空間向量及其運(yùn)算

精品文檔 1歡迎下載 8 58 5 空間向量及其運(yùn)算空間向量及其運(yùn)算 1 空間向量的概念 1 定義 空間中既有大小又有方向的量叫作空間向量 2 向量的夾角 過空間任意一點(diǎn)O作向量a a b b的相等向量和 則 AOB叫作向量 OA OB a a b b的夾角 記作 a a b b 0 a a b b 2 共線向量定理和空間向量基本定理 1 共線向量定理 對(duì)空間任意兩個(gè)向量a a b b b b 0 a a b b的充要條件是存在實(shí)數(shù) 使得a a b b 2 空間向量基本定理 如果向量e e1 1 e e2 2 e e3 3是空間三個(gè)不共面的向量 a a是空間任一向量 那么存在唯一一組 實(shí)數(shù) 1 2 3使得a a 1e e1 2e e2 3e e3 其中e e1 e e2 e e3叫作空間的一個(gè)基底 3 空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律 1 定義 空間兩個(gè)向量a a和b b的數(shù)量積是一個(gè)數(shù) 等于 a a b b cos a a b b 記作a a b b 2 空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律 結(jié)合律 a a b b a a b b 交換律 a a b b b b a a 分配律 a a b b c c a a b b a a c c 4 空間向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用 1 數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè)a a a1 a2 a3 b b b1 b2 b3 則a a b b a1b1 a2b2 a3b3 2 共線與垂直的坐標(biāo)表示 設(shè)a a a1 a2 a3 b b b1 b2 b3 則a a b b a a b b a1 b1 a2 b2 a3 b3 R R a a b b a a b b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 a a b b均為非零向量 3 模 夾角公式 設(shè)a a a1 a2 a3 b b b1 b2 b3 精品文檔 2歡迎下載 則 a a a a a aa2 1 a2 2 a2 3 cos a a b b a a 0 b b 0 a a b b a a b b a1b1 a2b2 a3b3 a2 1 a2 2 a2 3 b2 1 b2 2 b2 3 1 判斷下面結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 空間中任意兩非零向量a a b b共面 2 在向量的數(shù)量積運(yùn)算中 a a b b c c a a b b c c 3 對(duì)于非零向量b b 由a a b b b b c c 則a a c c 4 兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同 5 若A B C D是空間任意四點(diǎn) 則有 0 AB BC CD DA 6 a a b b a a b b 是a a b b共線的充要條件 2 如圖所示 在平行六面體ABCD A1B1C1D1中 M為A1C1與B1D1 的交點(diǎn) 若 a a b b c c 則下列向量中與相等的向 AB AD AA1 BM 量是 A a a b b c c B a a b b c c 1 2 1 2 1 2 1 2 C a a b b c c D a a b b c c 1 2 1 2 1 2 1 2 答案 A 解析 BM BB1 B1M AA1 1 2 AD AB c c b b a a a a b b c c 1 2 1 2 1 2 3 已知正方體ABCD A1B1C1D1中 點(diǎn)E為上底面A1C1的中心 若 x y 則 AE AA1 AB AD x y的值分別為 A x 1 y 1 B x 1 y 1 2 C x y D x y 1 1 2 1 2 1 2 答案 C 解析 如圖 AE AA1 A1E AA1 1 2A1C1 AA1 1 2 AB AD 4 同時(shí)垂直于a a 2 2 1 和b b 4 5 3 的單位向量是 精品文檔 3歡迎下載 答案 或 1 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 3 解析 設(shè)與a a 2 2 1 和b b 4 5 3 同時(shí)垂直的單位向量是c c p q r 則Error Error 解得Error Error 或Error Error 即同時(shí)垂直于a a b b的單位向量為 或 1 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 3 5 在四面體O ABC中 a a b b c c D為BC的中點(diǎn) E為 OA OB OC AD的中點(diǎn) 則 用a a b b c c表示 OE 答案 a a b b c c 1 2 1 4 1 4 解析 OE 1 2OA 1 2OD 1 2OA 1 4OB 1 4OC a a b b c c 1 2 1 4 1 4 題型一 空間向量的線性運(yùn)算 例 1 三棱錐O ABC中 M N分別是OA BC的中點(diǎn) G是 ABC 的重心 用基向量 表示 OA OB OC MG OG 思維啟迪 利用空間向量的加減法和數(shù)乘運(yùn)算表示即可 解 MG MA AG 1 2OA 2 3AN 1 2OA 2 3 ON OA 1 2OA 2 3 1 2 OB OC OA 1 6OA 1 3OB 1 3OC OG OM MG 1 2OA 1 6OA 1 3OB 1 3OC 1 3OA 1 3OB 1 3OC 思維升華 用已知向量來表示未知向量 一定要結(jié)合圖形 以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān) 精品文檔 4歡迎下載 鍵 要正確理解向量加法 減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義 首尾相接的若干向量之和 等 于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量 我們可把這個(gè)法則稱為向量加法的多 邊形法則 如圖 在長方體ABCD A1B1C1D1中 O為AC的中 點(diǎn) 1 化簡 A1O 1 2AB 1 2AD 2 用 表示 則 AB AD AA1 OC1 OC1 答案 1 2 A1A 1 2AB 1 2AD AA1 解析 1 A1O 1 2AB 1 2AD A1O 1 2AC A1O AO A1A 2 OC1 OC CC1 1 2AB 1 2AD AA1 題型二 共線定理 空間向量基本定理的應(yīng)用 例 2 已知E F G H分別是空間四邊形ABCD的邊AB BC CD DA的中點(diǎn) 1 求證 E F G H四點(diǎn)共面 2 求證 BD 平面EFGH 3 設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn) 求證 對(duì)空間任一點(diǎn)O 有 OM 1 4 OA OB OC OD 思維啟迪 對(duì)于 1 只要證出向量 即可 對(duì)于 2 只要證出與共線即可 EG EF EH BD EH 對(duì)于 3 易知四邊形EFGH為平行四邊形 則點(diǎn)M為線段EG與FH的中點(diǎn) 于是向量 可由向量和表示 再將與分別用向量 和向量 表示 OM OG OE OG OE OC OD OA OB 證明 1 連接BG 則 EG EB BG EB 1 2 BC BD EB BF EH EF EH 由共面向量定理的推論知 E F G H四點(diǎn)共面 2 因?yàn)?EH AH AE 精品文檔 5歡迎下載 1 2AD 1 2AB 1 2 AD AB 1 2BD 所以EH BD 又EH 平面EFGH BD平面EFGH 所以BD 平面EFGH 3 找一點(diǎn)O 并連接OM OA OB OC OD OE OG 由 2 知 同理 EH 1 2BD FG 1 2BD 所以 即EH綊FG EH FG 所以四邊形EFGH是平行四邊形 所以EG FH交于一點(diǎn)M且被M平分 故 OM 1 2 OE OG 1 2OE 1 2OG 1 2 1 2 OA OB 1 2 1 2 OC OD 1 4 OA OB OC OD 思維升華 1 證明點(diǎn)共線的方法 證明點(diǎn)共線的問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共線的問題 如證明A B C三點(diǎn)共線 即證明 AB 共線 亦即證明 0 AC AB AC 2 證明點(diǎn)共面的方法 證明點(diǎn)共面問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問題 如要證明P A B C四點(diǎn)共面 只要能 證明 x y或?qū)臻g任一點(diǎn)O 有 x y或 PA PB PC OA OP PB PC x y zOC x y z 1 即可 共面向量定理實(shí)際上也是三個(gè)非零向量所在直 OP OA OB 線共面的充要條件 如圖 正方體ABCD A1B1C1D1中 E是A1B上的點(diǎn) F是AC上的點(diǎn) 且A1E 2EB CF 2AF 則EF與平面A1B1CD 的位置關(guān)系為 答案 平行 解析 取 a a b b c c為基底 AB AD AA1 易得 a a b b c c EF 1 3 而 a a b b c c 即 故EF DB1 DB1 EF DB1 精品文檔 6歡迎下載 且EF平面A1B1CD DB1 平面A1B1CD 所以EF 平面A1B1CD 題型三 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 例 3 如圖所示 已知空間四邊形AB CD的各邊和對(duì)角線的長都等于a 點(diǎn)M N分別是AB CD的中點(diǎn) 1 求證 MN AB MN CD 2 求MN的長 3 求異面直線AN與CM所成角的余弦值 思維啟迪 兩條直線的垂直關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的垂直關(guān)系 利用 a a 2 a a a a可以 求線段長 利用 cos 可求兩條直線所成的角 a a b b a a b b 1 證明 設(shè) p p q q r r AB AC AD 由題意可知 p p q q r r a 且p p q q r r三向量兩兩夾角均為 60 q q r r p p MN AN AM 1 2 AC AD 1 2AB 1 2 q q r r p p p p q q p p r r p p p p2 MN AB 1 2 1 2 a2cos 60 a2cos 60 a2 0 1 2 MN AB 即MN AB 同理可證MN CD 2 解 由 1 可知 q q r r p p MN 1 2 2 q q r r p p 2 MN 1 4 q q2 r r2 p p2 2 q q r r p p q q r r p p 1 4 a2 a2 a2 2 1 4 a2 2 a2 2 a2 2 2a2 1 4 a2 2 a MN 2 2 MN的長為a 2 2 精品文檔 7歡迎下載 3 解 設(shè)向量與的夾角為 AN MC q q r r AN 1 2 AC AD 1 2 q q p p MC AC AM 1 2 q q r r q q p p AN MC 1 2 1 2 q q2 q q p p r r q q r r p p 1 2 1 2 1 2 a2 a2cos 60 a2cos 60 a2cos 60 1 2 1 2 1 2 a2 1 2 a2 4 a2 2 a2 4 a2 2 又 a AN MC 3 2 cos a a cos AN MC AN MC 3 2 3 2 a2 2 cos 2 3 向量與的夾角的余弦值為 從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為 AN MC 2 3 2 3 思維升華 1 當(dāng)題目條件有垂直關(guān)系時(shí) 常轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為零進(jìn)行應(yīng)用 2 當(dāng)異面直線所成的角為 時(shí) 常利用它們所在的向量轉(zhuǎn)化為向量的夾角 來進(jìn)行計(jì) 算 應(yīng)該注意的是 0 0 所以 cos cos 2 a a b b a a b b 3 立體幾何中求線段的長度可以通過解三角形 也可依據(jù) a a 轉(zhuǎn)化為向量求解 a a2 已知空間中三點(diǎn)A 2 0 2 B 1 1 2 C 3 0 4 設(shè)a a b b AB AC 1 求向量a a與向量b b的夾角的余弦值 2 若ka a b b與ka a 2b b互相垂直 求實(shí)數(shù)k的值 解 1 a a 1 1 0 b b 1 0 2 a a b b 1 1 0 1 0 2 1 又 a a 12 12 022 b b 1 2 02 225 cos a a b b a a b b a a b b 1 10 10 10 精品文檔 8歡迎下載 即向量a a與向量b b的夾角的余弦值為 10 10 2 方法一 ka a b b k 1 k 2 ka a 2b b k 2 k 4 且ka a b b與ka a 2b b互相垂直 k 1 k 2 k 2 k 4 k 1 k 2 k2 8 0 k 2 或k 5 2 當(dāng)ka a b b與ka a 2b b互相垂直時(shí) 實(shí)數(shù)k的值為 2 或 5 2 方法二 由 1 知 a a b b a a b b 1 25 ka a b b ka a 2b b k2a a2 ka a b b 2b b2 2k2 k 10 0 得k 2 或k 5 2 兩向量同向 意義不清致誤 典例 5 分 已知向量a a 1 2 3 b b x x2 y 2 y 并且a a b b同向 則x y的值 分別為 易錯(cuò)分析 將a a b b同向和a a b b混淆 沒有搞清a a b b的意義 a a b b方向相同或相反 解析 由題意知a a b b 所以 x 1 x2 y 2 2 y 3 即Error Error 把 代入 得x2 x 2 0 x 2 x 1 0 解得x 2 或x 1 當(dāng)x 2 時(shí) y 6 當(dāng)x 1 時(shí) y 3 當(dāng)Error Error 時(shí) b b 2 4 6 2a a 兩向量a a b b反向 不符合題意 所以舍去 當(dāng)Error Error 時(shí) b b 1 2 3 a a a a與b b同向 所以Error Error 答案 1 3 溫馨提醒 1 兩向量平行和兩向量同向不是等價(jià)的 同向是平行的一種情況 兩向量同向 能推出兩向量平行 但反過來不成立 也就是說 兩向量同向 是 兩向量平行 的 充分不必要條件 2 若兩向量a a b b滿足a a b b b b 0 且 0 則a a b b同向 在a a b b的坐標(biāo)都是非零的條 精品文檔 9歡迎下載 件下 a a b b的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例 方法與技巧 1 利用向量的線性運(yùn)算和空間向量基本定理表示向量是向量應(yīng)用的基礎(chǔ) 2 利用共線向量定理 共面向量定理可以證明一些平行 共面問題 利用數(shù)量積運(yùn)算可以 解決一些距離 夾角問題 3 利用向量解立體幾何題的一般方法 把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示 用已知向量表示未 知向量 然后通過向量的運(yùn)算或證明去解決問題 失誤與防范 1 向量的數(shù)量積滿足交換律 分配律 但不滿足結(jié)合律 即a a b b b b a a a a b b c c a a b b a a c c 成立 a a b b c c a a b b c c 不一定成立 2 求異面直線所成的角 一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角 但要注意兩種角的范圍不同 最 后應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化 A 組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 時(shí)間 40 分鐘 一 選擇題 1 空間直角坐標(biāo)系中 A 1 2 3 B 2 1 6 C 3 2 1 D 4 3 0 則直線AB與 CD的位置關(guān)系是 A 垂直 B 平行 C 異面 D 相交但不垂直 答案 B 解析 由題意得 3 3 3 1 1 1 AB CD 3 AB CD 與共線 又與沒有公共點(diǎn) AB CD AB CD AB CD 2 已知O A B C為空間四個(gè)點(diǎn) 又 為空間的一個(gè)基底 則 OA OB OC A O A B C四點(diǎn)不共線 精品文檔 10歡迎下載 B O A B C四點(diǎn)共面 但不共線 C O A B C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線 D O A B C四點(diǎn)不共面 答案 D 解析 為空間的一個(gè)基底 所以 不共面 但 A B C 三種情況都有 OA OB OC OA OB OC 可能使 共面 OA OB OC 3 已知a a 1 0 2 b b 6 2 1 2 若a a b b 則 與 的值可以是 A 2 B 1 2 1 3 1 2 C 3 2 D 2 2 答案 A 解析 由題意知 Error Error 解得Error Error 或Error Error 4 空間四點(diǎn)A 2 3 6 B 4 3 2 C 0 0 1 D 2 0 2 的位置關(guān)系是 A 共線 B 共面 C 不共面 D 無法確定 答案 C 解析 2 0 4 2 3 5 0 3 4 AB AC AD 假設(shè)四點(diǎn)共面 由共面向量定理得 存在實(shí)數(shù)x y 使 x y 即Error Error AD AB AC 由 得x y 1 代入 式不成立 矛盾 假設(shè)不成立 故四點(diǎn)不共面 5 如圖所示 已知空間四邊形OABC OB OC 且 AOB AOC 3 則 cos 的值為 OA BC A 0 B 1 2 C D 3 2 2 2 答案 A 解析 設(shè) a a b b c c 則 b b c c OA OB OC a a b b a a c c c c b b 3 BC 精品文檔 11歡迎下載 a a c c b b a a c c a a b b OA BC a a c c cos a a b b cos 0 3 3 cos 0 OA BC OA BC 二 填空題 6 已知 2a a b b 0 5 10 c c 1 2 2 a a c c 4 b b 12 則以b b c c為方向 向量的兩直線的夾角為 答案 60 解析 由題意得 2a a b b c c 0 10 20 10 即 2a a c c b b c c 10 又 a a c c 4 b b c c 18 cos b b c c b b c c b b c c 18 12 1 4 4 1 2 b b c c 120 兩直線的夾角為 60 7 已知a a 1 t 1 t t b b 2 t t 則 b b a a 的最小值為 答案 35 5 解析 b b a a 1 t 2t 1 0 b b a a 1 t 2 2t 1 2 5 t 1 5 2 9 5 當(dāng)t 時(shí) b b a a 取得最小值 1 5 35 5 8 如圖所示 已知PA 平面ABC ABC 120 PA AB BC 6 則 PC等于 答案 12 解析 因?yàn)?PC PA AB BC 所以 2 2 2 2 2 PC PA AB BC AB BC 36 36 36 2 36cos 60 144 所以 12 PC 三 解答題 9 已知向量a a 1 3 2 b b 2 1 1 點(diǎn)A 3 1 4 B 2 2 2 1 求 2a a b b 精品文檔 12歡迎下載 2 在直線AB上是否存在一點(diǎn)E 使得 b b O為原點(diǎn) OE 解 1 a a 1 3 2 b b 2 1 1 2a a b b 0 5 5 2a a b b 5 02 5 2 522 2 假設(shè)存在點(diǎn)E 其坐標(biāo)為E x y z 則 AE AB 即 x 3 y 1 z 4 1 1 2 Error Error E 3 1 2 4 3 1 2 4 OE 又 b b 2 1 1 b b OE b b 2 3 1 2 4 5 9 0 OE E 9 5 6 5 14 5 2 5 在直線AB上存在點(diǎn)E 使 b b 6 5 14 5 2 5 OE 10 如圖所示 四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面為平行四邊形 以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為 1 且兩兩夾角為 60 1 求AC1的長 2 求BD1與AC夾角的余弦值 解 記 a a b b c c AB AD AA1 則 a a b b c c 1 a a b b b b c c c c a a 60 a a b b b b c c c c a a 1 2 1 2 a a b b c c 2 AC1 a a2 b b2 c c2 2 a a b b b b c c c c a a 1 1 1 2 6 1 2 1 2 1 2 即AC1的長為 AC1 66 2 b b c c a a a a b b BD1 AC BD1 2 AC 3 精品文檔 13歡迎下載 b b c c a a a a b b BD1 AC b b2 a a2 a a c c b b c c 1 cos BD1 AC BD1 AC BD1 AC 6 6 BD1與AC夾角的余弦值為 6 6 B 組 專項(xiàng)能力提升 時(shí)間 30 分鐘 1 若向量c c垂直于不共線的向量a a和b b d d a a b b R R 且 0 則 A c c d d B c c d d C c c不平行于d d c c也不垂直于d d D 以上三種情況均有可能 答案 B 解析 由題意得 c c垂直于由a a b b確定的平面 d d a a b b d d與a a b b共面 c c d d 2 以下命題中 正確的命題個(gè)數(shù)為 若a a b b共線 則a a與b b所在直線平行 若 a a b b c c 為空間一個(gè)基底 則 a a b b b b c c c c a a 構(gòu)成空間的另一個(gè)基底 若空間向量m m n n p p滿足m m n n n n p p 則m m p p 對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A B C 若 x y z 其中x y z R R OP OA OB OC 則P A B C四點(diǎn)共面 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 由共線向量知a a與b b所在直線可能重合知 錯(cuò) 若a a b b b b c c c c a a共面 則存在實(shí)數(shù)x y 使a a b b x b b c c y c c a a ya a xb b x y c c a a b b c c不共面 y 1 x 1 x y 0 x y無解 a a b b b b c c c c a a 能構(gòu)成空間的一個(gè)基底 正確 由向量相等的定義知 正確 由共面向量定理的推論知 當(dāng)x y z 1 時(shí) P A B C四點(diǎn)共面 不正確 故 選 B 精品文檔 14歡迎下載 3 如圖 在棱長為 1 的正方體ABCD A1B1C1D1中 M N分別是A1B1 和BB1的中點(diǎn) 那么