一共有那些完全數(shù)

一共有那些完全數(shù) 完全數(shù) 定義 若一個自然數(shù) 恰好與除去它本身以外的一切因數(shù)的和相等 這種數(shù)叫做完全數(shù) 例如 6 1 2 3 28 1 2 4 7 14 496 1 2 4 8 16 31 62 124 8128 1 2 4 8 16 32 64 127 254 508 1016 2032 4064 疑難問題 1 到底有多少完全數(shù) 尋找完全數(shù)并不是容易的事 經過不少數(shù)學家研究 到目前為止 一共找到了 40 多個完全數(shù) 2 有沒有奇完全數(shù) 奇怪的是 已發(fā)現(xiàn)的 44 個 完全數(shù)都是偶數(shù) 會不會有奇完全數(shù)存在呢 如果存在 它必須大于 10 120 至今無人能回答這些問題 公式 大數(shù)學家歐幾里德曾推算出完全數(shù)的獲得公式 如果 2 p 1 質數(shù) 那么 2 p 1 2 p 1 便是一個完全數(shù) p 2 2 p 1 3 是質數(shù) 2 p 1 2 p 1 3X2 6p 3 2 p 1 7 是質 數(shù) 2 p 1 2 p 1 7X4 28 但是 2 p 1 什么條件下才是質數(shù)呢 當 2 p 1 是質數(shù)的時候 稱其為梅森素數(shù) 顧名思義 就是梅森第一個系統(tǒng)地研究這種形 式的素數(shù)的 事實上 至今 2006 9 4 為止 人類只發(fā)現(xiàn)了 44 個梅森素數(shù) 也就是只發(fā)現(xiàn) 了 44 個完全數(shù) 梅森素數(shù)表 序號 p 位數(shù) 發(fā)現(xiàn)時間 發(fā)現(xiàn)者 reference 1 2 1 無從考究 無從考究 2 3 2 無從考究 無從考究 3 5 3 無從考究 無從考究 4 7 4 無從考究 無從考究 5 13 8 1461 Reguis 1536 Cataldi 1603 6 17 12 1588 Cataldi 1603 7 19 19 1588 Cataldi 1603 8 31 10 1750 Euler 1772 9 61 19 1883 Pervouchine 1883 Seelhoff 1886 10 89 27 1911 Powers 1911 11 107 33 1913 Powers 1914 12 127 39 1876 Lucas 1876 13 521 157 Jan 30 1952 Robinson 1954 14 607 183 Jan 30 1952 Robinson 1954 15 1279 386 Jun 25 1952 Robinson 1954 16 2203 664 Oct 7 1952 Robinson 1954 17 2281 687 Oct 9 1952 Robinson 1954 18 3217 969 Sep 8 1957 Riesel 19 4253 1281 Nov 3 1961 Hurwitz 20 4423 1332 Nov 3 1961 Hurwitz 21 9689 2917 May 11 1963 Gillies 1964 22 9941 2993 May 16 1963 Gillies 1964 23 11213 3376 Jun 2 1963 Gillies 1964 24 19937 6002 Mar 4 1971 Tuckerman 1971 25 21701 6533 Oct 30 1978 Noll and Nickel 1980 26 23209 6987 Feb 9 1979 Noll Noll and Nickel 1980 27 44497 13395 Apr 8 1979 Nelson and Slowinski 28 86243 25962 Sep 25 1982 Slowinski 29 110503 33265 Jan 28 1988 Colquitt and Welsh 1991 30 132049 39751 Sep 20 1983 Slowinski 31 216091 65050 Sep 6 1985 Slowinski 32 756839 227832 Feb 19 1992 Slowinski and Gage 33 859433 258716 Jan 10 1994 Slowinski and Gage 34 1257787 378632 Sep 3 1996 Slowinski and Gage 35 1398269 420921 Nov 12 1996 Joel Armengaud GIMPS 36 2976221 895832 Aug 24 1997 Gordon Spence GIMPS 37 3021377 909526 Jan 27 1998 Roland Clarkson GIMPS 38 6972593 2098960 Jun 1 1999 Nayan Hajratwala GIMPS 39 13466917 4053946 Nov 14 2001 Michael Cameron GIMPS 40 20996011 6320430 Nov 17 2003 Michael Shafer GIMPS 41 24036583 7235733 May 15 2004 Josh Findley GIMPS 42 25964951 7816230 Feb 18 2005 Martin Nowak GIMPS 43 30402457 9152052 Dec 15 2005 Curtis Cooper and Steven Boone GIMPS 44 32582657 9808358 Sep 4 2006 Curtis Cooper and Steven Boone GIMPS 第 44 個梅森素數(shù)是現(xiàn)今人類已知的最大的素數(shù) 完全數(shù) 完全數(shù) Perfect number 又稱完美數(shù) 是一些特殊的自然數(shù) 定義定義 編輯本段 若一個自然數(shù) 它所有的真因子 即除了自身以外的約數(shù) 的和恰好等于 它本身 這種數(shù)叫做完全數(shù) 完全數(shù)完全數(shù) 又稱完美數(shù)完美數(shù)或完備數(shù)完備數(shù) 是一些特殊的自然數(shù) 它所有的真因子 即除了自身以外的約數(shù) 的和 即因子函數(shù) 恰好等于它本身 例如 第一個完全數(shù)是 6 它有約數(shù) 1 2 3 6 除去它本身 6 外 其余 3 個數(shù)相加 1 2 3 6 第二個完全數(shù)是 28 它有約數(shù) 1 2 4 7 14 28 除去它本身 28 外 其余 5 個數(shù)相加 1 2 4 7 14 28 后面的數(shù)是 496 8128 等等 例如 6 1 2 3 28 1 2 4 7 14 496 1 2 4 8 16 31 62 124 248 8128 1 2 4 8 16 32 64 127 254 508 1016 2032 4064 對于 4 這個數(shù) 它的真因子有 1 2 其和是 3 由于 4 本身比其真因子 之和要大 這樣的數(shù)叫做虧數(shù) 對于 12 這個數(shù) 它的真因子有 1 2 3 4 6 其和是 16 由于 12 本身比其真因子之和要小 這樣的數(shù)就叫 做盈數(shù) 那么有沒有既不盈余 又不虧欠的數(shù)呢 即等于它自己的所有真因子 之和的數(shù) 這樣的數(shù)就叫做完全數(shù) 性質性質 編輯本段 完全數(shù)有許多有趣的性質 它們都能寫成連續(xù)自然數(shù)之和 如 6 1 2 3 28 1 2 3 4 5 6 7 496 1 2 3 30 31 它們的全部因數(shù)的倒數(shù)之和都是 2 因此每個完全數(shù)都是調和數(shù) 如 1 1 1 2 1 3 1 6 2 1 1 1 2 1 4 1 7 1 14 1 28 2 3 除了 6 之外 都有這樣的一個性質 如 28 2 8 10 1 0 1 496 4 9 6 19 1 9 10 1 0 1 歷史歷史 編輯本段 公元前 6 世紀的畢達哥拉斯是最早研究完全數(shù)的人 他已經知道 6 和 28 是 完全數(shù) 畢達哥拉斯曾說 6 象征著完滿的婚姻以及健康和美麗 因為它的 部分是完整的 并且其和等于自身 不過 或許印度人和希伯來人早就知道 它們的存在了 有些 圣經 注釋家認為 6 和 28 是上帝創(chuàng)造世界時所用的基本 數(shù)字 他們指出 創(chuàng)造世界花了六天 二十八天則是月亮繞地球一周的日數(shù) 圣 奧古斯丁說 6 這個數(shù)本身就是完全的 并不因為上帝造物用了六天 事 實恰恰相反 因為這個數(shù)是一個完數(shù) 所以上帝在六天之內把一切事物都造好 了 即使沒有上帝創(chuàng)造世界這種事 6 仍舊不失其為完數(shù) 完全數(shù)誕生后 吸引著眾多數(shù)學家與業(yè)余愛好者像淘金一樣去尋找 它很 久以來就一直對數(shù)學家和業(yè)余愛好者有著一種特別的吸引力 他們沒完沒了地 找尋這一類數(shù)字 接下去的兩個完數(shù)看來是公元 1 世紀 畢達哥拉斯學派成員 尼克馬修斯發(fā)現(xiàn)的 他在其 數(shù)論 一書中有一段話如下 也許是這樣 正如 美的 卓絕的東西是罕有的 是容易計數(shù)的 而丑的 壞的東西卻滋蔓不已 是以盈數(shù)和虧數(shù)非常之多 雜亂無章 它們的發(fā)現(xiàn)也毫無系統(tǒng) 但是完全數(shù)則 易于計數(shù) 而且又順理成章 因為在個位數(shù)里只有一個 6 十位數(shù)里也只有一 個 28 第三個在百位數(shù)的深處 是 496 第四個卻在千位數(shù)的尾巴上 接近一 萬 是 8128 它們具有一致的特性 尾數(shù)都是 6 或 8 而且永遠是偶數(shù) 第五 個完全數(shù)要大得多 是 33550336 它的尋求之路也艱難得多 直到十五世紀才 由一位無名氏給出 這一尋找完全數(shù)的努力從來沒有停止 電子計算機問世后 人們借助這一有力的工具繼續(xù)探索 笛卡爾曾公開預言 能找出完全數(shù)是不 會多的 好比人類一樣 要找一個完美人亦非易事 時至今日 人們一直沒 有發(fā)現(xiàn)有奇完全數(shù)的存在 于是是否存在奇完全數(shù)成為數(shù)論中的一大難題 目 前 只知道即便有 這個數(shù)也是非常之大 并且需要滿足一系列苛刻的條件 疑難問題疑難問題 編輯本段 到底有多少完全數(shù) 尋找完全數(shù)并不是容易的事 經過不少數(shù)學家研究 到目前為止 一共找到了 46 個完全數(shù) 有沒有奇完全數(shù) 奇怪的是 已發(fā)現(xiàn)的 46 個完全數(shù)都是偶數(shù) 會不會有 奇完全數(shù)存在呢 如果存在 它必須大于 10 300 至今無人能回答這些問題 盡管沒有發(fā)現(xiàn)奇完全數(shù) 但是當代數(shù)學家奧斯丁 歐爾證明 若有奇完全 數(shù) 則其形式必然是 12p 1 或 36p 9 的形式 其中 p 是素數(shù) 在 10 18 以 下的自然數(shù)中奇完全數(shù)是不存在的 完全數(shù)公式完全數(shù)公式 編輯本段 大數(shù)學家歐幾里德曾推算出完全數(shù)的獲得公式 如果 2 p 1 質數(shù) 那么 2 p 1 2 p 1 便是一個完全數(shù) p 2 2 p 1 3 是質數(shù) 2 p 1 2 p 1 3X2 6 p 3 2 p 1 7 是質數(shù) 2 p 1 2 p 1 7X4 28 但是 2 p 1 什么條件 下才是質數(shù)呢 當 2 p 1 是質數(shù)的時候 稱其為梅森素數(shù) 顧名思義 就是梅森第一個系 統(tǒng)地研究這種形式的素數(shù)的 事實上 至今 人類只發(fā)現(xiàn)了 46 個梅森素數(shù) 也 就是只發(fā)現(xiàn)了 46 個完全數(shù) 完全數(shù)判斷完全數(shù)判斷 編輯本段 有了完全數(shù)公式 對于一個數(shù)是否是完全數(shù) 只要代入公式一試即可 例 求 a p k 是否為完全數(shù) p 奇素數(shù) k N 解 按完全數(shù)公式 2 p k 1 p p 2 pk pk 1 p 1 pk 左邊 2 p k 右邊 pk 1 p 1 pk 2 p k 該題無解 a pk 不是完全數(shù) PASCAL 程序 判斷 A B 區(qū)域內的完全數(shù)為 program wanquanshu var i a b longint function wanquanshu i longint boolean var sum k longint begin sum 1 for k 2 to i div 2 do if i mod k 0 then sum sum k if i sum then wanquanshu true else wanquanshu false end begin repeat readln a b until a 0 and b 0 and b a for i a to b do if wanquanshu i then writeln i end 利用利用 VBVB 編程求編程求 1000010000 以內完全數(shù)以內完全數(shù) Dim a b c As Integer For a 1 To 10000 c 0 For b 1 To a 2 If a Mod b 0 Then c c b Next b If a c Then Print Str a Next a 利用利用 C C 語言編程求語言編程求 10001000 以內完全數(shù)以內完全數(shù) main int i j sum for i 2 i 100 i sum 0 for j 1 j i 2 j if i j 0 sum sum j if sum i printf 4d i 梅森素數(shù)和完全數(shù)表梅森素數(shù)和完全數(shù)表 編輯本段 由完全數(shù)公式可知 完全數(shù)和梅森素數(shù)存在對應關系 因此列出梅森素數(shù) 表 就可以得出完全數(shù)表 梅森素數(shù)表梅森素數(shù)表 序號 p 位數(shù) 發(fā)現(xiàn)時間 發(fā)現(xiàn)者 reference 1 2 1 無從考究 無從考究 2 3 2 無從考究 無從考究 3 5 3 無從考究 無從考究 4 7 4 無從考究 無從考究 5 13 8 1461 Reguis 1536 Cataldi 1603 6 17 12 1588 Cataldi 1603 7 19 19 1588 Cataldi 1603 8 31 10 1750 Euler 1772 9 61 19 1883 Pervouchine 1883 Seelhoff 1886 10 89 27 1911 Powers 1911 11 107 33 1913 Powers 1914 12 127 39 1876 Lucas 1876 13 521 157 Jan 30 1952 Robinson 1954 14 607 183 Jan 30 1952 Robinson 1954 15 1279 386 Jun 25 1952 Robinson 1954 16 2203 664 Oct 7 1952 Robinson 1954 17 2281 687 Oct 9 1952 Robinson 1954 18 3217 969 Sep 8 1957 Riesel 19 4253 1281 Nov 3 1961 Hurwitz 20 4423 1332 Nov 3 1961 Hurwitz 21 9689 2917 May 11 1963 Gillies 1964 22 9941 2993 May 16 1963 Gillies 1964 23 11213 3376 Jun 2 1963 Gillies 1964 24 19937 6002 Mar 4 1971 Tuckerman 1971 25 21701 6533 Oct 30 1978 Noll and Nickel 1980 26 23209 6987 Feb 9 1979 Noll Noll and Nickel 1980 27 44497 13395 Apr 8 1979 Nelson and Slowinski 28 86243 25962 Sep 25 1982 Slowinski 29 110503 33265 Jan 28 1988 Colquitt and Welsh 1991 30 132049 39751 Sep 20 1983 Slowinski 31 216091 65050 Sep 6 1985 Slowinski 32 756839 227832 Feb 19 1992 Slowinski and Gage 33 859433 258716 Jan 10 1994 Slowinski and Gage 34 1257787 378632 Sep 3 1996 Slowinski and Gage 35 1398269 420921 Nov 12 1996 Joel Armengaud GIMPS 36 2976221 895832 Aug 24 1997 Gordon Spence GIMPS 37 3021377 909526 Jan 27 1998 Roland Clarkson GIMPS 38 6972593 2098960 Jun 1 1999 Nayan Hajratwala GIMPS 39 13466917 4053946 Nov 14 2001 Michael Cameron GIMPS 40 20996011 6320430 Nov 17 2003 Michael Shafer GIMPS 41 24036