高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí) 專題02 函數(shù)的概念與性質(zhì)課件.ppt

第二講函數(shù)的概念和性質(zhì) 一 基礎(chǔ)知識(shí)整合 1 函數(shù)的概念一般地 設(shè)a b是兩個(gè)非空的數(shù)集 如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f 使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)數(shù)x 在集合b中都有f x 和它對(duì)應(yīng) 那么就稱f a b為從集合a到集合b的一個(gè) 記作y f x x a 其中 x叫做 x的取值范圍a叫做函數(shù)的 與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做 其集合 f x x a 叫做函數(shù)的 唯一確定的數(shù) 函數(shù) 自變量 定義域 函數(shù)值 值域 2 函數(shù)的表示方法 1 解析法 就是用 表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法 2 圖象法 就是用 表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法 3 列表法 就是 來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法 3 構(gòu)成函數(shù)的三要素 1 函數(shù)的三要素是 2 兩個(gè)函數(shù)相等 如果兩個(gè)函數(shù)的 相同 并且 完全一致 則稱這兩個(gè)函數(shù)相等 數(shù)學(xué)表達(dá)式 圖象 列出表格 定義域 對(duì)應(yīng)關(guān)系 值域 定義域 對(duì)應(yīng)關(guān)系 4 分段函數(shù)若函數(shù)在定義域的不同子集上的對(duì)應(yīng)關(guān)系也不同 這種形式的函數(shù)叫做分段函數(shù) 它是一類重要的函數(shù) 5 映射的概念一般地 設(shè)a b是兩個(gè)非空的集合 如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f 使對(duì)于集合a中的 元素x 在集合b中都有 元素y與之對(duì)應(yīng) 那么就稱對(duì)應(yīng)f a b為從集合a到集合b的一個(gè)映射 任意一個(gè) 唯一確定的 6 映射與函數(shù)的關(guān)系 1 聯(lián)系 映射的定義是在函數(shù)的現(xiàn)代定義 集合語言定義 的基礎(chǔ)上引申 拓展而來的 函數(shù)是一種特殊的 2 區(qū)別 函數(shù)是從非空數(shù)集a到非空數(shù)集b的映射 對(duì)于映射而言 a和b不一定是數(shù)集 7 復(fù)合函數(shù)一般地 對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y f u 和u g x 如果通過變量u y可以表示成x的函數(shù) 那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y f u 和u g x 的復(fù)合函數(shù) 記作y f g x 其中y f u 叫做復(fù)合函數(shù)y f g x 的外層函數(shù) u g x 叫做y f g x 的內(nèi)層函數(shù) 映射 8 函數(shù)的單調(diào)性 1 增函數(shù)與減函數(shù)一般地 設(shè)函數(shù)f x 的定義域?yàn)閕 如果對(duì)于定義域i內(nèi)某個(gè)區(qū)間d上的自變量的值x1 x2 當(dāng)x1 x2時(shí) 都有f x1 f x2 那么就說函數(shù)f x 在區(qū)間d上是 如果對(duì)于定義域i內(nèi)某個(gè)區(qū)間d上的自變量的值x1 x2 當(dāng)x1 x2時(shí) 都有f x1 f x2 那么就說函數(shù)f x 在區(qū)間d上是 2 單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y f x 在區(qū)間d上是增函數(shù)或減函數(shù) 那么就說函數(shù)y f x 在這一區(qū)間具有 嚴(yán)格的 區(qū)間d叫做y f x 的 任意兩個(gè) 增函數(shù) 任意兩個(gè) 減函數(shù) 單調(diào)性 單調(diào)區(qū)間 9 奇 偶函數(shù)的概念 1 偶函數(shù)一般地 如果對(duì)于函數(shù)f x 的定義域內(nèi)任意一個(gè)x 都有 那么函數(shù)f x 就叫做偶函數(shù) 2 奇函數(shù)一般地 如果對(duì)于函數(shù)f x 的定義域內(nèi)任意一個(gè)x 都有 那么函數(shù)f x 就叫做奇函數(shù) 10 奇 偶函數(shù)的圖象特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱 奇函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱 f x f x f x f x y軸 原點(diǎn) 11 具有奇偶性函數(shù)的定義域的特點(diǎn)具有奇偶性函數(shù)的定義域關(guān)于 即 定義域關(guān)于 是 一個(gè)函數(shù)具有奇偶性 的條件 12 周期函數(shù)的概念 1 周期 周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)f x 如果存在一個(gè)t 使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的值時(shí) 都有 那么函數(shù)f x 就叫做周期函數(shù) t叫做這個(gè)函數(shù)的周期 2 最小正周期如果在周期函數(shù)f x 的所有周期中存在一個(gè)的正數(shù) 那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f x 的最小正周期 非零常數(shù) 每一個(gè) f x t f x 最小 13 函數(shù)奇偶性與單調(diào)性之間的關(guān)系 1 若函數(shù)f x 為奇函數(shù) 且在 a b 上為增 減 函數(shù) 則f x 在 b a 上為 2 若函數(shù)f x 為偶函數(shù) 且在 a b 上為增 減 函數(shù) 則f x 在 b a 上為 14 奇 偶函數(shù)的 運(yùn)算 共同定義域上 奇 奇 偶 偶 奇 奇 偶 偶 奇 偶 增 減 函數(shù) 減 增 函數(shù) 奇 偶 偶 偶 奇 15 函數(shù)的對(duì)稱性如果函數(shù)f x x d 滿足 x d 恒有f a x f b x 那么函數(shù)的圖象有對(duì)稱軸 如果函數(shù)f x x d 滿足 x d 恒有f a x f b x 那么函數(shù)的圖象有對(duì)稱中心 16 函數(shù)的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系 1 如果函數(shù)f x x d 在定義域內(nèi)有兩條對(duì)稱軸x a x b a b 則函數(shù)f x 是周期函數(shù) 且周期t 2 b a 不一定是最小正周期 下同 2 如果函數(shù)f x x d 在定義域內(nèi)有兩個(gè)對(duì)稱中心a a 0 b b 0 a b 那么函數(shù)f x 是周期函數(shù) 且周期t 2 b a 3 如果函數(shù)f x x d在定義域內(nèi)有一條對(duì)稱軸x a和一個(gè)對(duì)稱中心b b 0 a b 那么函數(shù)f x 是周期函數(shù) 且周期t 4 b a 17 函數(shù)的零點(diǎn) 1 定義對(duì)于函數(shù)y f x x d 把使成立的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y f x x d 的零點(diǎn) 2 函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根 函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)間的關(guān)系 方程f x 0有實(shí)數(shù)根 函數(shù)y f x 的圖象與有交點(diǎn) 函數(shù)y f x 有 3 函數(shù)零點(diǎn)的判定 零點(diǎn)存在性定理 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線 并且有 那么函數(shù)y f x 在區(qū)間 內(nèi)有零點(diǎn) 即存在c a b 使得 這個(gè)c也就是方程f x 0的根 f x 0 x軸 零點(diǎn) f a f b 0 a b f c 0 二 熱點(diǎn)題型展示 類型一函數(shù)和映射的概念下列對(duì)應(yīng)是集合p上的函數(shù)的是 p z q n 對(duì)應(yīng)關(guān)系f 對(duì)集合p中的元素取絕對(duì)值與集合q中的元素相對(duì)應(yīng) p 1 1 2 2 q 1 4 對(duì)應(yīng)關(guān)系f x y x2 x p y q p 三角形 q x x 0 對(duì)應(yīng)關(guān)系f 對(duì)p中三角形求面積與集合q中元素對(duì)應(yīng) 答案 解析 由于 中集合p中元素0在集合q中沒有對(duì)應(yīng)元素 而 中集合p不是數(shù)集 所以 和 都不是集合p上的函數(shù) 由題意知 正確 故填 名師點(diǎn)睛 1 函數(shù)是一種特殊的對(duì)應(yīng) 要檢驗(yàn)給定的兩個(gè)變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系 只需要檢驗(yàn) 定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否給出 根據(jù)給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系 自變量x在其定義域內(nèi)的每一個(gè)值是否都有唯一確定的函數(shù)值y與之對(duì)應(yīng) 集合p q是否為非空數(shù)集 2 兩個(gè)函數(shù)相等的充要條件是它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致 與函數(shù)的自變量和因變量用什么字母表示無關(guān) 在對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡變形時(shí)應(yīng)注意定義域是否發(fā)生改變 即是否是等價(jià)變形 對(duì)于含絕對(duì)值的函數(shù)式可以展開為分段函數(shù)后再判斷 1 若函數(shù)y f x 的定義域?yàn)閙 x 2 x 2 值域?yàn)閚 y 0 y 2 則函數(shù)y f x 的圖象可能是 解析a中函數(shù)定義域不是 2 2 c中圖象不表示函數(shù) d中函數(shù)值域不是 0 2 答案b 二 自主小測 答案d 答案c 答案b 答案c 答案2 三 熱點(diǎn)題型展示 類型一求函數(shù)的定義域 名師點(diǎn)睛 求函數(shù)定義域的類型及求法 1 已知函數(shù)的解析式 則構(gòu)造使解析式有意義的不等式 組 求解 2 對(duì)實(shí)際問題 由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式 組 求解 3 若已知f x 的定義域?yàn)?a b 則f g x 的定義域可由a g x b求出 若已知f g x 的定義域?yàn)?a b 則f x 的定義域?yàn)間 x 在x a b 時(shí)的值域 類型二求函數(shù)的解析式 名師點(diǎn)睛 求函數(shù)解析式的常用方法 1 待定系數(shù)法 若已知函數(shù)的類型 可用待定系數(shù)法 2 換元法 已知復(fù)合函數(shù)f g x 的解析式 可用換元法 此時(shí)要注意新元的取值范圍 解析根據(jù)分段函數(shù)的意義 f 2 1 log2 2 2 1 2 3 又log212 1 f log212 2 log212 1 2log26 6 因此f 2 f log212 3 6 9 答案c 類型三分段函數(shù) 名師點(diǎn)睛 1 根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值 首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間 其次選定相應(yīng)的解析式代入求解 2 已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時(shí) 應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解 但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍 提醒當(dāng)分段函數(shù)的自變量范圍不確定時(shí) 應(yīng)分類討論 類型四函數(shù)的單調(diào)性 奇偶性與周期性 答案d 解析 1 因?yàn)閒 x 是偶函數(shù) g x 是奇函數(shù) 所以f 1 g 1 f 1 g 1 1 3 1 2 1 1 答案 2 名師點(diǎn)睛 1 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和判斷函數(shù)的單調(diào)性方法一致 1 定義法 先求定義域 再利用單調(diào)性定義 取值 作差 變形 定號(hào) 下結(jié)論 求解 2 圖象法 可由函數(shù)圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間 3 復(fù)合函數(shù)法 同增異減 即內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí) 為增函數(shù) 不同時(shí)為減函數(shù) 2 特別注意 單調(diào)區(qū)間必為定義域的子集 單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示 不能用集合或不等式表示 如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫 不能用并集符號(hào) 聯(lián)結(jié) 也不能用 或 聯(lián)結(jié) 4 對(duì)于分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段驗(yàn)證 但比較繁瑣 且容易判斷錯(cuò)誤 通常是用圖象法來判斷 5 對(duì)于含有x的對(duì)數(shù)式或指數(shù)式的函數(shù)通常用 f x f x 0 來判斷 6 判斷周期函數(shù)的一般方法 1 定義法 應(yīng)用定義法判斷或證明函數(shù)是否具有周期性的關(guān)鍵是從函數(shù)周期的定義出發(fā) 充分挖掘隱含條件 合理賦值 巧妙轉(zhuǎn)化 2 公式法 若函數(shù)f x 是周期函數(shù) 且周期為t 則函數(shù)f ax b a 0 也為周期函數(shù) 且周期 1 設(shè)f x lnx x 2 則函數(shù)f x 的零點(diǎn)所在的區(qū)間為 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 解析 法一函數(shù)f x 的零點(diǎn)所在的區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g x lnx h x x 2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的取值范圍 作圖如下 可知f x 的零點(diǎn)所在的區(qū)間為 1 2 法二易知f x lnx x 2在 0 上為增函數(shù) 且f 1 1 2 10 所以根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知在區(qū)間 1 2 內(nèi)函數(shù)存在零點(diǎn) 類型五函數(shù)與方程 2 函數(shù)f x ax 1 2a在區(qū)間 1 1 上存在一個(gè)零點(diǎn) 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 名師點(diǎn)睛 1 函數(shù)y f x 的零點(diǎn)即方程f x 0的實(shí)根 易誤為函數(shù)點(diǎn) 2 由函數(shù)y f x 在閉區(qū)間 a b 上有零點(diǎn)不一定能推出f a f b 0 如圖所示 所以f a f b 0是y f x 在閉區(qū)間 a b 上有零點(diǎn)的充分不必要條件 3 有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論 1 若連續(xù)不斷的函數(shù)f x 在定義域上是單調(diào)函數(shù) 則f x 至多有一個(gè)零點(diǎn) 2 連續(xù)不斷的函數(shù) 其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào) 3 連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時(shí) 函數(shù)值可能變號(hào) 也可能不變號(hào) 三 易錯(cuò)易混辨析 正解 據(jù)題意使原函數(shù)在定義域r上為減函數(shù) 只需滿足 故選c 名師點(diǎn)睛 函數(shù)最值的重要結(jié)論 1 設(shè)f x 在某個(gè)集合d上有最小值 m為常數(shù) 則f x m在d上恒成立的充要條件是f