微積分在經濟學的應用畢業(yè)論文.doc

微積分在經濟學的應用畢業(yè)論文目 錄標題1中文摘要11 引言12 微積分在經濟學的應用12.1 邊際分析12.2 彈性分析32.2.1 彈性的概念32.2.2 需求彈性32.2.3 需求彈性與總收入的關系42.3 多元函數(shù)偏導數(shù)在經濟分析中的應用52.3.1 邊際經濟量52.3.2 偏彈性62.3.3 偏導數(shù)求極值82.4 積分在經濟分析中的應用92.4.1 邊際函數(shù)求原函數(shù)92.4.2 消費者剩余與生產者剩余92.4.3 收益流的現(xiàn)值與未來值102.5 實際問題探索122.5.1 經濟批量問題122.5.2 凈資產分析132.5.3 核廢料的處理143結束語16參考文獻17致 謝18外文頁19微積分在經濟學的應用武亞南摘 要 本文從邊際分析、彈性分析、多元函數(shù)偏導數(shù)在經濟分析的應用、積分在經濟分析中的應用、實際問題探索五方面來討論微積分在經濟學的應用.其中實際問題探索是利用微積分去解決實際問題，為本文討論的重點.關鍵詞 微積分 邊際分析 彈性分析 實際問題1 引言微積分的產生是數(shù)學史上偉大的成就，它不僅僅是從社會生產和理論科技中產生的，反過來，它應用到我們生活中的社會和科學技術中去.如今，微積分已是廣大科學工作者和科技人員必不可少的工具.微積分是微分學和積分學的總稱，它的萌芽、發(fā)生與發(fā)展經歷了漫長的時期.并且它的產生與科學地繼承和發(fā)展數(shù)學上的長期積累的研究成果是分不開的.以我國古代來說，三國時期魏人劉徽（公元263年）總結了前人的成果，提出了“割圓術”，他說：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”用正多邊形逼近圓周.這是極限論思想的成功運用.微分是聯(lián)系到對曲線作切線的問題和函數(shù)的極大值、極小值問題.積分概念是求某些面積、體積和弧長而引起的，古希臘數(shù)學家阿基米德在拋物線求積法中用窮竭法求出拋物線弓形的面積.阿基米德的貢獻真正成為積分學的萌芽.通過前人的研究成果，十七世紀末英國物理學家兼數(shù)學家牛頓（Newton，1642-1727）和德國數(shù)學家萊布尼茨（Leibniz，1646-1716）創(chuàng)立了微積分學.它的產生并不是偶然的.那時候，建筑工程的盛興、河道堤壩的修建、造船事業(yè)的發(fā)展等提出了很多計算不同形狀物體的面積、體積、重心、器壁上液體壓力等靜力學的與流體力學的問題.所以微積分的產生是由于社會經濟的發(fā)展、生產技術的進步所促使產生的.2 微積分在經濟學的應用2.1 邊際分析在經濟問題中，常常會使用變化率的概念.變化率一般分為平均變化率和即時或瞬時率，平均變化率就是函數(shù)的增量與自變量的增量之比，瞬時變化率就是函數(shù)對自變量的導數(shù)，在經濟學中也將瞬時變化率即導函數(shù)稱為邊際函數(shù).一般，稱為函數(shù)在內的平均變化率，它表示函數(shù)在內的平均變化速度.函數(shù)在處的導數(shù)稱為函數(shù)在點的變化率，也稱為在點處的邊際函數(shù)值，它表示 在點處的變化速度.在經濟學中邊際函數(shù)定義如下定義1 設函數(shù)在處可導，則稱導數(shù)為的邊際函數(shù).在處函數(shù)值為邊際函數(shù)值.簡稱為邊際.根據邊際函數(shù)的定義，可知邊際成本、邊際收入、邊際收益、邊際需求，是成本函數(shù)、收入函數(shù)、需求函數(shù)的導函數(shù).例1 罐頭廠生產的草莓罐頭每瓶售價5.4元，如果每周銷售量（單位：千瓶）為時，每周總成本為(元).設價格不變，求（1）可以獲得利潤的銷售量范圍；（2）每周銷售量為多少瓶時，可以獲得最大利潤？解 總收益 總利潤 當時，即當銷售量在瓶至瓶之間可以獲得利潤.令，得故時，取得極大值，因極值唯一，即為最大值，所以當銷售量為瓶時，可獲得最大利潤.上述結果表明銷售量為每周瓶時此時獲得最大利潤，當銷售量為每周瓶時，再增加一瓶，利潤將增加，當銷售量為每周瓶時，再增加一瓶，利潤將減少.由此亦說明，并非生產的產品數(shù)量越多，利潤越高，通過對邊際利潤的分析，可以減少工廠投資的盲目性，減少投資損失.2.2 彈性分析我們在邊際分析中，討論的函數(shù)變化率屬于絕對數(shù)范圍的討論.在經濟問題中，僅僅用絕對數(shù)的概念是不足以深入分析問題的.例如：某超市甲商品的單價是5元，降價1元；乙商品單價200元，也降價1元，結果，甲商品的需求量變化較大，這是為什么呢？原因是甲降價幅度即相對增量比乙降價的幅度大.為此我們有必要研究一下函數(shù)的相對改變率.2.2.1 彈性的概念定義2 設函數(shù)在點處可導，函數(shù)的相對改變量與自變量的相對改變量之比，稱為函數(shù)從到兩點間的平均相對變化率，或稱兩點間的彈性.當時，的極限稱為在處的相對變化率，也就是相對導數(shù)，或稱彈性.記作即由定義可知函數(shù)在點處的彈性反映了的變化幅度對于變化幅度的大小影響，根據彈性函數(shù)公式推導可知，兩點之間的彈性有正負之分.2.2.2 需求彈性在定義2中已介紹過彈性函數(shù)，由此可知需求彈性反映了當商品價格變動時需求變動的強度，由于需求函數(shù)為遞減函數(shù)，所以，從而為負數(shù).經濟學家一般用正數(shù)表示需求彈性，因此采用需求函數(shù)相對變化率的相反數(shù)來定義需求彈性.定義3 設某商品的需求函數(shù)為，則稱為該商品從到兩點間的需求彈性.若存在，則稱為該商品在處的需求彈性.在經濟學上，當時，稱為單位彈性，即商品需求量的相對變化與價格的相對變化基本相等.當時，稱為富有彈性，即商品需求量的相對變化大于價格的相對變化.當時，稱為缺乏彈性，即商品需求量的相對變化小于價格的相對變化.利用同樣的方法，也可以求出供給彈性、收益彈性，但是，這樣我們只是求出了彈性函數(shù)，并且分析出當自變量變動時，因變量變化的強度，而在市場經濟中，企業(yè)經營者關心的是商品漲價或降價對企業(yè)的總收入的影響程度.2.2.3 需求彈性與總收入的關系在經濟學上總收入 邊際總收入 （1）若時，需求變動的幅度小于價格變動的幅度，此時邊際總收入大于零，即總收入函數(shù)為遞增函數(shù)，也就是當價格上漲，總收入增加，價格下跌時，總收入減少；（2）若時，需求變動的幅度等于價格變動的幅度，此時邊際總收入等于零，即總收入在此時取得最大值；（3）若時，需求變動的幅度大于價格變動的幅度，此時邊際總收入小于零，即總收入函數(shù)為遞減函數(shù)，也就是當價格上漲，總收入減少，價格下跌，總收入增加.通過分析上述需求彈性與總收入的關系，可推導出漲價未必增收，降價未必減收，從而能夠在市場經濟中為企業(yè)或經營者提供有利的條件，為他們的決策提供了有利的分析方法和新思路.例2 設某商品的價格與需求量的函數(shù)關系為，當商品價格處于哪種價格時，廠商可以用適當降價或漲價的辦法提高總收入.解 由，解出設需求彈性為，邊際需求由需求彈性定義可知 再由需求彈性與總收入的關系可知（1）當時，此時，需求變動的幅度小于價格變動的幅度，即當價格上漲時，總收入增加，價格下跌，總收入減少.（2）當時，此時，此時沒有影響.（3）當時，此時，需求變動的幅度大于價格變動的幅度，即當價格上漲，總收入減少，價格下跌，總收入增加.由上述分析可知，若企業(yè)對該商品進行價格調整時，參照以上分析法，當時，通過提升價格來提高總收入，當時，通過降低價格來提高總收入.那么該企業(yè)則會獲得較高的利潤，不會因為盲目的降低價格而使企業(yè)的總收入降低.2.3 多元函數(shù)偏導數(shù)在經濟分析中的應用在上述的分析中，我們只是對一元函數(shù)進行了探討，但是在市場經濟中，并不是由一種元決定商品的銷售策略，有時由多種元素來決定，這就要我們對其多元函數(shù)來進行分析.2.3.1 邊際經濟量設某企業(yè)生產某種產品的產量取決于投資的資本和勞動力，一般滿足生產函數(shù)由偏導數(shù)的定義可知，表示在勞動力投入保持不變的情況下，資本投入變化時，產量的變化率稱為資本的邊際產量.表示在資本投入保持不變的情況下，勞動力投入變化時，產量的變化率稱為勞動力的邊際產量.2.3.2 偏彈性由一元函數(shù)的彈性概念可知，為在點的彈性，由此可以推知在多元函數(shù)中的彈性.設二元函數(shù)，則函數(shù)對的偏彈性，表示若保持不變，的相對變化率.對的偏彈性，表示若保持不變，的相對變化率.設有和兩種商品，并且它們的價格分別為和，它們各自的需求量為和，因此，它們的需求函數(shù)可表示為 需求的自身價格彈性，即 需求的交叉價格彈性，即 兩種商品的相互關系當或時，則表示當兩種商品中任意一個價格降低，都將使其一個需求量增加，另一個需求量減少，此時這兩種商品就是替代商品，當或時，則表示當兩種商品中任意一個價格降低，都將使其需求量和增加，則這兩種商品為互補商品，當或時，則稱這兩種商品相互獨立.例3 某一種數(shù)碼相機的的銷售量，除了與它自身的價格相關外，還與彩色噴墨打印機的價格有關，具體相關函數(shù)為求時（1）對的彈性；（2）對的交叉彈性.解 （1）對的彈性為 當時，（2）對的交叉彈性為當時，由上述例子反映了商品之間的相關性，當交叉彈性大于零時，這時這兩種商品是替代商品，也就是這兩種商品之間存在著競爭關系；當交叉彈性小于零時，這時這兩種商品是互補商品，也就是說兩種商品之間存在著互補的關系，不存在著競爭，這兩種商品必須同時使用才能滿足消費者的某種需求，這樣的結果也為企業(yè)的經營者提供了有利的決策條件.2.3.3 偏導數(shù)求極值假設某公司生產的產品有許多種，那么如何進行生產，才能使公司獲得最大利潤以及成本最低，這就需要用到偏導數(shù)求極值與最值.例4 某能源公司同時銷售煤氣和電力，設每月銷售煤氣為，電力的總成本函數(shù)為其中滿足，試求煤氣和電力的銷售量各為多少時，總成本最低？解 構造拉格朗日函數(shù)解方程組 由可知 再由可知 依題意的最小值存在，所以當煤氣和電力的銷售量分別為，時，可使總成本最低，且最低成本為2.4 積分在經濟分析中的應用積分是微積分學的重要組成部分，同時在經濟學中有著重要的作用，而且內容非常豐富，我們可以通過積分來解決有關的經濟問題.2.4.1 邊際函數(shù)求原函數(shù)積分是微分的逆運算，因此，用積分的方法可以由邊際函數(shù)求出原函數(shù).設某個經濟應用函數(shù) 的邊際函數(shù)為，則有則2.4.2 消費者剩余與生產者剩余 在經濟管理中，一般來說，商品的價格越低，需求量越大；反之，商品的價格越高，需求量就越低，因此需求函數(shù)是有關價格的單調遞減函數(shù).同時商品的價格越低，生產者就不愿意生產，導致供給量也就減少；反之，商品的價格越高，生產者就愿意生產，導致供給量增加，因此供給函數(shù)是有關價格的單調遞增函數(shù).由于和兩者都是單調函數(shù)，故兩者都存在反函數(shù)，需求函數(shù)的反函數(shù)也是需求函數(shù)，供給函數(shù)的反函數(shù)也是供給函數(shù).需求函數(shù)和供給函數(shù)的交點稱為平衡點，在此點表示生產者愿意賣、消費者愿意買的價格.若消費者因以平衡價格購買了某種商品而沒有以比他們本來打算的價錢較高的價格購買這種商品而節(jié)省下來的錢的總數(shù)稱之為消費者剩余.若生產者因以平衡價格出售了某種商品而沒有他們本來打算比較低一些的售價售出這些商品而獲得的額外收入稱之為生產者剩余.假設所有消費者都是以他們打算支付的最終價格購買某種商品，其中包括所有打算以比高的價格支 付商品的消費者確實支付了他們所情愿支付的，那么，現(xiàn)考慮區(qū)間，如上圖，選取，消費者的消費量.消費者消費總量到之間需求曲線下的面積.現(xiàn)在，如果所有商品都以平衡價格出售，那么消費者實際上的消費額為，為兩條坐標軸及直線圍成的矩形的面積.于是消費者的剩余可以從下面的公式計算出來.消費者剩余需求曲線以下直線以上的面積.同理是生產者實際售出商品的收入總額， 是生產者愿意售出商品的收入總額，因此，生產者剩余如下：生產者剩余=供給函數(shù)與直線之間區(qū)域的面積.例5 已知某蔬菜市場的需求函數(shù)為，供給函數(shù)為，求消費者剩余與生產者剩余.解 先求出市場的均衡價格和均衡產量：由由消費者剩余和生產者剩余公式可知消費者剩余生產者剩余2.4.3 收益流的現(xiàn)值與未來值復利計息方式的基本思想：利息收入自動計入下一期的本金，就像常說的“利滾利”.定義4 設初始本金為（元），銀行年利率為，第一年末的利息為，本利和為第二年末的利息為，本利和為 以此類推，可知，第年末的本利和為這就是以年為期的復利計算公式.定義5 由于資金周轉過程是不斷連續(xù)進行的，若一年中分期計算，年利率仍為，則一年后的本利和為則由此可知年后的本利和為 如果計息期數(shù)時，即每時每刻計算復利（稱為連續(xù)復利），則年后的本利和為這就是連續(xù)復利公式.由連續(xù)復利的公式可知，若以連續(xù)復利率計息，一筆元人民幣從現(xiàn)在起存入銀行，則年后的價值（將來值）若有一筆收益流的收益流量為（元/年），考慮從現(xiàn)在開始（）到年后這一段時間段.利用元素法，在區(qū)間內，任取一小區(qū)間，在內將近似看做常數(shù)，則所應獲得的金額近似等于（元）.從現(xiàn)在（）算起，這一金額是在年后的將來而獲得，因此在，收益流的現(xiàn)值從而總現(xiàn)值在計算將來值時，收入在以后的年期間獲息，故在內，收益流的將來值將來值例6 一位城鎮(zhèn)居民想要購買一棟別墅，現(xiàn)在價值為300萬元，假若以分期付款的方式，必須每年付款21萬元，并且還必須在20年內付清，并且銀行的存款年利率為4%，若按照連續(xù)復利的方式計息，請你幫這位購房者提供一個決策：是采用一次付款合算還是分期付款合算？解 將20年分期付款總量的現(xiàn)值與別墅現(xiàn)價相比較，即可作出選擇. 由于每年分期付款為21萬元，所以收益流的變化率，于是分期付款的現(xiàn)值為所以分期付款合算.2.5 實際問題探索在市場經濟分析中，我們經常會解決一些 “產品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效益最高”等等問題.除了這些以外，我們經常把現(xiàn)實生活中的問題抽象簡化為一個簡單的數(shù)學問題來進行解決.2.5.1 經濟批量問題例7 某商場每年銷售某商品件，分為批采購進貨.已知每批采購費用為元，而未售商品的庫存費用為元年件.設銷售商品是均勻的，問分多少批進貨時，才能使以上兩種費用的總和為最?。浚?，為常數(shù)且，）.解 顯然，采購進貨的費用為因為銷售商品是均勻的，所以平均庫存的商品數(shù)應為每批進貨的商品數(shù)的一半，因而商品的庫存費用總費用 令得.又所以為的一個最小值.從而當批數(shù)取一個接近于的自然數(shù)時，才能使采購與庫存費用之和最省.2.5.2 凈資產分析對于一個公司來說，它的資產的運營，大致簡單的可以分為兩個方面.一方面，它的資產可以像銀行的存款一樣獲得利息；另一方面，它的資產用于發(fā)放職工工資.顯然，當工資總額超過利息的盈取時，公司的經營狀況將越來越糟，而當利息的盈取超過付給職工的工資總額時，公司將維持良好的經營狀況.若假設利息是連續(xù)盈取，并且工資也是連續(xù)支付的.例8 假設某一公司的凈資產在營運過程中，像銀行的存款一樣.以年5%的連續(xù)復利產生利息而使總資產增加，同時，公司必須每年連續(xù)的支付200百萬元人民幣為職工的工資.列出描述公司凈資產的微分方程假設公司的初始凈資產為，求公司的凈資產.描述當分別為3000,4000,5000時公司的情況.解 若存在一個初值，使公司的凈資產不變，則利息盈取的速率=工資支付的速率即因此，如果凈資產為4000，那么此時的凈資產不變，此時達到一個平衡，則4000是一個平衡解.但是若，則利息盈取超過工資支付，凈資產增加，此時利息也會增長的快，從而凈資產也會增長的快；若，則利息盈取低于工資支付，公司的凈資產將減少，利息的盈取也會減少，從而凈資產減少的速率越來越快，這樣一來，在不久的將來公司將面臨破產的危險.凈資產的增長速率=利息盈取的速率-工資支付的速率建立微分方程有 即 兩邊同時積分，得出 依照題意知，令，得出平衡解.由當時，代入中可得則若，則為平衡解，并且此時凈資產不變.若，則，此時凈資產是增加的.若，此時凈資產是減少的，并且當時，這說明，該公司在28年后將破產.2.5.3 核廢料的處理若干年以前，美國原子能委員會決定將放射性核廢料在密封的圓桶里面扔到水深的的海底（圓桶的質量,體積，海水的密度為）.當時的一些科學家是持反對意見的.科學家們用實驗得出結論：圓桶下沉所受的阻力與圓桶的方位無關，而與圓桶的速度成正比，并且比例系數(shù)為；圓桶到達海底時的速度如果超過，那么圓桶就會因碰撞而破裂，進而引起核污染.但是美國原子能委員會卻不認為存在上述可能性，那么圓桶到達海底時的速度為多少呢？這是一個我們值得探究的問題.如果設海平面為軸，軸的正向沿鉛直向下.設在時間圓桶的位置為，速度為，進而得知.圓桶在下沉過程中所受的重力為圓桶所受海水的浮力為海水的阻力為圓桶在下沉過程中所受的合力為由于加速度為，根據牛頓第二定律可知，即又由于故分離變量得出兩邊同時積分可得由，可得此時可得方程為若假設此時速度為臨界速度，則此時的圓桶的位置由方程可得說明此時還沒有到達海底.但是問題是海水的阻力會不會使其減速呢？由于加速度如果海水的阻力使其減速，那么它的加速度就會小于零，假設，那么此時，即，此時，也就說只能在時才能減速，那么當時也就說圓桶的速度大約每秒提升約，到海底還有約需要近，因此必定會在左右碰壁而破裂.3結束語本文前面部分先給出了有關微積分的發(fā)展歷史，然后介紹了微分在經濟學的應用的邊際分析以及彈性分析，再討論了多元微分學在經濟中的應用，之后又給出了積分在經濟學上的應用，緊接著又利用研究的結果應用到現(xiàn)實中的生活實際問題進行了探索與研究.使微積分在現(xiàn)實生活中更有意義，不再是一門枯燥的學科，所得的結論也具有十分重要的理論意義和很高的應用價值，并且為某些企業(yè)經營者提供了很好的有利決策.參考文獻1 蘇德礦，金蒙偉.微積分M.北京：高等教育出版社，2004.7.2 張琳，馬祥玉主編.經濟應用數(shù)學M.上海：上海交通大學出版社，2015.3 黎詣遠主編.經濟數(shù)學基礎M.北京：高等教育出版社，1998.7.4 林益，劉國鈞，徐建豪等.微積分M.武漢：武漢理工大學出版社，2006.5 吳傳生主編.經濟數(shù)學微積分M.北京：高等教育出版社，2003.6.6 賈曉峰.微積分與數(shù)學模型（上）M.北京：高等教育出版社，1999.8.7 張銀生，安建業(yè).實用微積分M.北京：中國人民大學