2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

高考數(shù)學(xué)（文科）總復(fù)習(xí)第一輪統(tǒng)計(jì)與概率導(dǎo)學(xué)案第2講 用樣本估計(jì)總體廣東省廉江市第一中學(xué) 曾春戰(zhàn)一、考綱要求1.了解分布的意義和作用，會(huì)列頻率分布表，會(huì)畫(huà)頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點(diǎn)2理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差3能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并作出合理的解釋4會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想5會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。二、考情分析以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征。近幾年高考文科數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”解答題本講主要考查：考查莖葉圖、平均數(shù)、方差；2011年考查平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差；2012年考查頻率分布直方圖；2013年考查頻率分布表；2014年考查眾數(shù)、極差、方差、莖葉圖等。三、學(xué)習(xí)目標(biāo)1、了解極差、頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率折線圖、總體密度曲線、莖葉圖、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差等概念與圖表；2、會(huì)繪制有關(guān)統(tǒng)計(jì)圖：頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖。四、復(fù)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：樣本分布的統(tǒng)計(jì)圖與數(shù)字特征；難點(diǎn)：利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征。五、學(xué)習(xí)過(guò)程（一）要點(diǎn)梳理：1用樣本估計(jì)總體通常我們對(duì)總體作出的估計(jì)一般分成兩種，一種是用_的頻率分布估計(jì)_的分布，另一種是用_的數(shù)字特征估計(jì)_的數(shù)字特征2統(tǒng)計(jì)圖(1)頻率分布直方圖求極差：極差是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差決定組距和組數(shù)：當(dāng)樣本容量不超過(guò) 100 時(shí)，常分成 512 組組距_.將數(shù)據(jù)分組：通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間最后一組取閉區(qū)間也可以將樣本數(shù)據(jù)多取一位小數(shù)分組列頻率分布表：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表將樣本數(shù)據(jù)分成若干個(gè)小組，每個(gè)小組內(nèi)的樣本個(gè)數(shù)稱(chēng)作頻數(shù)，頻數(shù)與樣本容量的比值叫做這一小組的_頻率反映了數(shù)據(jù)在每組所占比例的大小繪制頻率分布直方圖：把橫軸分成若干段，每一段對(duì)應(yīng)一個(gè)組距，然后以線段為底作一小長(zhǎng)方形，它的高等于該組的_，這樣得到一系列的長(zhǎng)方形，每個(gè)長(zhǎng)方形的_恰好是該組上的頻率這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖，各個(gè)長(zhǎng)方形的面積總和等于_(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各長(zhǎng)方形上端的_，就得頻率分布折線圖總體密度曲線：隨著_的增加，作圖時(shí)所分的_增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計(jì)中稱(chēng)之為_(kāi)(3)莖葉圖當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以_，而且可以_，給數(shù)據(jù)的_和_都帶來(lái)方便3用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)_的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在_位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即 _（2）樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差方差：=_標(biāo)準(zhǔn)差：=_(其中是樣本數(shù)據(jù)的第 n 項(xiàng)，n 是_，是_)_是反映總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，樣本方差是標(biāo)準(zhǔn)差的_通常用樣本方差估計(jì)總體方差，當(dāng)_時(shí)，樣本方差很接近總體方差4利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征 (1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該_，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值 (2)平均數(shù)：平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的 (3)眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高的矩形的中點(diǎn)的 （二）基礎(chǔ)檢測(cè)：1在廉江一中“十大孝子”評(píng)選的演講比賽中，圖 15-2-1是七位評(píng)委為某學(xué)生打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為( ) 圖 15-2-1A、85，85 B、84，86 C、84,85 D、85,862從某小學(xué)隨機(jī)抽取 100 名同學(xué)，將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖 15-2-3) 由圖中數(shù)據(jù)可知身高在120,130 內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為（ ）圖 15-2-3A20 B25 C30 D353甲、乙、丙、丁四人參加奧運(yùn)會(huì)射擊項(xiàng)目選拔賽，四人的平均成績(jī)和方差如下表所示：人員甲乙丙丁平均環(huán)數(shù) 8.68.98.98.2方差3.53.52.15.6從這四個(gè)人中選擇一人參加奧運(yùn)會(huì)射擊項(xiàng)目比賽，最佳人選是( )A甲 B乙 C丙 D?。ㄈ┛碱}探究：1、(2013 年福建)某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測(cè)試成績(jī)分為 6 組：40,50), 50,60), 60,70),70,80), 80,90), 90,100，加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖 15-2-6 所示的頻率分布直方圖，已知高一年級(jí)共有學(xué)生 600 名，據(jù)此估計(jì)，該模塊測(cè)試成績(jī)不少于 60 分的學(xué)生人數(shù)為( )圖 15-2-6A588 人 B480 人 C450 人 D120 人2、對(duì)某商店一個(gè)月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的莖葉圖(如圖 15-2-7)，則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是( )圖 15-2-7A46,45,56 B46,45,53 C47,45,56 D45,47,533、甲、乙二名射擊運(yùn)動(dòng)員參加 2011 年深圳舉行的第二十六屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)的預(yù)選賽，他們分別射擊了 4 次，成績(jī)?nèi)缦卤?單位：環(huán))：甲56910乙6789(1)從甲、乙兩人的成績(jī)中各隨機(jī)抽取一個(gè)，求甲的成績(jī)比乙高的概率；(2)現(xiàn)要從中選派一人參加決賽，你認(rèn)為選派哪位運(yùn)動(dòng)員參加比較合適？請(qǐng)說(shuō)明理由（四）深化訓(xùn)練1為了解學(xué)生身高情況，某校以10%的比例對(duì)全校700名學(xué)生按性別進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，測(cè)得身高情況的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示(1)估計(jì)該校男生的人數(shù)；(2)估計(jì)該校學(xué)生身高在170185 cm之間的概率；(3)從樣本中身高在180190 cm之間的男生中任選2人，求至少有1人身高在185190 cm之間的概率2、某鄉(xiāng)鎮(zhèn)供電所為了調(diào)查農(nóng)村居民用電量情況，隨機(jī)抽取了500戶居民去年的月均用電量(單位：kW/h)，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出頻率分布直方圖如下，其中直方圖從左到右前3個(gè)小矩形的面積之比為123，試估計(jì)：(1)該鄉(xiāng)鎮(zhèn)月均用電量在39.5,43.5)內(nèi)的居民所占百分比約是多少？(2)該鄉(xiāng)鎮(zhèn)居民月均用電量的中位數(shù)約是多少？(精確到0.01)（五）歸納總結(jié)： 1、認(rèn)真分析，讀懂圖表； 2、仔細(xì)畫(huà)圖，謹(jǐn)慎計(jì)算； 3、注意概念，規(guī)范表達(dá)。（六）學(xué)習(xí)反思：訓(xùn)練題參考答案（二）基礎(chǔ)檢測(cè)：1、C 2、C 3、C（三）考題探究：1、B 2、A3、解：(1)記甲被抽到的成績(jī)?yōu)?x，乙被抽到的成績(jī)?yōu)?y，用數(shù)對(duì)(x，y)表示基本事件從甲、乙二人的成績(jī)中各隨機(jī)抽取一個(gè)，則共有(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,6)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，16 種結(jié)果記甲的成績(jī)比乙高為事件 A，則 A 包含(9,6)，(9,7)，(9,8)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，(2)甲的成績(jī)平均數(shù) 乙的成績(jī)平均數(shù)甲的成績(jī)方差乙的成績(jī)方差= ， 選派乙運(yùn)動(dòng)員參加決賽比較合適（四）深化訓(xùn)練1、解：(1)樣本中男生人數(shù)為40，分層抽樣比為10%.故估計(jì)全校男生人數(shù)為400.(2)由統(tǒng)計(jì)圖知，樣本中身高在170185 cm之間的學(xué)生有141343135人，樣本容量為70.故該校學(xué)生身高在170185 cm之間的概率P10.5.(3)由統(tǒng)計(jì)圖知，樣本中身高在180185 cm之間的男生有4人(不妨設(shè)為A、B、C、D)，樣本身高在185190 cm之間的男生有2人(不妨設(shè)為E，F(xiàn))從身高在180190 cm之間的6人中任選2人有15種結(jié)果，其中至少1人身高在185190 cm之間的結(jié)果有9種，故所求事件的概率P2.2、解：(1)設(shè)直方圖從左到右前3個(gè)小矩形的面積分別為P,2P,3P.由直方圖可知，最后兩個(gè)小矩形的面積之和為(0.08750.0375)20.25.因?yàn)橹狈綀D中各小矩形的面積之和為1，所以P2P3P0.75，即P0.125.所以3P0.087 520.55.由此估計(jì)，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)居民月均用電量在39.5,43.5)內(nèi)的居