（4）,（6）（9）同樣都是幻方,它們也有這樣的性質(zhì)嗎？不難否定性質(zhì)（i）.現(xiàn)在我們以（4）為例來考察一下性質(zhì)（ii）.先取第一,三行： .所以 再取第1,3列 .所以 由此我們猜測：33幻方中,關于中心行（列）對稱的兩行（列）的各數(shù)之平方和相等.此猜想正確嗎？不妨嘗試著證明一下： 圖 10證明： 設（10）是一個33幻方,則,設,則,所以 所以 = = =所以 同理可證 .從而,上述猜想是正確的.第二章 低階幻方2.1 三階幻方三階幻方是最簡單的幻方由1,2,3,4,5,6,7,8,9 九個數(shù)字組成的一個三行三列的矩陣,其對角線,橫行,縱向的數(shù)字的和都15.我們可以這樣想：1+9=10,2+8=10,3+7=10,4+6=10.這每對數(shù)的和再加上5都等于 15,可確定中心格應填5,這四組數(shù)應分別填在橫,豎和對角線的位置上.先填四個角,若填兩對奇數(shù),那么因三個奇數(shù)的和才可能得奇數(shù),四邊上的格里已不可再填奇數(shù).若四個角分別填一對偶數(shù),一對奇數(shù),也行不通.因此,判定四個角上必須填兩對偶數(shù).對角線上的數(shù)填好后,其余格里再填奇數(shù)就很容易了,4 9 2 3 5 7 8 1 6 圖2-1三階幻方的解法第一種：楊輝法對洛書的構(gòu)造方法“九子斜排,上下對易,左右相更,四維挺出”,觀下圖2-2自明： 1 9 4 2 4 2 7 5 3 3 5 7 8 6 8 6 9 1 九子斜排（a） 上下對易,左右相更（b）4 9 2 4 9 2 3 5 7 3 5 7 8 1 6 8 1 6 四維挺出（c） 四方收攏（d） 圖2-2 洛書幻方的生成第二種：九宮圖也是3階幻方的別稱,三階幻方就是著名的洛書,他的排列是“戴九履一,右三左七,二四為肩,六八為足,五居中央（9在上中,1在下中.3在右中,7在左中,2在左上,4在右上,6在左下,8在右下）” 9 9 7 3 1 1 戴九履一 （1） 右三右七（2）2 9 4 2 9 4 7 3 7 3 1 6 6 1 8 二四為肩（3） 六八為足（4） 2 9 4 7 5 3 6 1 8 五居中央（5）第三種：羅伯法：最小的數(shù)據(jù)上行中央,依次向右上方斜填,上出框往下寫,右出框往左填,排重便在下格填,右上排重一個樣8 1 6 3 5 7 4 9 2 ,其中為幻方的階數(shù),所求的數(shù)為.2.2 四階幻方 楊輝稱4階幻方為“花十六圖”或“四四圖”,有陰陽兩式.在四階幻方中,一個頗為著名的幻方是印度太蘇神廟石碑上的幻方,如圖2-3,它刻于十一世紀.這個幻方中,不但每行每列每條對角線上的數(shù)字和為34,而且有20組某四行四列交叉點上的四個數(shù)字,它們的和也都為34,例如9+2+15+8=34.更為奇妙的是把這個幻方邊上的行或列移到另一邊上去,所得到的正方形排列仍是一個幻方4 9 5 16 14 7 11 2 15 6 10 3 1 12 8 13 圖2-3 楊輝4階幻方四階幻方的解法：楊輝4階幻方的生成方法是最簡單的,如；1) 4階陰圖是把這個數(shù)字按順序從上到下,自右至左填入4乘4的方陣.2) 內(nèi)外四個角對角上互補的數(shù)相易,（方陣分為兩個正方形,外大內(nèi)小,然后把大正方形的四個對角上的數(shù)字對換,小正方形四個對角上的數(shù)字對換）即（1 ,16）（4 ,13）互換 （6 ,11）（7 ,10）互換13 9 5 1 14 10 6 2 15 11 7 3 16 12 8 4 圖2-4其陽圖則是將陰圖逆時針轉(zhuǎn)90,然后1,2列互換,3,4列互換而成.2161334951611581014711279126156103144115112813(a)陽圖 (b)陰圖圖2-5 楊輝的4階幻另：對于階幻方,我們先把數(shù)字按順序填寫.寫好后,按把它劃分成個方陣.因為n是4的倍數(shù),一定能用的小方陣分割.然后把每個小方陣的對角線,像制作4階幻方的方法一樣,對角線上的數(shù)字換成互補的數(shù)字,就構(gòu)成幻方.2.3 五階幻方世界上最早出現(xiàn)的同心幻方是楊輝的“五五圖”,其中心數(shù)是13,中間是一個幻和為39的3階幻方,整體上又是幻和為65 的5階幻方.五階幻方就是把125個數(shù)字排列成下面的形式,使每一行,每一列,每條對角線上的五個數(shù)字和都相等.五階幻方的解法：1）楊輝法：九子斜排,上下對易,左右變更,四維突出.1.將55的正方形改畫成如圖2-6形狀.2.如圖2-7,將125這二十五個數(shù)字按斜排填入圖中.3.如圖2-8,將五階幻方圖外的12個數(shù)與圖中空格上,下?lián)Q位,左,右換位,填入到55奇數(shù)階幻方圖中.4.如圖2-9擦去五階幻方圖外部分線條和數(shù)據(jù)即可 圖2-61 6 2 11 7 3 16 12 8 4 21 17 13 9 5 22 18 14 10 23 19 15 24 20 25 圖2-7 1 6 2 11 24 7 20 3 16 4 12 25 8 16 4 21 17 5 13 21 9 5 22 10 18 1 14 22 10 23 6 19 2 15 24 20 25 圖2-811 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15 圖2-92）羅伯法：最小的數(shù)據(jù)上行中央,依次向右上方斜填,上出框往下寫,右出框往左填,排重便在下格填,右上排重一個樣. 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 圖2-10 （在最上一行的中間填1,接著在1的右上方填2,由于1在最上一行,所以1的右上方應該是第五行的第四個,接下來在2的右上方填3,3的右上方應該是第三行第一個,所以在此填4,在4的右上方填5,在5的下方填6,接著按前面五個數(shù)的填法依次填7,8,9,10;在10的下方填11,然后按上面的方法填,每次填五個數(shù),直到完成.無論從上到下還是從左到右都是五排,所以每排的五個數(shù)之和為(1+2+3+4+25)5=65,因此,你可以驗算一下是否每個和都是65.此法適合于一切奇階幻方.）2.4 六階幻方6階幻方是個數(shù)字排列成下面的形式,使每一行,每一列,每條對角線上的六個數(shù)字和均為111的幻方.六階幻方的制作步驟：1.如圖2-11,將136這36個數(shù)中間的16個數(shù)1126排成一個四階幻方.2.將剩余的20個數(shù)分成兩組,使相對應的兩個數(shù)的和均為37.小數(shù)組： 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | | | |大數(shù)組： 36,35,34,33,32,31,30,29,28,27.3.如圖2-12,將1,2,35,36分別填入四個角.4.如圖2-13,將3,4,5,9,28,32,33,34填入第一行和第六行.使第一行和第六行的六個數(shù)的和均為111.5.如圖2-14,將剩余的八個數(shù)填入第一列和第六列中,使每一列和每一行六個數(shù)的和均為111,這樣就制作成了一個六階幻方. 1 2 11 25 24 14 11 25 24 14 22 16 17 19 22 16 17 19 18 20 21 15 18 20 21 15 23 13 12 26 23 13 12 26 35 36 圖 2-11 圖2-121 34 33 32 9 2 1 34 33 32 9 2 11 25 24 14 29 11 25 24 14 8 22 16 17 19 30 22 16 17 19 7 18 20 21 15 6 18 20 21 15 31 23 13 12 16 10 23 13 12 26 27 35 3 4 5 28 36 35 3 4 5 28 36 圖2-13 圖2-14第三章 研究某些特殊幻方的構(gòu)造我們再研究幾種具有特殊性質(zhì)的幻方,即對稱幻方,本章主要介紹圓筒幻方和超級幻方.3.1 對稱幻方一個 階幻方如果其對稱于中心的兩數(shù)的和都等于,則稱為對稱幻方.例如圖3-1的5階幻方就是對稱幻方.易知對稱幻方中關于中心對稱的個數(shù)的和都等于幻方常數(shù).例如圖3-1中下列各組數(shù)：17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9圖3-124,1,13,15,2；5,7,13,19,21；24,7,13,19,2；17,6,13,20,9；17,1,13,25,9；24,8,13,18,2； 17,15,13,11,9； 5,14,13,12,21；15,5,13,21,11； 1,13,25,4,22；8,16,13,10,18；7,6,13,20,19其和都等于65.是否任何階數(shù)都能做出對稱幻方？如何做出對稱幻方呢？下面來分析這兩個問題.對于奇階情形,依下法可以做出對稱幻方，在奇階方陣第1行中間列上填數(shù)1（參照圖3-2的5階情形）,然后按照圓筒法則向右上方按自然數(shù)順序填數(shù),至數(shù)恰與數(shù)1相遇.再在數(shù)的下一行同列填數(shù),然后按照上述方法進行填空（參照圖3-2）,直至填完個數(shù)（參見圖3-1）,得到對稱幻方. 18574632圖3-2對于雙偶階的情形,由環(huán)形作法可知,凡用環(huán)形法作出的雙偶階幻方都是對稱幻方.以四階幻方為例,先自左至右,再自右至左順序填寫,過半后先自右至左,再自左至右順序填寫各數(shù)，則各列已互換了兩對數(shù).再將中間兩列依行對稱交換,也即上下的順序顛倒過來,則各行,列均已交換了兩對數(shù),而且由于調(diào)換的行,列對稱,故兩對角線上的數(shù)仍換到原線上，于是得到的四階幻方（圖3-3）.我們把它旋轉(zhuǎn)90得到圖3-4.1141541312818111052711141276936101513231616954 圖3-3 圖3-4 圖3-4是用環(huán)形法做出的4階對稱幻方.用調(diào)動對角線上的數(shù)到對稱位置上去的方法也可做出對稱幻方.可以證明對于單偶階（2k階,k為奇數(shù)）情形不能做出對稱你換幻方.以6階幻方為例.根據(jù)對稱幻方的定義,若有6階對稱幻方,則應形如圖3-5.于是有：A B C D E F G H K L M N P Q R S T V 37-V 37-T 37-S 37-R 37-Q 37-P 37-N 37-M 37-L 37-K 37-H 37-G 37-F 37-E 37-D 37-C 37-B 37-A 圖 3-5 將后5式相加減去第1式得到因為上式左邊恒為偶數(shù),右邊為奇數(shù),故不可能成立,因此6階對稱幻方不存在.同理可證明不存在單偶階對稱幻方.3.2 圓筒幻方一個階幻方,如果不但各行各列,而且對角線組的每條線上各數(shù)的和都等于幻方常數(shù),則稱為圓筒幻方.下面討論圓筒幻方的作法: 1.超馬步法作圓筒幻方先給出作5階圓筒幻方的馬步作法.圖3-6是5階自然方陣,第一列的數(shù)為1,6,11,16,21.如圖3-7所示,在第一行第一列填1.然后依圓筒法則并按中國象棋的 馬步（向左11格向下2格）填寫6,11,16,21 諸數(shù).然后由所填各行首數(shù)起按右1下2的馬步填寫其他數(shù)（如圖3-8所示）,則得到5階圓筒幻方如圖3-9.它的每行,每列以及左右兩組10條對角線上每條各數(shù)的和都是65.把幻方左右連成圓筒.1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 16 11 12 13 14 15 6 16 17 18 19 20 21 21 22 23 24 25 11 圖3-6 圖3-71 1 14 22 10 18 16 4 25 8 16 4 12 2 6 19 2 15 23 6 21 5 13 21 9 17 5 3 11 7 20 3 11 24 圖3-8 圖3-9狀沿任一列線切開,或把幻方上下連成圓筒狀沿任一行線切開,再把它鋪開,其圓筒幻方的性質(zhì)不變.現(xiàn)在我們用數(shù)學方法來描述走馬步的方法.我們把向下移一格的動作叫做,向上移一格的動作叫做-,向右移一格的動作叫做,向左移一格的動作叫做-.用表示向下二格向左一格的馬步,用表示向下二格向右一格的馬步,則 (1) (2)于是有 (3) (4)把向右下方斜走一格叫,向左下方斜走一格叫, (5) (6) (7) (8)對于5階情形,由圓筒法則,如果兩數(shù)之差為5的倍數(shù),則這兩數(shù)可看作是同等的.例如4與-1 ,3與-2,可以互用.于是,式（1）至式（8） 可以寫成: 00234114324412300321330124421022401331041134022043圖3-10注意上面的走馬步法則（參見圖3-10）中,作移動時五進制數(shù)的個位數(shù)數(shù)字不變,五位數(shù)數(shù)字增加1,而作移動時五位數(shù)數(shù)字不變,個位數(shù)數(shù)字增加1.因此,由上面的公式知向下一格（即作移動）則應由原數(shù)加五進制數(shù)44；向右一格（即作y移動則應加23；向右下方斜走一格（即作移動）則應加12；向左下方斜走一格（即作移動）則應加21；若該位數(shù)加后得到大于4的數(shù),則減去5使回到0 ,1 ,2 ,3,4的某一數(shù).這樣,由某一個數(shù)出發(fā),可以求出方陣內(nèi)所有的數(shù),使方陣具備圓筒幻方的性質(zhì).將五進制數(shù)化十進制數(shù),再將每個數(shù)加1,則得到習慣上的十進制圓筒幻方. 根據(jù)上述的分析,我們來討論較易般的圓筒幻方的馬步作法.把階方陣中下移格右移格記為,下移格右移格記為,并稱之為超馬步. , ,的意義如上.容易推出下列公式： 按前面公式,作P移動時進制數(shù)的個位數(shù)數(shù)字不變,位數(shù)數(shù)字加1；作Q移動時個位數(shù)數(shù)字加1,位數(shù)數(shù)字不變.數(shù)學上可以證明,當, 與沒有公因子時,可以解得 其中, 為整數(shù),使下移1格能夠辦到,并且每一列上的數(shù)不論是個位還是都能取遍0,1,2,3,-1諸數(shù).為使右移,斜移也能辦到并得到同樣性質(zhì),還須,諸數(shù)與無公因子.因此,用超馬步法作階圓筒幻方的條件是下列諸數(shù)與無公因子，.以7階圓筒幻方為例.取馬步為 ， 則=1，=4 , =2 , =3 , =-3 ,=-1 ,=5 ,=5 ,=-5,滿足上面所述的條件,故可做出圓筒幻方如圖3-11.00645145322613554234231004613320140165524611056256433024565340342115024431251206635022160360544135 圖3-11當上述用超馬步法作圓筒幻方的條件不滿足的時候,雖不能做出圓筒幻方,但用適當?shù)某R步可以做出別的奇階幻方.下面舉個例子,圖3-12是用像步法做成的5階對稱幻方（自然方陣每行首數(shù)置數(shù)法是后一行的首數(shù)置于前一行的尾數(shù)下方）.12912320181574212416131025221911863251714 圖3-12 對于偶階的情形,上述超馬步法作圓筒幻方的條件不滿足.那么,究竟有你有偶階圓筒幻方呢？回答是肯定的.例如圖3-13就是一個4階圓筒幻方.可見上面所述的條件是12631311510814451179162 圖3-13充分而不必要的.當不滿足條件時,可用作拉丁方法作圓筒幻方.2拉丁方法作圓筒幻方用超馬步法作圓筒幻方,必須與, ,無公因子時才能做出.因此偶階,階等圓筒幻方不能用超馬步法做出.現(xiàn)在以4階為例,用拉丁方法加以研究.1） 先做出左上角為1的拉丁方如圖3-141234 1432+d341232142143234143214123 （1） （2）1234 1432432141232143234134123214 （3） （4）1324 1324241342313142314242312413 （5） （6）1423 1423231441323241324114322314 （7） （8）圖 3-14 2）把圖3