自動(dòng)控制原理(胡壽松) 第三章ppt

1 第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析 2 3 1典型輸入信號(hào)和時(shí)域分析法 3 3 1 1典型輸入信號(hào) 時(shí)間響應(yīng)表現(xiàn)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能 不僅取決于系統(tǒng)本身特性 微方 還與輸入信號(hào)形式有關(guān) 系統(tǒng)工作時(shí) 外加輸入信號(hào)是隨機(jī)的 無法確定它在某一瞬間的形式 系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)時(shí) 對(duì)各種系統(tǒng)性能進(jìn)行比較要預(yù)先規(guī)定一些具有特殊形式的實(shí)驗(yàn)信號(hào)作為輸入 然后比較系統(tǒng)的響應(yīng) 4 典型信號(hào)的選取原則 輸入的形式應(yīng)反映系統(tǒng)在工作中所響應(yīng)的實(shí)際輸入 輸入信號(hào)在形式上應(yīng)盡可能簡(jiǎn)單 以便于對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的分析 應(yīng)選取能使系統(tǒng)工作在最不利情況下的輸入信號(hào)作為典型輸入信號(hào) 常用的典型實(shí)驗(yàn)信號(hào)階躍 斜坡 拋物線 脈沖正弦 頻率分析法 5 1 階躍函數(shù) 階躍函數(shù)的拉普拉斯變換為 6 2 斜坡函數(shù) 斜坡函數(shù)的拉普拉斯變換為 7 3 拋物線函數(shù) 拋物線函數(shù)的拉普拉斯變換為 8 4 脈沖函數(shù) 理想脈沖函數(shù)的拉普拉斯變換為 其中脈沖寬度為h 脈沖面積等于A 若對(duì)脈沖的寬度h取趨于零的極限 則有 當(dāng)A 1 h 0 時(shí) 稱此脈沖函數(shù)為理想單位脈沖函數(shù) 記作 9 5 正弦函數(shù) 正弦函數(shù)的拉普拉斯變換為 10 3 1 2動(dòng)態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程 動(dòng)態(tài)過程 又稱為過渡過程或瞬態(tài)過程 是指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下 系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到接近最終狀態(tài)的響應(yīng)過程 動(dòng)態(tài)過程表現(xiàn)為衰減 發(fā)散或等幅振蕩形式 一個(gè)實(shí)際運(yùn)行的控制系統(tǒng) 其動(dòng)態(tài)過程必須是衰減的 換句話說 系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的 動(dòng)態(tài)過程的其他信息用動(dòng)態(tài)性能描述 2 穩(wěn)態(tài)過程 是系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下 當(dāng)時(shí)間t趨于無窮時(shí) 系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式 穩(wěn)態(tài)過程又稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度 用穩(wěn)態(tài)誤差來描述 11 3 1 3時(shí)域性能指標(biāo) 1 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 描述穩(wěn)定系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下 動(dòng)態(tài)過程隨t衰減的變化狀態(tài)的指標(biāo) 稱為動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 12 3 1典型輸入信號(hào)和時(shí)域性能指標(biāo) h t t 0 性能指標(biāo)有6個(gè) 其中反映系統(tǒng)響應(yīng)初始段快慢的有3項(xiàng)指標(biāo) 上升時(shí)間 延遲時(shí)間 峰值時(shí)間 反映系統(tǒng)過渡過程持續(xù)時(shí)間的指標(biāo) 調(diào)節(jié)時(shí)間反映系統(tǒng)整個(gè)響應(yīng)過程的振蕩程度的指標(biāo) 超調(diào)量體現(xiàn)系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)信號(hào)能力的指標(biāo) 穩(wěn)態(tài)誤差ess ess 1 h 當(dāng)h 1時(shí) ess 0 3 1 3時(shí)間響應(yīng)及性能指標(biāo) 13 1 上升時(shí)間tr響應(yīng)曲線從零時(shí)刻到首次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間 或 響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10 上升到90 所需時(shí)間 無超調(diào)系統(tǒng) 反映響應(yīng)曲線上升趨勢(shì)表示響應(yīng)速度指標(biāo) 2 峰值時(shí)間tp響應(yīng)曲線從0到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間 3 調(diào)整時(shí)間 調(diào)節(jié)時(shí)間 ts在響應(yīng)曲線從0到達(dá)且不再超過穩(wěn)態(tài)值的 5 或 2 誤差范圍所需的最少時(shí)間 允許誤差 0 05或 0 02 14 4 最大超調(diào)量 指在系統(tǒng)響應(yīng)過程中 輸出量的最大值超過穩(wěn)態(tài)值的百分比 5 振蕩次數(shù)N 在調(diào)節(jié)時(shí)間ts內(nèi) c t 偏離c 的振蕩次數(shù) 注 以上各種性能指標(biāo)中 上升時(shí)間 峰值時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間都表示動(dòng)態(tài)過程進(jìn)行的快慢程度 是快速性指標(biāo) 超調(diào)量反映動(dòng)態(tài)過程振蕩激烈程度 是平穩(wěn)性指標(biāo) 也稱相對(duì)穩(wěn)定性能 超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間是反映系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能好壞的兩個(gè)最主要指標(biāo) 15 2 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo) 穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標(biāo) 是當(dāng)時(shí)間趨于無窮時(shí) 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值與輸入量之差 即 具有單調(diào)上升的階躍響應(yīng) 無超調(diào)量 只取調(diào)節(jié)時(shí)間ts作為動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 16 3 2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析 17 傳遞函數(shù) T 1 K 時(shí)間常數(shù) 秒 表征系統(tǒng)慣性 結(jié)構(gòu)圖 3 2 1一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 18 1 單位階躍響應(yīng) 19 特點(diǎn) 按指數(shù)規(guī)律上升 t 0處切線斜率為1 T 參數(shù)未知 可由一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)曲線確定T 20 調(diào)整時(shí)間ts 理論上 瞬態(tài)結(jié)束進(jìn)入穩(wěn)態(tài)t 工程上 與系統(tǒng)要求精度有關(guān)ts 4T 誤差范圍2 ts 3T 誤差范圍5 ts大小作為評(píng)價(jià)系統(tǒng)響應(yīng)快慢的指標(biāo) 調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)T 提高系統(tǒng)快速性注 ts只反映系統(tǒng)特性 與輸入 輸出無關(guān) 21 2 單位斜坡響應(yīng) 22 3 單位拋物線響應(yīng) 當(dāng)時(shí)間t 時(shí) 系統(tǒng)輸出信號(hào)與輸入信號(hào)之差將趨于無窮大 說明對(duì)于一階系統(tǒng)是不能跟蹤單位拋物線函數(shù)輸入信號(hào)的 23 4 單位脈沖響應(yīng) 24 一個(gè)一階系統(tǒng)分析的例子 解 由圖得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 3 2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析 一階系統(tǒng)如圖 系統(tǒng)加入單位階躍輸入 當(dāng)KH 1時(shí) 求調(diào)節(jié)時(shí)間ts 若KH 0 1 則調(diào)節(jié)時(shí)間ts為多少 若要求ts 0 1秒 問KH應(yīng)為何值 時(shí)間常數(shù)T 0 1 KH總放大倍數(shù)為1 KH 1 當(dāng)KH 1時(shí) 2 當(dāng)KH 0 1時(shí) 3 若要求調(diào)節(jié)時(shí)間ts 0 1秒 閉環(huán)傳遞函數(shù) 25 1 一階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)及響應(yīng)之間關(guān)系 3 2 1一階系統(tǒng)的重要性質(zhì) 26 一階系統(tǒng)只有一個(gè)特征參數(shù)T 即其時(shí)間常數(shù) 在一定的輸入信號(hào)作用下 其時(shí)間響應(yīng)c t 由其時(shí)間常數(shù)惟一確定 從表可以看出 系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù) 系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分 這一重要特性適用于任何階次的線性定常系統(tǒng) 線性定常系統(tǒng)的重要特性 利用這一特點(diǎn) 在測(cè)試系統(tǒng)時(shí) 可以用一種信號(hào)輸入推斷出幾種相應(yīng)信號(hào)的響應(yīng)結(jié)果 帶來很大方便 而線性時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)都不具備這種特性 2 結(jié)論 27 3 3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析 28 3 3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析 3 3 1二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 凡以二階系統(tǒng)微分方程描述的系統(tǒng) 稱為二階系統(tǒng) 稱為阻尼比 相對(duì)阻尼系數(shù) n為無阻尼自振角頻率 固有頻率 它們是二階系統(tǒng)的特征參數(shù) 微分方程 傳遞函數(shù) 用閉環(huán)結(jié)構(gòu)圖表示為 29 3 3 2二階系統(tǒng)的特征根及性質(zhì) 特征根方程 特征根 特征根性質(zhì) 零阻尼 0 方程有一對(duì)純虛根 輸出等幅振蕩 過阻尼 1 方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根 輸出無振蕩 臨界阻尼 1 方程有一對(duì)相等的負(fù)實(shí)根 輸出無振蕩 欠阻尼0 1 方程有一對(duì)實(shí)部為負(fù)數(shù)的共軛復(fù)根 輸出振蕩 3 3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析 30 3 3 3二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 3 3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析 二階系統(tǒng)輸出的一般式為 式中s1 s2為系統(tǒng)特征根 而 二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)通用曲線 1時(shí) 階躍響應(yīng)表現(xiàn)為無振蕩的單調(diào)上升曲線 以 1時(shí)的過渡過程時(shí)間最短 0時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)變成等幅振蕩 在欠阻尼情況中 減小 響應(yīng)的初始階段較快 但響應(yīng)振蕩特性加劇 取0 4 0 8時(shí) 過渡過程時(shí)間短 振蕩也不劇烈 0 707時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)性能指標(biāo)最優(yōu) 稱為最佳阻尼比 31 1 當(dāng) 0時(shí) 系統(tǒng)有一對(duì)共軛純虛根 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)作等幅振蕩 稱為無阻尼或零阻尼狀態(tài) 32 2 當(dāng)0 1時(shí) 此時(shí)系統(tǒng)特征方程具有一對(duì)負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)具有衰減振蕩特性 稱為欠阻尼狀態(tài) 33 3 當(dāng) 1時(shí) 特征方程具有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根 稱為臨界阻尼狀態(tài) 34 4 當(dāng) 1時(shí) 特征方程具有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根 稱為過阻尼狀態(tài) 35 臨界阻尼 1 時(shí)的單位階躍響應(yīng) 響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量為1 暫態(tài)分量隨著時(shí)間的推移最終衰減到零 ess 0 3 3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析 36 欠阻尼 0 1 時(shí)的單位階躍響應(yīng) 穩(wěn)態(tài)分量為1 暫態(tài)分量為振幅隨時(shí)間按負(fù)指數(shù)規(guī)律衰減的周期函數(shù) 其振蕩角頻率為 d 由于 可見 的值越大 振幅衰減越快 最終衰減到零 響應(yīng)頻率越快ess 0 arccos 3 3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析 37 1 上升時(shí)間tr當(dāng)t tr時(shí) c tr 1 上升時(shí)間tr是c t 第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)間 3 3 2典型二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 1 欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 38 2 峰值時(shí)間tPtP處有極值 故該處導(dǎo)數(shù)值為0 39 3 超調(diào)量 上式表明 超調(diào)量 僅是阻尼比 的函數(shù) 與自然頻率 n無關(guān) 40 4 調(diào)整時(shí)間ts 在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí) 通常由要求的最大超調(diào)量決定 而調(diào)節(jié)時(shí)間則由無阻尼振蕩頻率 n來決定 41 5 振蕩次數(shù)N 其中 42 上面求得的tr tp ts 和N與二階系統(tǒng)特征參數(shù)之間的關(guān)系是分析二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的基礎(chǔ) 若已知 和 n的值或復(fù)平面上特征方程根的位置 則可以計(jì)算出各個(gè)性能指標(biāo) 另一方面 也可以根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能要求 由性能指標(biāo)確定二階系統(tǒng)的特征參數(shù) 和 n 從平穩(wěn)性看 越大越好 通常為了獲得良好的平穩(wěn)性和快速性 阻尼比取在0 4 0 8之間 相應(yīng)的超調(diào)量25 2 5 最佳阻尼比0 707 43 3 3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析 一個(gè)二階系統(tǒng)分析的例子 典型二階系統(tǒng)欠阻尼時(shí)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 上升時(shí)間tr 峰值時(shí)間tp 超調(diào)量 調(diào)節(jié)時(shí)間ts 44 一個(gè)二階系統(tǒng)分析的例子 已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為 設(shè)系統(tǒng)的輸入量為單位階躍函數(shù) 試計(jì)算放大器的增益KA 200時(shí) 系統(tǒng)輸出響應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 若KA增大到1500或減小到13 5時(shí) 求系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 1 KA 200時(shí) 代入上式求得 n 31 5rad s 0 545 代入二階欠阻尼系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算公式 可得 2 KA 1500時(shí) 求得 n 86 2rad s 0 2 同理可求得動(dòng)態(tài)指標(biāo) 3 KA 13 5時(shí) 得 n 8 22rad s 3 1 1 此時(shí)系統(tǒng)為過阻尼情況 峰值時(shí)間和超調(diào)量不存在 而調(diào)節(jié)時(shí)間為 KA 200時(shí) KA 1500時(shí) KA 13 5時(shí) 3 3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析 45 例3 2一位置隨動(dòng)系統(tǒng) K 4 求 該系統(tǒng)的阻尼比 自然振蕩角頻率和單位階躍響應(yīng) 系統(tǒng)的峰值時(shí)間 調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量 若要求阻尼比等于0 707 應(yīng)怎樣改變系統(tǒng)放大系數(shù)K值 解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 和標(biāo)準(zhǔn)式比較得 46 47 從上可以看出 降低開環(huán)放大系數(shù)K值能使阻尼比增大 超調(diào)量下降 可改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能 但在以后的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析中可知 降低開環(huán)放大系數(shù)將使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增大 要求 0 707時(shí) 48 2 過阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 階躍響應(yīng)是從0到1的單調(diào)上升過程 超調(diào)量為0 用ts即可描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能 49 總結(jié) 各性能指標(biāo)之間是有矛盾的 50 在改善二階系統(tǒng)性能的方法中 比例 微分控制和速度反饋是常用的兩種方法 比例 微分控制 具有反饋的隨動(dòng)控制系統(tǒng) 3 3 4二階系統(tǒng)性能的改善 51 參照式 3 21 有 52 由上式可見 引入比例 微分控制后 系統(tǒng)的無阻尼振蕩角頻率 n不變 但系統(tǒng)的等效阻尼比加大了 d 同時(shí) 引入比例 微分控制后 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)出現(xiàn)附加零點(diǎn) 1 Td 閉環(huán)零點(diǎn)存在 將會(huì)使系統(tǒng)響應(yīng)速度加快 削弱 阻尼 的作用 因此適當(dāng)選擇微分時(shí)間常數(shù)Td 可使系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間縮短 超調(diào)量減小 抑制了振蕩 改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能 53 2 輸出量的速度反饋控制在原典型二階系統(tǒng)的反饋通路中增加輸出信號(hào)的速度分量反饋信號(hào) 結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 e t 為誤差信號(hào) Kf為輸出量的速度反饋系數(shù) 54 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)成為 閉環(huán)傳遞函數(shù)為 55 由上式可見 引入速度反饋控制后 增加了附加項(xiàng) 同樣使系統(tǒng)的無阻尼振蕩角頻率 n不變 等效阻尼比增大 d 因而使系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間縮短 超調(diào)量減小 系統(tǒng)的平穩(wěn)性得到改善 但系統(tǒng)沒有附加閉環(huán)零點(diǎn)的影響 56 3 3 4二階系統(tǒng)性能的改善 系統(tǒng)超調(diào)大的原因是在系統(tǒng)響應(yīng)接近穩(wěn)態(tài)值時(shí) 積累的速度過快而使超調(diào)過大 為了減小超調(diào) 抑制振蕩可以引入一個(gè)與速度有關(guān)的負(fù)反饋 適當(dāng)?shù)貕旱退俣?從而提高平穩(wěn)性 兩種常用的改善系統(tǒng)性能的方法是引入輸出量的速度反饋控制或者采用誤差信號(hào)的比例 微分控制 輸出量的速度反饋控制 誤差信號(hào)的比例 微分控制 速度反饋的開環(huán)增益降低會(huì)加大系統(tǒng)在斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 速度反饋不影響系統(tǒng)的自然頻率 可增大系統(tǒng)的阻尼比 速度反饋不形成閉環(huán)零點(diǎn) 適當(dāng)選擇開環(huán)增益 以使系統(tǒng)在斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差減小 單位階躍輸入時(shí)有滿意的動(dòng)態(tài)性能 比例 微分控制不影響系統(tǒng)的自然頻率 由于阻尼比 可通過適當(dāng)選擇微分時(shí)間常數(shù)改變阻尼的大小 由于微分時(shí)對(duì)噪聲有放大作用 高頻噪聲 所以輸入噪聲大時(shí) 不宜采用 3 3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析 57 3 4高階系統(tǒng)分析 58 凡是由三階和三階以上微分方程描述的系統(tǒng) 稱為高階系統(tǒng) 在控制工程中的絕大多數(shù)系統(tǒng)都是高階系統(tǒng) 對(duì)于高階系統(tǒng)來說 其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的確定是比較復(fù)雜的 工程上常采用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行近似分析 以便將高階系統(tǒng)在一定的條件下轉(zhuǎn)化為近似的一階或二階系統(tǒng)進(jìn)行分析研究 由于數(shù)字計(jì)算機(jī)的發(fā)展和普及 特別是已經(jīng)出現(xiàn)一些求解高階微分方程的軟件 如MATLAB等 容易求出高階系統(tǒng)的輸出解及繪制出相應(yīng)的響應(yīng)曲線 59 G s H s 一般是復(fù)變量s的多項(xiàng)式之比 故上式可記為 控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖所示 其閉環(huán)傳遞函數(shù)為 60 式中0 k 1 即系統(tǒng)有q個(gè)實(shí)極點(diǎn)和r對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) 稱為系統(tǒng)閉環(huán)特征根 或閉環(huán)極點(diǎn) 根據(jù)能量的有限性 分子多項(xiàng)式的階次m不高于分母多項(xiàng)式的階次n 對(duì)上式進(jìn)行因式分解 可以表示為 61 取拉氏反變換 并設(shè)全部初始條件為零 得到系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的時(shí)間表達(dá)式 于是 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換 式中 k arccos k Ak Bk是與C s 在對(duì)應(yīng)閉環(huán)極點(diǎn)上的留數(shù)有關(guān)的常數(shù) 62 一 高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)與一 二階系統(tǒng)的形式相同 均由兩個(gè)分量組成 一是穩(wěn)態(tài)分量 A0 與時(shí)間t無關(guān) 二是與時(shí)間t有關(guān)的動(dòng)態(tài)分量 高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 63 結(jié)論 1 若所有閉環(huán)極點(diǎn)都分布在s的左半平面 那么當(dāng)時(shí)間t趨于無窮大時(shí) 動(dòng)態(tài)分量都趨于零 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量為 A0 這時(shí) 高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的 只要有一個(gè)正極點(diǎn)或正實(shí)部的復(fù)數(shù)極點(diǎn)存在 那么當(dāng)t趨于無窮大時(shí) 該極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)分量就趨于無窮大 系統(tǒng)輸出也就為無窮大 這時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 2 各分量衰減的快慢取決于指數(shù)衰減常數(shù) 若閉環(huán)極點(diǎn)位于s的左半平面且遠(yuǎn)離虛軸越遠(yuǎn) 其對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量衰減得越快 反之 則衰減越慢 64 3 各分量的幅值與閉環(huán)極點(diǎn) 零點(diǎn)在s平面中的位置有關(guān) 若某極點(diǎn)的位置離原點(diǎn)很遠(yuǎn) 那么其相應(yīng)的系數(shù)將很小 所以 遠(yuǎn)離原點(diǎn)的極點(diǎn) 其動(dòng)態(tài)分量幅值小 衰減快 對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)影響很小 若某極點(diǎn)靠近一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)又遠(yuǎn)離原點(diǎn)及其它極點(diǎn) 則相應(yīng)項(xiàng)的幅值較小 該動(dòng)態(tài)分量的影響也較小 工程上常把處于這種情況的閉環(huán)零點(diǎn) 極點(diǎn) 稱之為偶極子 一般地這對(duì)閉環(huán)零 極點(diǎn)之間的距離要比它們本身的模值小一個(gè)數(shù)量級(jí) 偶極子對(duì)動(dòng)態(tài)分量影響較小的現(xiàn)象 稱之為零極點(diǎn)相消 若某極點(diǎn)遠(yuǎn)離零點(diǎn)又接近原點(diǎn) 則相應(yīng)的幅值就較大 因此 離原點(diǎn)很近并且附近又沒有閉環(huán)零點(diǎn)的極點(diǎn) 其動(dòng)態(tài)分量項(xiàng)不僅幅值大 而且衰減慢 對(duì)系統(tǒng)輸出量的影響最大 65 二 主導(dǎo)極點(diǎn)的概念在高階系統(tǒng)中 如果存在某個(gè)離虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn) 而其它閉環(huán)極點(diǎn)與虛軸的距離比起這個(gè)極點(diǎn)與虛軸的距離 實(shí)部長(zhǎng)度 大5倍以上 且其附近不存在閉環(huán)零點(diǎn) 則可以認(rèn)為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)主要由這個(gè)極點(diǎn)決定 稱這個(gè)對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的閉環(huán)極點(diǎn)為主導(dǎo)極點(diǎn) 對(duì)應(yīng)地 其它的極點(diǎn)稱為普通極點(diǎn)或非主導(dǎo)極點(diǎn) 在高階穩(wěn)定系統(tǒng)中 主導(dǎo)極點(diǎn)往往是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) 因?yàn)檫@可以得到系統(tǒng)最小的調(diào)節(jié)時(shí)間和較高的精度 66 三 利用主導(dǎo)極點(diǎn)的概念分析高階系統(tǒng)因此 在對(duì)高階系統(tǒng)性能進(jìn)行分析時(shí) 如果能找到一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn) 那么高階系統(tǒng)就可以近似地當(dāng)作二階系統(tǒng)來分析 并用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)公式來估計(jì)系統(tǒng)的性能 如果能找到一個(gè)主導(dǎo)極點(diǎn) 那么高階系統(tǒng)可以按一階系統(tǒng)來分析 同樣 在設(shè)計(jì)一個(gè)高階系統(tǒng)時(shí) 也常常利用主導(dǎo)極點(diǎn)來選擇系統(tǒng)參數(shù) 使系統(tǒng)具有一對(duì)共軛主導(dǎo)極點(diǎn) 以利于近似地用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來定性系統(tǒng) 67 若高階系統(tǒng)不滿足應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的條件 則高階系統(tǒng)不能近似為二階系統(tǒng) 這時(shí)高階系統(tǒng)的過渡過程必須具體求解 其研究方法同一階 二階系統(tǒng) 有時(shí) 對(duì)于不大符合存在閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)條件的高階系統(tǒng) 可設(shè)法使其符合條件 例如 在某些不希望的閉環(huán)極點(diǎn)附近引入閉環(huán)零點(diǎn) 人為地構(gòu)成偶極子 產(chǎn)生零極點(diǎn)相消 另外 在許多實(shí)際應(yīng)用中 比主導(dǎo)極點(diǎn)距離虛軸遠(yuǎn)2 3倍的閉環(huán)零 極點(diǎn) 在某些條件下也可考慮為略去之列 68 3 4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 3 4 1穩(wěn)定的基本概念 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的固有特征 結(jié)構(gòu) 參數(shù) 與系統(tǒng)的輸入信號(hào)無關(guān) 穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特性 是擾動(dòng)消失后系統(tǒng)自身的恢復(fù)能力 對(duì)線性定常系統(tǒng) 當(dāng)輸入為零時(shí) 輸出為零的點(diǎn)為其唯一的平衡點(diǎn) 當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)為零時(shí) 在非零初始條件作用下 如果系統(tǒng)的輸出信號(hào)隨時(shí)間的推移而趨于零 即系統(tǒng)能夠自行回到平衡點(diǎn) 則稱該線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的 或者說 如果線性定常系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)中的初始條件分量 零輸入響應(yīng) 趨于零 則系統(tǒng)是穩(wěn)定的 否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 69 3 4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 3 4 2穩(wěn)定的充分必要條件 任何一個(gè)系統(tǒng)的輸出都可以表達(dá)為 其中 M S 稱為輸入端算子式 D S 稱為輸出端算子式 M0 S 是與系統(tǒng)初態(tài)有關(guān)的多項(xiàng)式 C S 可以展開為 其中 Si為D S 之根 Srj為之根R S 之根 Ai0 Bj Ci為待定系數(shù) 系統(tǒng)響應(yīng)C t 為 綜合上述分析可得出線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為 系統(tǒng)的所有特征根具有負(fù)實(shí)部 或者說所有特征根位于 s 平面的左半面 即Re si 0 第一 二項(xiàng) 穩(wěn)態(tài)分量 為零狀態(tài)響應(yīng) 第三項(xiàng)為初始狀態(tài)作用下的零輸入響應(yīng) 根據(jù)穩(wěn)定的定義可知 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由零輸入響應(yīng)所決定的 因此要系統(tǒng)穩(wěn)定 只需零輸入響應(yīng)漸近為零 70 3 4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 3 4 3勞斯 Routh 穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)的特征方程D S a0Sn a1Sn 1 an 0勞斯 Routh 穩(wěn)定判據(jù) a0 an 0 勞斯陣列中第一列元素全部為正 勞斯陣列第一列中出現(xiàn)負(fù)數(shù) 系統(tǒng)不穩(wěn)定 且符號(hào)改變次數(shù)代表正實(shí)根的數(shù)目 勞斯陣列的編制方法 特征方程的系數(shù) 71 3 4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 3 4 4代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用 判別系統(tǒng)穩(wěn)定性 例如某系統(tǒng)的特征方程為 試判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解 勞斯陣列如下 由于勞斯陣列第一列元素不全為正 因此由勞斯穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)不穩(wěn)定 第一列元素符號(hào)由7 3變?yōu)?4 7 再由 4 7變?yōu)? 即改變次數(shù)為兩次 因此由勞斯穩(wěn)定判據(jù)還可以得出系統(tǒng)特征方程的特征根有兩個(gè)位于s的右半平面 分析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性影響 利用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)可確定系統(tǒng)個(gè)別參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響 以及為使系統(tǒng)穩(wěn)定 這些參數(shù)應(yīng)取值的范圍 若討論的參數(shù)為開環(huán)放大倍數(shù) 使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)放大倍數(shù)的臨界值稱為臨界放大倍數(shù) 72 3 4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳為試求保證閉環(huán)系統(tǒng) 穩(wěn)定的開環(huán)增益K的可調(diào)范圍 解系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為 由此可得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為 D s s3 14s2 40s K 0 根據(jù)穩(wěn)定條件 K 0 得 0 K 560 73 穩(wěn)態(tài)誤差定義為穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值 用ess表示 即 它是衡量系統(tǒng)最終控制精度的重要性能指標(biāo) 3 5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 3 5 1誤差與穩(wěn)態(tài)誤差 系統(tǒng)誤差定義為e t r t b t r t 相當(dāng)于代表希望值的指令輸入 而b t 相當(dāng)于被控量c t 的測(cè)量值 且b t 與r t 同量綱 H s 為檢測(cè)元件 系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖 74 3 5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 3 5 2穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算 如果系統(tǒng)的誤差的拉氏變換E s 在 s 的右半面及除原點(diǎn)外的虛軸上沒有極點(diǎn) 則其穩(wěn)態(tài)誤差可用拉氏變換的終值定理進(jìn)行求解 令系統(tǒng)對(duì)輸入指令的誤差傳遞函數(shù) er s 和系統(tǒng)對(duì)干擾的誤差傳遞函數(shù) en s 分別為 則可將誤差表示為 一個(gè)計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的例子 75 一個(gè)計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的例子 已知r t t n t 1 t 試計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess 1 首先判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解 3 5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 76 2 求 s 3 求穩(wěn)態(tài)誤差 3 5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 77 3 5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 3 5 3系統(tǒng)的型別 K 為系統(tǒng)的開環(huán)增益 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 0 系統(tǒng)就稱為0型 1 系統(tǒng)就稱為1型 2 系統(tǒng)就稱為2型 為積分環(huán)節(jié)數(shù) 78 3 5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 3 5 4利用型別求取r t 作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 只考慮r t 作用時(shí) 系統(tǒng)的誤差拉氏變換為 在系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí) 則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 r t R0 1 t R s R0 s r t V0t R s V0 s2 r t a0t2 2 R s a0 s3 79 3 5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 ess與G S H S 型別的關(guān)系表 80 3 5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 已知 t r 1 t t2 2 求essn 解 先將上圖變?yōu)閱挝回?fù)反饋系統(tǒng) D S S2 S 1 0 系統(tǒng)穩(wěn)定 由G S 可知系統(tǒng)為I型系統(tǒng) ess1 0 ess2 1 kp 1 k 1 ess3 ess ess1 ess2 ess3 81 82 典型二階系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 83 二階系統(tǒng)引入速度反饋控制時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 84 二階系統(tǒng)引入比例微分控制時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 85 二階系統(tǒng)引入比例積分控制時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 86 穩(wěn)態(tài)誤差比較 典型二階系統(tǒng)引入速度反饋環(huán)節(jié)后 跟蹤階躍信號(hào)和加速度信號(hào)時(shí)與原系統(tǒng)有相同的穩(wěn)態(tài)誤差 而跟蹤斜坡信號(hào)時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差比原系統(tǒng)要大 典型二階系統(tǒng)引入比例微分環(huán)節(jié)后不改變?cè)到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 引入比例積分環(huán)節(jié)后將減小原系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 原二階系統(tǒng)速度反饋比例微分比例積分 87 3 6 6 動(dòng)態(tài)誤差系數(shù) 前面討論的誤差系數(shù)都稱為靜態(tài)誤差系數(shù) 它們分別針對(duì)輸入為階躍函數(shù) 斜坡函數(shù)和拋物線函數(shù)而言的 其特點(diǎn)是對(duì)于一個(gè)給定系統(tǒng)只有一個(gè)系數(shù)為有限值 其它系數(shù)不是零就是無窮大 因而 通過靜態(tài)誤差系數(shù)求得的穩(wěn)態(tài)誤差或是零 或是有限非零值 或是無窮大 而不反映誤差與時(shí)間的關(guān)系 下面介紹的動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法 可以研究輸入信號(hào)幾乎為任意時(shí)間函數(shù)時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差與時(shí)間的關(guān)系 因此動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)又稱廣義誤差系數(shù) 現(xiàn)只考慮給定作用與偏差之間的誤差傳遞函數(shù) 考慮到t 時(shí)的情況 也就是s 0的情況 將誤差傳遞函數(shù)在s 0的鄰域內(nèi)展開成泰勒級(jí)數(shù) 88 其中 于是 這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂域是s 0的鄰域 相當(dāng)于t 時(shí)的情況 求拉氏反變換 可得t 時(shí)誤差函數(shù)的表達(dá)式 89 可見 t 時(shí)的誤差函數(shù)的表達(dá)式與輸入函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)有關(guān) 仿照靜態(tài)誤差系數(shù)的定義 可定義動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)如下 k0 動(dòng)態(tài)位置誤差系數(shù)k1 動(dòng)態(tài)速度誤差系數(shù)k2 動(dòng)態(tài)加速度誤差系數(shù) 應(yīng)當(dāng)指出 這里所謂 動(dòng)態(tài) 兩字的含義是指這種方法可以完整描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差ess t 隨時(shí)間變化的規(guī)律 而不是指誤差信號(hào)中的瞬態(tài)分量ets t 隨時(shí)間變化的情況 即不應(yīng)包含的誤差信號(hào)中隨時(shí)間趨于零的分量 此外上面給出的誤差級(jí)數(shù)僅在t 時(shí)成立 因此如果輸入信號(hào)r t 中包含有隨時(shí)間趨于零的分量 則這些分量不應(yīng)包含在穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)表達(dá)式中的輸入函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)之內(nèi) 90 動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)的另一種求法 將誤差傳遞函數(shù)寫成s有理分式形式 利用長(zhǎng)除法得到各動(dòng)態(tài)誤差系數(shù) 當(dāng)v 0時(shí) 91 當(dāng)v 1時(shí) 當(dāng)v 2時(shí) 92 二 擾動(dòng)輸入作用下系統(tǒng)的誤差分析 通常 給定輸入作用產(chǎn)生的誤差稱為系統(tǒng)的給定誤差 擾動(dòng)作用產(chǎn)生的誤差為擾動(dòng)誤差 時(shí)產(chǎn)生的成為擾動(dòng)誤差 如下圖 可見 不僅與有關(guān) 還與有關(guān) 擾動(dòng)點(diǎn)到輸出點(diǎn)之間的那部分前向通道傳遞函數(shù) 93 3 5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 essn與G1 S G2 S 型別的關(guān)系表 3 5 5利用型別求取n t 作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 94 例子 考慮下面兩個(gè)系統(tǒng) 圖a和圖b的開環(huán)傳遞函數(shù)是一樣的 對(duì)于給定輸入 其穩(wěn)態(tài)誤差是一樣的 假設(shè)輸入為階躍信號(hào) 擾動(dòng)誤差與積分環(huán)節(jié)的關(guān)系 但對(duì)于擾動(dòng)作用 由于擾動(dòng)點(diǎn)不同 擾動(dòng)前向通道不同 其擾動(dòng)誤差是不一樣的 95 若在擾動(dòng)作用點(diǎn)和偏差點(diǎn)之間增加一個(gè)積分環(huán)節(jié) 串聯(lián)或并聯(lián) 可減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差 對(duì)于給定輸入和擾動(dòng)作用同時(shí)存在的系統(tǒng) 系統(tǒng)的總穩(wěn)態(tài)誤差等于給定誤差和擾動(dòng)誤差的迭加 誤差點(diǎn)定義在同一點(diǎn) 擾動(dòng)誤差與積分環(huán)節(jié)的關(guān)系 96 擾動(dòng)誤差與積分環(huán)節(jié)的關(guān)系 例 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示 當(dāng)時(shí) 求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 若要求穩(wěn)態(tài)誤差為零 如何改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 解 該系統(tǒng)對(duì)給定輸入而言屬于 型系統(tǒng) 所以當(dāng)給定輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 但該系統(tǒng)對(duì)于擾動(dòng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差并不等于零 系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為 97 若想使穩(wěn)態(tài)誤差為零 則要求G1中有積分環(huán)節(jié) 令 擾動(dòng)誤差與積分環(huán)節(jié)的關(guān)系 此時(shí) 由于此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性遭到破壞 成為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng) 直接加一個(gè)積分環(huán)節(jié)是不可行的 若要使系統(tǒng)穩(wěn)定 還必須在原G1中引入比例 微分環(huán)節(jié) 當(dāng)K1 0 K2 0 0時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定 對(duì)不對(duì) 98 擾動(dòng)誤差與積分環(huán)節(jié)的關(guān)系 由此可見當(dāng)用時(shí) 才能在保證穩(wěn)定的前提下使系統(tǒng)在階躍擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零 這個(gè)環(huán)節(jié)稱為比例 積分環(huán)節(jié)或比例 積分控制器 PI控制器 這個(gè)環(huán)節(jié)稱為比例 積分 微分環(huán)節(jié)或比例 積分 微分控制器 PID控制器 所謂比例 積分 PI 或比例 積分 微分 PID 控制器的作用就是在保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定及動(dòng)態(tài)特性的前提下提高系統(tǒng)的控制精度 99 穩(wěn)態(tài)誤差的例子 例3 9 例3 9 速度控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 給定輸入和擾