（試題 試卷 真題）專題28 二次函數(shù)的幾何應(yīng)用【學(xué)生版】

專題28 二次函數(shù)的幾何應(yīng)用【母題來源】2013年福建三明第23題（14分）【母題原題】如圖，ABC的頂點坐標(biāo)分別為A（6，0），B（4，0），C（0，8），把ABC沿直線BC翻折，點A的對應(yīng)點為D，拋物線y=ax210ax+c經(jīng)過點C，頂點M在直線BC上。（1）證明四邊形ABCD是菱形，并求點D的坐標(biāo)；（2）求拋物線的對稱軸和函數(shù)表達式；（3）在拋物線上是否存在點P，使得PBD與PCD的面積相等？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由?！驹囶}答案】（1）證明見解析；【試題解析】（1）A（6，0），B（4，0），C（0，8），AB=6+4=10，。AB=AC。由翻折可得，AB=BD，AC=CD。AB=BD=CD=AC。四邊形ABCD是菱形。CDAB。C（0，8），點D的坐標(biāo)是（10，8）。（2）y=ax210ax+c，對稱軸為直線。設(shè)M的坐標(biāo)為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，解得。直線BC的解析式為y=2x+8。點M在直線y=2x+8上，n=25+8=2。M（5，2）。又拋物線y=ax210ax+c經(jīng)過點C和M，解得。拋物線的函數(shù)表達式為。（3）存在。點P的坐標(biāo)為P1（），P2（5，38）。設(shè)P，當(dāng)點P在CD的上面下方，根據(jù)菱形的性質(zhì)，知點P是AD與拋物線的交點，由A,D的坐標(biāo)可由待定系數(shù)法求出AD的函數(shù)表達式: ,二者聯(lián)立可得P1（）；當(dāng)點P在CD的上方，易知點P是D的外角平分線與拋物線的交點，此時，D的外角平分線與直線AD垂直，由相似可知D的外角平分線PD的斜率等于2，可設(shè)其為，將D（10，8）代入可得PD的函數(shù)表達式: ,與拋物線聯(lián)立可得P2（5，38）。1.【2013年湖北宜昌12分】如圖1，平面之間坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角邊BC在x軸正半軸上滑動，點C的坐標(biāo)為（t，0），直角邊AC=4，經(jīng)過O，C兩點做拋物線（a為常數(shù)，a0），該拋物線與斜邊AB交于點E，直線OA：y2=kx（k為常數(shù)，k0），（1）填空：用含t的代數(shù)式表示點A的坐標(biāo)及k的值：A ，k= ；（2）隨著三角板的滑動，當(dāng)a=時：請你驗證：拋物線的頂點在函數(shù)的圖象上；當(dāng)三角板滑至點E為AB的中點時，求t的值；（3）直線OA與拋物線的另一個交點為點D，當(dāng)txt+4，|y2y1|的值隨x的增大而減小，當(dāng)xt+4時，|y2y1|的值隨x的增大而增大，求a與t的關(guān)系式及t的取值范圍。2.【原創(chuàng)題1】如圖，拋物線的頂點為D（1，4），與軸交于點C（0，3），與軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)）。（1）求拋物線的解析式；（2）連接AC，CD，AD，試證明ACD為直角三角形；（3）若點E在拋物線上，EFx軸于點F，以A、E、F為頂點的三角形與ACD相似，試求出所有滿足條件的點E的坐標(biāo)。3. 【原創(chuàng)題2】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（3，0），B（1.0），C（0， 3）。（1）求拋物線的解析式；（2）若點P為拋物線在第二象限上的一點，設(shè)PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標(biāo)；（3）設(shè)拋物線的頂點為D，DEx軸于點E，在y軸上是否存在點M，使得ADM是等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。4.【原創(chuàng)題3】二次函數(shù)的圖象與x軸分別交于A、B兩點，頂點M關(guān)于x軸的對稱點是M。（1）若A（3，0），求二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）在（1）的條件下，求四邊形AMBM的面積；（3）是否存在拋物線，使得四邊形AMBM為正方形？若存在，請求出此拋物線的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請說明理由。5.【原創(chuàng)題4】如圖，已知二次函數(shù)（m0）的圖象與x軸交于A、B兩點（1）寫出A