2019屆高考數(shù)學總復習解析幾何限時集訓（十七）圓錐曲線中的定點、定值、存在性問題理.docx

限時集訓（十七）圓錐曲線中的定點、定值、存在性問題基礎過關1.已知直線l與拋物線y2=2x交于A,B(異于坐標原點O)兩點.(1)若直線l的方程為y=x-2,求證:OAOB.(2)若OAOB,則直線l是否恒過定點?若恒過定點,求出定點坐標;若不過定點,請說明理由.2.已知圓O:x2+y2=4,點F(1,0),P為平面內一動點,以線段FP為直徑的圓內切于圓O,設動點P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的軌跡方程.(2)M,N是曲線C上的動點,且直線MN經過定點0,12,問在y軸上是否存在定點Q,使得MQO=NQO?若存在,請求出定點Q;若不存在,請說明理由.3.如圖X17-1所示,已知橢圓:x24+y23=1的右焦點為F,過點F且斜率為k的直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(點A在x軸上方),點A關于坐標原點的對稱點為P,直線PA,PB分別交直線l:x=4于M,N兩點,記M,N兩點的縱坐標分別為yM,yN.(1)求直線PB的斜率(用k表示).(2)求點M,N的縱坐標yM,yN(用x1,y1表示),并判斷yMyN是否為定值.若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.圖X17-14.如圖X17-2所示,點P(1,1)為拋物線y2=x上一定點,斜率為-12的直線與拋物線交于A,B兩點.(1)求弦AB的中點M的縱坐標;(2)點Q是線段PB上任意一點(異于端點),過Q作PA的平行線交拋物線于E,F兩點,求證:|QE|QF|-|QP|QB|為定值.圖X17-2能力提升5.已知拋物線E的頂點為坐標原點O,焦點為圓F:x2+y2-4x+3=0的圓心.過點F的直線l交拋物線E于A,D兩點,交圓F于B,C兩點,A,B在第一象限,C,D在第四象限.(1)求拋物線E的方程.(2)是否存在直線l使得2|BC|是|AB|與|CD|的等差中項?若存在,求直線l的方程;若不存在,請說明理由.6.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點分別為F1,F2,且離心率為12,點M為橢圓上一動點,F1MF2面積的最大值為3.(1)求橢圓C的標準方程.(2)設A,B分別為橢圓的左、右頂點,過點B作x軸的垂線l1,D為l1上異于點B的一點,以BD為直徑作圓E.若過點F2的直線l2(異于x軸)與圓E相切于點H,且l2與直線AD相交于點P,試判斷|PF1|+|PH|是否為定值,并說明理由.限時集訓(十七) 基礎過關1.解:(1)證明:由y=x-2,y2=2x,得x2-6x+4=0,解得x=35,不妨取A(3-5,1-5),B(3+5,1+5),OAOB=0,OAOB.(2)顯然直線l的斜率不為0,設直線l的方程為x=ty+m(m0),A(x1,y1),B(x2,y2),由x=ty+m,y2=2x,消去x得y2-2ty-2m=0,y1y2=-2m,x1x2=y122y222=m2,由OAOB,得OAOB=x1x2+y1y2=m2-2m=0,m=2,直線l的方程為x=ty+2,直線l恒過定點,且定點坐標為(2,0).2.解:(1)設PF的中點為S,切點為T,連接OS,ST,則|OS|+|SF|=|OT|=2,取F關于y軸的對稱點F,連接FP,故|FP|+|FP|=2(|OS|+|SF|)=4|FF|=2.所以點P的軌跡是以F,F為焦點,長軸長為4的橢圓,設其方程為x2a2+y2b2=1(ab0),則a=2,c=1,b=3,所以曲線C的方程為x24+y23=1.(2)假設存在滿足題意的定點Q,設Q(0,m).當直線MN的斜率存在且不為0時,設直線MN的方程為y=kx+12(k0),M(x1,y1),N(x2,y2).由x24+y23=1,y=kx+12,消去y,得(3+4k2)x2+4kx-11=0,則x1+x2=-4k3+4k2,x1x2=-113+4k2.由MQO=NQO,得直線MQ與NQ的斜率之和為0,即y1-mx1+y2-mx2=kx1+12-mx1+kx2+12-mx2=2kx1x2+12-m(x1+x2)x1x2=0,即2kx1x2+12-m(x1+x2)=2k-113+4k2+12-m-4k3+4k2=4k(m-6)3+4k2=0,得m=6,所以存在定點Q(0,6)滿足題意.當MN的斜率不存在或斜率為0時定點Q(0,6)也符合題意.綜上,存在定點Q(0,6)滿足題意.3.解:(1)由題,設直線AB的方程為y=k(x-1)(k0),由y=k(x-1),x24+y23=1,消去y,得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,則x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3,又P(-x1,-y1),所以kPB=y1+y2x1+x2=k(x1-1)+k(x2-1)x1+x2=-34k.(2)直線PA的方程為y=y1x1x,所以yM=4y1x1.由題意可知,k=y1x1-1,所以直線PB的方程為y+y1=-3(x1-1)4y1(x+x1),則yN=-3(x1-1)(4+x1)4y1-y1.因為x124+y123=1,所以yMyN=-3(x1-1)(4+x1)x1-4y12x1=-3x12+4y12+9x1-12x1=-9,所以,yMyN為定值-9.4.解:(1)設A(xA,yA),B(xB,yB),則yA2=xA,yB2=xB,兩式相減得(yA-yB)(yA+yB)=xA-xB,所以kAB=yA-yBxA-xB=1yA+yB=-12,所以yA+yB=-2,所以弦AB的中點M的縱坐標yM=yA+yB2=-1.(2)證明:設Q(x0,y0),直線EF:x-x0=t1(y-y0),由x-x0=t1(y-y0),y2=x,得y2-t1y+t1y0-x0=0,所以yE+yF=t1,yEyF=t1y0-x0,|QE|QF|=1+t12|yE-y0|1+t12|yF-y0|=(1+t12)|y02-x0|.同理設直線PB:x-x0=t2(y-y0),則|QP|QB|=(1+t22)|y02-x0|.因為t1=1kEF=1kPA=yA+yP,t2=1kPB=yB+yP,所以t1+t2=(yA+yB)+2yP=-2+2=0,即t1=-t2,即t12=t22,所以|QE|QF|=|QP|QB|,即|QE|QF|-|QP|QB|=0,為定值. 能力提升5.解:(1)圓F的方程為(x-2)2+y2=1,圓心F的坐標為(2,0),半徑r=1.根據(jù)題意設拋物線E的方程為y2=2px(p0),由p2=2,得p=4,拋物線E的方程為y2=8x.(2)假設存在直線l滿足題意,若2|BC|是|AB|與|CD|的等差中項,則|AB|+|CD|=4|BC|=42r=8,則|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10.若直線l垂直于x軸,則l的方程為x=2,代入y2=8x,解得y=4.此時|AD|=8,不滿足題意.若l不垂直于x軸,則設l的斜率為k(k0),此時l的方程為y=k(x-2),由y=k(x-2),y2=8x,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.設A(x1,y1),D(x2,y2),則x1+x2=4k2+8k2.拋物線E的準線方程為x=-2,|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4=10,即4k2+8k2+4=10,解得k=2.當k=2時,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0化為x2-6x+4=0,(-6)2-4140,x2-6x+4=0有兩個不相等實數(shù)根,k=2滿足題意.綜上,存在滿足要求的直線l:2x-y-4=0或直線l:2x+y-4=0.6.解:(1)由題意可知a2=b2+c2,ca=12,bc=3,解得a=2,b=3,所以橢圓C的方程為x24+y23=1.(2)由(1)可知A(-2,0),B(2,0),F2(1,0).因為過F2與圓E相切的直線分別切于B,H兩點,所以|F2H|=|F2B|=1,所以|PF1|+|PH|=|PF1|+|PF2|-|F2H|=|PF1|+|PF2|-1.設點E(2,t)(t0),則D(2,2t),圓E的半徑為|t|,則直線AD的方程為y=t2(x+2).設l2的方程為x=ky+1,則|2-kt-