自動控制原理(胡壽松) 第三章ppt

1 第三章控制系統(tǒng)的時域分析 2 3 1典型輸入信號和時域分析法 3 3 1 1典型輸入信號 時間響應(yīng)表現(xiàn)系統(tǒng)動態(tài)性能 不僅取決于系統(tǒng)本身特性 微方 還與輸入信號形式有關(guān) 系統(tǒng)工作時 外加輸入信號是隨機(jī)的 無法確定它在某一瞬間的形式 系統(tǒng)分析和設(shè)計時 對各種系統(tǒng)性能進(jìn)行比較要預(yù)先規(guī)定一些具有特殊形式的實驗信號作為輸入 然后比較系統(tǒng)的響應(yīng) 4 典型信號的選取原則 輸入的形式應(yīng)反映系統(tǒng)在工作中所響應(yīng)的實際輸入 輸入信號在形式上應(yīng)盡可能簡單 以便于對系統(tǒng)響應(yīng)的分析 應(yīng)選取能使系統(tǒng)工作在最不利情況下的輸入信號作為典型輸入信號 常用的典型實驗信號階躍 斜坡 拋物線 脈沖正弦 頻率分析法 5 1 階躍函數(shù) 階躍函數(shù)的拉普拉斯變換為 6 2 斜坡函數(shù) 斜坡函數(shù)的拉普拉斯變換為 7 3 拋物線函數(shù) 拋物線函數(shù)的拉普拉斯變換為 8 4 脈沖函數(shù) 理想脈沖函數(shù)的拉普拉斯變換為 其中脈沖寬度為h 脈沖面積等于A 若對脈沖的寬度h取趨于零的極限 則有 當(dāng)A 1 h 0 時 稱此脈沖函數(shù)為理想單位脈沖函數(shù) 記作 9 5 正弦函數(shù) 正弦函數(shù)的拉普拉斯變換為 10 3 1 2動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程 動態(tài)過程 又稱為過渡過程或瞬態(tài)過程 是指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下 系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到接近最終狀態(tài)的響應(yīng)過程 動態(tài)過程表現(xiàn)為衰減 發(fā)散或等幅振蕩形式 一個實際運(yùn)行的控制系統(tǒng) 其動態(tài)過程必須是衰減的 換句話說 系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的 動態(tài)過程的其他信息用動態(tài)性能描述 2 穩(wěn)態(tài)過程 是系統(tǒng)在典型輸入信號作用下 當(dāng)時間t趨于無窮時 系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式 穩(wěn)態(tài)過程又稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度 用穩(wěn)態(tài)誤差來描述 11 3 1 3時域性能指標(biāo) 1 動態(tài)性能指標(biāo) 描述穩(wěn)定系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下 動態(tài)過程隨t衰減的變化狀態(tài)的指標(biāo) 稱為動態(tài)性能指標(biāo) 12 3 1典型輸入信號和時域性能指標(biāo) h t t 0 性能指標(biāo)有6個 其中反映系統(tǒng)響應(yīng)初始段快慢的有3項指標(biāo) 上升時間 延遲時間 峰值時間 反映系統(tǒng)過渡過程持續(xù)時間的指標(biāo) 調(diào)節(jié)時間反映系統(tǒng)整個響應(yīng)過程的振蕩程度的指標(biāo) 超調(diào)量體現(xiàn)系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)信號能力的指標(biāo) 穩(wěn)態(tài)誤差ess ess 1 h 當(dāng)h 1時 ess 0 3 1 3時間響應(yīng)及性能指標(biāo) 13 1 上升時間tr響應(yīng)曲線從零時刻到首次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的時間 或 響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10 上升到90 所需時間 無超調(diào)系統(tǒng) 反映響應(yīng)曲線上升趨勢表示響應(yīng)速度指標(biāo) 2 峰值時間tp響應(yīng)曲線從0到達(dá)第一個峰值所需的時間 3 調(diào)整時間 調(diào)節(jié)時間 ts在響應(yīng)曲線從0到達(dá)且不再超過穩(wěn)態(tài)值的 5 或 2 誤差范圍所需的最少時間 允許誤差 0 05或 0 02 14 4 最大超調(diào)量 指在系統(tǒng)響應(yīng)過程中 輸出量的最大值超過穩(wěn)態(tài)值的百分比 5 振蕩次數(shù)N 在調(diào)節(jié)時間ts內(nèi) c t 偏離c 的振蕩次數(shù) 注 以上各種性能指標(biāo)中 上升時間 峰值時間和調(diào)節(jié)時間都表示動態(tài)過程進(jìn)行的快慢程度 是快速性指標(biāo) 超調(diào)量反映動態(tài)過程振蕩激烈程度 是平穩(wěn)性指標(biāo) 也稱相對穩(wěn)定性能 超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間是反映系統(tǒng)動態(tài)性能好壞的兩個最主要指標(biāo) 15 2 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo) 穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標(biāo) 是當(dāng)時間趨于無窮時 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值與輸入量之差 即 具有單調(diào)上升的階躍響應(yīng) 無超調(diào)量 只取調(diào)節(jié)時間ts作為動態(tài)性能指標(biāo) 16 3 2一階系統(tǒng)的時域分析 17 傳遞函數(shù) T 1 K 時間常數(shù) 秒 表征系統(tǒng)慣性 結(jié)構(gòu)圖 3 2 1一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 18 1 單位階躍響應(yīng) 19 特點 按指數(shù)規(guī)律上升 t 0處切線斜率為1 T 參數(shù)未知 可由一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)實驗曲線確定T 20 調(diào)整時間ts 理論上 瞬態(tài)結(jié)束進(jìn)入穩(wěn)態(tài)t 工程上 與系統(tǒng)要求精度有關(guān)ts 4T 誤差范圍2 ts 3T 誤差范圍5 ts大小作為評價系統(tǒng)響應(yīng)快慢的指標(biāo) 調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)T 提高系統(tǒng)快速性注 ts只反映系統(tǒng)特性 與輸入 輸出無關(guān) 21 2 單位斜坡響應(yīng) 22 3 單位拋物線響應(yīng) 當(dāng)時間t 時 系統(tǒng)輸出信號與輸入信號之差將趨于無窮大 說明對于一階系統(tǒng)是不能跟蹤單位拋物線函數(shù)輸入信號的 23 4 單位脈沖響應(yīng) 24 一個一階系統(tǒng)分析的例子 解 由圖得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 3 2一階系統(tǒng)的時域分析 一階系統(tǒng)如圖 系統(tǒng)加入單位階躍輸入 當(dāng)KH 1時 求調(diào)節(jié)時間ts 若KH 0 1 則調(diào)節(jié)時間ts為多少 若要求ts 0 1秒 問KH應(yīng)為何值 時間常數(shù)T 0 1 KH總放大倍數(shù)為1 KH 1 當(dāng)KH 1時 2 當(dāng)KH 0 1時 3 若要求調(diào)節(jié)時間ts 0 1秒 閉環(huán)傳遞函數(shù) 25 1 一階系統(tǒng)對典型輸入信號的響應(yīng)及響應(yīng)之間關(guān)系 3 2 1一階系統(tǒng)的重要性質(zhì) 26 一階系統(tǒng)只有一個特征參數(shù)T 即其時間常數(shù) 在一定的輸入信號作用下 其時間響應(yīng)c t 由其時間常數(shù)惟一確定 從表可以看出 系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù) 系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分 這一重要特性適用于任何階次的線性定常系統(tǒng) 線性定常系統(tǒng)的重要特性 利用這一特點 在測試系統(tǒng)時 可以用一種信號輸入推斷出幾種相應(yīng)信號的響應(yīng)結(jié)果 帶來很大方便 而線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)都不具備這種特性 2 結(jié)論 27 3 3二階系統(tǒng)的時域分析 28 3 3二階系統(tǒng)的時域分析 3 3 1二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 凡以二階系統(tǒng)微分方程描述的系統(tǒng) 稱為二階系統(tǒng) 稱為阻尼比 相對阻尼系數(shù) n為無阻尼自振角頻率 固有頻率 它們是二階系統(tǒng)的特征參數(shù) 微分方程 傳遞函數(shù) 用閉環(huán)結(jié)構(gòu)圖表示為 29 3 3 2二階系統(tǒng)的特征根及性質(zhì) 特征根方程 特征根 特征根性質(zhì) 零阻尼 0 方程有一對純虛根 輸出等幅振蕩 過阻尼 1 方程有兩個不等的負(fù)實根 輸出無振蕩 臨界阻尼 1 方程有一對相等的負(fù)實根 輸出無振蕩 欠阻尼0 1 方程有一對實部為負(fù)數(shù)的共軛復(fù)根 輸出振蕩 3 3二階系統(tǒng)的時域分析 30 3 3 3二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 3 3二階系統(tǒng)的時域分析 二階系統(tǒng)輸出的一般式為 式中s1 s2為系統(tǒng)特征根 而 二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)通用曲線 1時 階躍響應(yīng)表現(xiàn)為無振蕩的單調(diào)上升曲線 以 1時的過渡過程時間最短 0時系統(tǒng)響應(yīng)變成等幅振蕩 在欠阻尼情況中 減小 響應(yīng)的初始階段較快 但響應(yīng)振蕩特性加劇 取0 4 0 8時 過渡過程時間短 振蕩也不劇烈 0 707時系統(tǒng)響應(yīng)性能指標(biāo)最優(yōu) 稱為最佳阻尼比 31 1 當(dāng) 0時 系統(tǒng)有一對共軛純虛根 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)作等幅振蕩 稱為無阻尼或零阻尼狀態(tài) 32 2 當(dāng)0 1時 此時系統(tǒng)特征方程具有一對負(fù)實部的共軛復(fù)根 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)具有衰減振蕩特性 稱為欠阻尼狀態(tài) 33 3 當(dāng) 1時 特征方程具有兩個相等的負(fù)實根 稱為臨界阻尼狀態(tài) 34 4 當(dāng) 1時 特征方程具有兩個不相等的負(fù)實根 稱為過阻尼狀態(tài) 35 臨界阻尼 1 時的單位階躍響應(yīng) 響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量為1 暫態(tài)分量隨著時間的推移最終衰減到零 ess 0 3 3二階系統(tǒng)的時域分析 36 欠阻尼 0 1 時的單位階躍響應(yīng) 穩(wěn)態(tài)分量為1 暫態(tài)分量為振幅隨時間按負(fù)指數(shù)規(guī)律衰減的周期函數(shù) 其振蕩角頻率為 d 由于 可見 的值越大 振幅衰減越快 最終衰減到零 響應(yīng)頻率越快ess 0 arccos 3 3二階系統(tǒng)的時域分析 37 1 上升時間tr當(dāng)t tr時 c tr 1 上升時間tr是c t 第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)時間 3 3 2典型二階系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo) 1 欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo) 38 2 峰值時間tPtP處有極值 故該處導(dǎo)數(shù)值為0 39 3 超調(diào)量 上式表明 超調(diào)量 僅是阻尼比 的函數(shù) 與自然頻率 n無關(guān) 40 4 調(diào)整時間ts 在設(shè)計系統(tǒng)時 通常由要求的最大超調(diào)量決定 而調(diào)節(jié)時間則由無阻尼振蕩頻率 n來決定 41 5 振蕩次數(shù)N 其中 42 上面求得的tr tp ts 和N與二階系統(tǒng)特征參數(shù)之間的關(guān)系是分析二階系統(tǒng)動態(tài)性能的基礎(chǔ) 若已知 和 n的值或復(fù)平面上特征方程根的位置 則可以計算出各個性能指標(biāo) 另一方面 也可以根據(jù)對系統(tǒng)的動態(tài)性能要求 由性能指標(biāo)確定二階系統(tǒng)的特征參數(shù) 和 n 從平穩(wěn)性看 越大越好 通常為了獲得良好的平穩(wěn)性和快速性 阻尼比取在0 4 0 8之間 相應(yīng)的超調(diào)量25 2 5 最佳阻尼比0 707 43 3 3二階系統(tǒng)的時域分析 一個二階系統(tǒng)分析的例子 典型二階系統(tǒng)欠阻尼時的動態(tài)性能指標(biāo) 上升時間tr 峰值時間tp 超調(diào)量 調(diào)節(jié)時間ts 44 一個二階系統(tǒng)分析的例子 已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為 設(shè)系統(tǒng)的輸入量為單位階躍函數(shù) 試計算放大器的增益KA 200時 系統(tǒng)輸出響應(yīng)的動態(tài)性能指標(biāo) 若KA增大到1500或減小到13 5時 求系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo) 解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 1 KA 200時 代入上式求得 n 31 5rad s 0 545 代入二階欠阻尼系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)的計算公式 可得 2 KA 1500時 求得 n 86 2rad s 0 2 同理可求得動態(tài)指標(biāo) 3 KA 13 5時 得 n 8 22rad s 3 1 1 此時系統(tǒng)為過阻尼情況 峰值時間和超調(diào)量不存在 而調(diào)節(jié)時間為 KA 200時 KA 1500時 KA 13 5時 3 3二階系統(tǒng)的時域分析 45 例3 2一位置隨動系統(tǒng) K 4 求 該系統(tǒng)的阻尼比 自然振蕩角頻率和單位階躍響應(yīng) 系統(tǒng)的峰值時間 調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量 若要求阻尼比等于0 707 應(yīng)怎樣改變系統(tǒng)放大系數(shù)K值 解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 和標(biāo)準(zhǔn)式比較得 46 47 從上可以看出 降低開環(huán)放大系數(shù)K值能使阻尼比增大 超調(diào)量下降 可改善系統(tǒng)動態(tài)性能 但在以后的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析中可知 降低開環(huán)放大系數(shù)將使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增大 要求 0 707時 48 2 過阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo) 階躍響應(yīng)是從0到1的單調(diào)上升過程 超調(diào)量為0 用ts即可描述系統(tǒng)的動態(tài)性能 49 總結(jié) 各性能指標(biāo)之間是有矛盾的 50 在改善二階系統(tǒng)性能的方法中 比例 微分控制和速度反饋是常用的兩種方法 比例 微分控制 具有反饋的隨動控制系統(tǒng) 3 3 4二階系統(tǒng)性能的改善 51 參照式 3 21 有 52 由上式可見 引入比例 微分控制后 系統(tǒng)的無阻尼振蕩角頻率 n不變 但系統(tǒng)的等效阻尼比加大了 d 同時 引入比例 微分控制后 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)出現(xiàn)附加零點 1 Td 閉環(huán)零點存在 將會使系統(tǒng)響應(yīng)速度加快 削弱 阻尼 的作用 因此適當(dāng)選擇微分時間常數(shù)Td 可使系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間縮短 超調(diào)量減小 抑制了振蕩 改善了系統(tǒng)的動態(tài)性能 53 2 輸出量的速度反饋控制在原典型二階系統(tǒng)的反饋通路中增加輸出信號的速度分量反饋信號 結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 e t 為誤差信號 Kf為輸出量的速度反饋系數(shù) 54 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)成為 閉環(huán)傳遞函數(shù)為 55 由上式可見 引入速度反饋控制后 增加了附加項 同樣使系統(tǒng)的無阻尼振蕩角頻率 n不變 等效阻尼比增大 d 因而使系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間縮短 超調(diào)量減小 系統(tǒng)的平穩(wěn)性得到改善 但系統(tǒng)沒有附加閉環(huán)零點的影響 56 3 3 4二階系統(tǒng)性能的改善 系統(tǒng)超調(diào)大的原因是在系統(tǒng)響應(yīng)接近穩(wěn)態(tài)值時 積累的速度過快而使超調(diào)過大 為了減小超調(diào) 抑制振蕩可以引入一個與速度有關(guān)的負(fù)反饋 適當(dāng)?shù)貕旱退俣?從而提高平穩(wěn)性 兩種常用的改善系統(tǒng)性能的方法是引入輸出量的速度反饋控制或者采用誤差信號的比例 微分控制 輸出量的速度反饋控制 誤差信號的比例 微分控制 速度反饋的開環(huán)增益降低會加大系統(tǒng)在斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 速度反饋不影響系統(tǒng)的自然頻率 可增大系統(tǒng)的阻尼比 速度反饋不形成閉環(huán)零點 適當(dāng)選擇開環(huán)增益 以使系統(tǒng)在斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差減小 單位階躍輸入時有滿意的動態(tài)性能 比例 微分控制不影響系統(tǒng)的自然頻率 由于阻尼比 可通過適當(dāng)選擇微分時間常數(shù)改變阻尼的大小 由于微分時對噪聲有放大作用 高頻噪聲 所以輸入噪聲大時 不宜采用 3 3二階系統(tǒng)的時域分析 57 3 4高階系統(tǒng)分析 58 凡是由三階和三階以上微分方程描述的系統(tǒng) 稱為高階系統(tǒng) 在控制工程中的絕大多數(shù)系統(tǒng)都是高階系統(tǒng) 對于高階系統(tǒng)來說 其動態(tài)性能指標(biāo)的確定是比較復(fù)雜的 工程上常采用閉環(huán)主導(dǎo)極點的概念對高階系統(tǒng)進(jìn)行近似分析 以便將高階系統(tǒng)在一定的條件下轉(zhuǎn)化為近似的一階或二階系統(tǒng)進(jìn)行分析研究 由于數(shù)字計算機(jī)的發(fā)展和普及 特別是已經(jīng)出現(xiàn)一些求解高階微分方程的軟件 如MATLAB等 容易求出高階系統(tǒng)的輸出解及繪制出相應(yīng)的響應(yīng)曲線 59 G s H s 一般是復(fù)變量s的多項式之比 故上式可記為 控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖所示 其閉環(huán)傳遞函數(shù)為 60 式中0 k 1 即系統(tǒng)有q個實極點和r對共軛復(fù)數(shù)極點 稱為系統(tǒng)閉環(huán)特征根 或閉環(huán)極點 根據(jù)能量的有限性 分子多項式的階次m不高于分母多項式的階次n 對上式進(jìn)行因式分解 可以表示為 61 取拉氏反變換 并設(shè)全部初始條件為零 得到系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的時間表達(dá)式 于是 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換 式中 k arccos k Ak Bk是與C s 在對應(yīng)閉環(huán)極點上的留數(shù)有關(guān)的常數(shù) 62 一 高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)與一 二階系統(tǒng)的形式相同 均由兩個分量組成 一是穩(wěn)態(tài)分量 A0 與時間t無關(guān) 二是與時間t有關(guān)的動態(tài)分量 高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 63 結(jié)論 1 若所有閉環(huán)極點都分布在s的左半平面 那么當(dāng)時間t趨于無窮大時 動態(tài)分量都趨于零 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量為 A0 這時 高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的 只要有一個正極點或正實部的復(fù)數(shù)極點存在 那么當(dāng)t趨于無窮大時 該極點對應(yīng)的動態(tài)分量就趨于無窮大 系統(tǒng)輸出也就為無窮大 這時系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 2 各分量衰減的快慢取決于指數(shù)衰減常數(shù) 若閉環(huán)極點位于s的左半平面且遠(yuǎn)離虛軸越遠(yuǎn) 其對應(yīng)的響應(yīng)分量衰減得越快 反之 則衰減越慢 64 3 各分量的幅值與閉環(huán)極點 零點在s平面中的位置有關(guān) 若某極點的位置離原點很遠(yuǎn) 那么其相應(yīng)的系數(shù)將很小 所以 遠(yuǎn)離原點的極點 其動態(tài)分量幅值小 衰減快 對系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)影響很小 若某極點靠近一個閉環(huán)零點又遠(yuǎn)離原點及其它極點 則相應(yīng)項的幅值較小 該動態(tài)分量的影響也較小 工程上常把處于這種情況的閉環(huán)零點 極點 稱之為偶極子 一般地這對閉環(huán)零 極點之間的距離要比它們本身的模值小一個數(shù)量級 偶極子對動態(tài)分量影響較小的現(xiàn)象 稱之為零極點相消 若某極點遠(yuǎn)離零點又接近原點 則相應(yīng)的幅值就較大 因此 離原點很近并且附近又沒有閉環(huán)零點的極點 其動態(tài)分量項不僅幅值大 而且衰減慢 對系統(tǒng)輸出量的影響最大 65 二 主導(dǎo)極點的概念在高階系統(tǒng)中 如果存在某個離虛軸最近的閉環(huán)極點 而其它閉環(huán)極點與虛軸的距離比起這個極點與虛軸的距離 實部長度 大5倍以上 且其附近不存在閉環(huán)零點 則可以認(rèn)為系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)主要由這個極點決定 稱這個對動態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的閉環(huán)極點為主導(dǎo)極點 對應(yīng)地 其它的極點稱為普通極點或非主導(dǎo)極點 在高階穩(wěn)定系統(tǒng)中 主導(dǎo)極點往往是一對共軛復(fù)數(shù)極點 因為這可以得到系統(tǒng)最小的調(diào)節(jié)時間和較高的精度 66 三 利用主導(dǎo)極點的概念分析高階系統(tǒng)因此 在對高階系統(tǒng)性能進(jìn)行分析時 如果能找到一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點 那么高階系統(tǒng)就可以近似地當(dāng)作二階系統(tǒng)來分析 并用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)公式來估計系統(tǒng)的性能 如果能找到一個主導(dǎo)極點 那么高階系統(tǒng)可以按一階系統(tǒng)來分析 同樣 在設(shè)計一個高階系統(tǒng)時 也常常利用主導(dǎo)極點來選擇系統(tǒng)參數(shù) 使系統(tǒng)具有一對共軛主導(dǎo)極點 以利于近似地用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來定性系統(tǒng) 67 若高階系統(tǒng)不滿足應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點的條件 則高階系統(tǒng)不能近似為二階系統(tǒng) 這時高階系統(tǒng)的過渡過程必須具體求解 其研究方法同一階 二階系統(tǒng) 有時 對于不大符合存在閉環(huán)主導(dǎo)極點條件的高階系統(tǒng) 可設(shè)法使其符合條件 例如 在某些不希望的閉環(huán)極點附近引入閉環(huán)零點 人為地構(gòu)成偶極子 產(chǎn)生零極點相消 另外 在許多實際應(yīng)用中 比主導(dǎo)極點距離虛軸遠(yuǎn)2 3倍的閉環(huán)零 極點 在某些條件下也可考慮為略去之列 68 3 4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 3 4 1穩(wěn)定的基本概念 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的固有特征 結(jié)構(gòu) 參數(shù) 與系統(tǒng)的輸入信號無關(guān) 穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特性 是擾動消失后系統(tǒng)自身的恢復(fù)能力 對線性定常系統(tǒng) 當(dāng)輸入為零時 輸出為零的點為其唯一的平衡點 當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為零時 在非零初始條件作用下 如果系統(tǒng)的輸出信號隨時間的推移而趨于零 即系統(tǒng)能夠自行回到平衡點 則稱該線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的 或者說 如果線性定常系統(tǒng)時間響應(yīng)中的初始條件分量 零輸入響應(yīng) 趨于零 則系統(tǒng)是穩(wěn)定的 否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 69 3 4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 3 4 2穩(wěn)定的充分必要條件 任何一個系統(tǒng)的輸出都可以表達(dá)為 其中 M S 稱為輸入端算子式 D S 稱為輸出端算子式 M0 S 是與系統(tǒng)初態(tài)有關(guān)的多項式 C S 可以展開為 其中 Si為D S 之根 Srj為之根R S 之根 Ai0 Bj Ci為待定系數(shù) 系統(tǒng)響應(yīng)C t 為 綜合上述分析可得出線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為 系統(tǒng)的所有特征根具有負(fù)實部 或者說所有特征根位于 s 平面的左半面 即Re si 0 第一 二項 穩(wěn)態(tài)分量 為零狀態(tài)響應(yīng) 第三項為初始狀態(tài)作用下的零輸入響應(yīng) 根據(jù)穩(wěn)定的定義可知 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由零輸入響應(yīng)所決定的 因此要系統(tǒng)穩(wěn)定 只需零輸入響應(yīng)漸近為零 70 3 4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 3 4 3勞斯 Routh 穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)的特征方程D S a0Sn a1Sn 1 an 0勞斯 Routh 穩(wěn)定判據(jù) a0 an 0 勞斯陣列中第一列元素全部為正 勞斯陣列第一列中出現(xiàn)負(fù)數(shù) 系統(tǒng)不穩(wěn)定 且符號改變次數(shù)代表正實根的數(shù)目 勞斯陣列的編制方法 特征方程的系數(shù) 71 3 4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 3 4 4代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用 判別系統(tǒng)穩(wěn)定性 例如某系統(tǒng)的特征方程為 試判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解 勞斯陣列如下 由于勞斯陣列第一列元素不全為正 因此由勞斯穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)不穩(wěn)定 第一列元素符號由7 3變?yōu)?4 7 再由 4 7變?yōu)? 即改變次數(shù)為兩次 因此由勞斯穩(wěn)定判據(jù)還可以得出系統(tǒng)特征方程的特征根有兩個位于s的右半平面 分析系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性影響 利用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)可確定系統(tǒng)個別參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響 以及為使系統(tǒng)穩(wěn)定 這些參數(shù)應(yīng)取值的范圍 若討論的參數(shù)為開環(huán)放大倍數(shù) 使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)放大倍數(shù)的臨界值稱為臨界放大倍數(shù) 72 3 4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳為試求保證閉環(huán)系統(tǒng) 穩(wěn)定的開環(huán)增益K的可調(diào)范圍 解系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為 由此可得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為 D s s3 14s2 40s K 0 根據(jù)穩(wěn)定條件 K 0 得 0 K 560 73 穩(wěn)態(tài)誤差定義為穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值 用ess表示 即 它是衡量系統(tǒng)最終控制精度的重要性能指標(biāo) 3 5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 3 5 1誤差與穩(wěn)態(tài)誤差 系統(tǒng)誤差定義為e t r t b t r t 相當(dāng)于代表希望值的指令輸入 而b t 相當(dāng)于被控量c t 的測量值 且b t 與r t 同量綱 H s 為檢測元件 系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖 74 3 5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 3 5 2穩(wěn)態(tài)誤差的計算 如果系統(tǒng)的誤差的拉氏變換E s 在 s 的右半面及除原點外的虛軸上沒有極點 則其穩(wěn)態(tài)誤差可用拉氏變換的終值定理進(jìn)行求解 令系統(tǒng)對輸入指令的誤差傳遞函數(shù) er s 和系統(tǒng)對干擾的誤差傳遞函數(shù) en s 分別為 則可將誤差表示為 一個計算穩(wěn)態(tài)誤差的例子 75 一個計算穩(wěn)態(tài)誤差的例子 已知r t t n t 1 t 試計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess 1 首先判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解 3 5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 76 2 求 s 3 求穩(wěn)態(tài)誤差 3 5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 77 3 5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 3 5 3系統(tǒng)的型別 K 為系統(tǒng)的開環(huán)增益 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 0 系統(tǒng)就稱為0型 1 系統(tǒng)就稱為1型 2 系統(tǒng)就稱為2型 為積分環(huán)節(jié)數(shù) 78 3 5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 3 5 4利用型別求取r t 作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 只考慮r t 作用時 系統(tǒng)的誤差拉氏變換為 在系統(tǒng)穩(wěn)定時 則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 r t R0 1 t R s R0 s r t V0t R s V0 s2 r t a0t2 2 R s a0 s3 79 3 5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 ess與G S H S 型別的關(guān)系表 80 3 5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 已知 t r 1 t t2 2 求essn 解 先將上圖變?yōu)閱挝回?fù)反饋系統(tǒng) D S S2 S 1 0 系統(tǒng)穩(wěn)定 由G S 可知系統(tǒng)為I型系統(tǒng) ess1 0 ess2 1 kp 1 k 1 ess3 ess ess1 ess2 ess3 81 82 典型二階系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 83 二階系統(tǒng)引入速度反饋控制時的穩(wěn)態(tài)誤差 84 二階系統(tǒng)引入比例微分控制時的穩(wěn)態(tài)誤差 85 二階系統(tǒng)引入比例積分控制時的穩(wěn)態(tài)誤差 86 穩(wěn)態(tài)誤差比較 典型二階系統(tǒng)引入速度反饋環(huán)節(jié)后 跟蹤階躍信號和加速度信號時與原系統(tǒng)有相同的穩(wěn)態(tài)誤差 而跟蹤斜坡信號時的穩(wěn)態(tài)誤差比原系統(tǒng)要大 典型二階系統(tǒng)引入比例微分環(huán)節(jié)后不改變原系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 引入比例積分環(huán)節(jié)后將減小原系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 原二階系統(tǒng)速度反饋比例微分比例積分 87 3 6 6 動態(tài)誤差系數(shù) 前面討論的誤差系數(shù)都稱為靜態(tài)誤差系數(shù) 它們分別針對輸入為階躍函數(shù) 斜坡函數(shù)和拋物線函數(shù)而言的 其特點是對于一個給定系統(tǒng)只有一個系數(shù)為有限值 其它系數(shù)不是零就是無窮大 因而 通過靜態(tài)誤差系數(shù)求得的穩(wěn)態(tài)誤差或是零 或是有限非零值 或是無窮大 而不反映誤差與時間的關(guān)系 下面介紹的動態(tài)誤差系數(shù)法 可以研究輸入信號幾乎為任意時間函數(shù)時的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差與時間的關(guān)系 因此動態(tài)誤差系數(shù)又稱廣義誤差系數(shù) 現(xiàn)只考慮給定作用與偏差之間的誤差傳遞函數(shù) 考慮到t 時的情況 也就是s 0的情況 將誤差傳遞函數(shù)在s 0的鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù) 88 其中 于是 這個級數(shù)的收斂域是s 0的鄰域 相當(dāng)于t 時的情況 求拉氏反變換 可得t 時誤差函數(shù)的表達(dá)式 89 可見 t 時的誤差函數(shù)的表達(dá)式與輸入函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)有關(guān) 仿照靜態(tài)誤差系數(shù)的定義 可定義動態(tài)誤差系數(shù)如下 k0 動態(tài)位置誤差系數(shù)k1 動態(tài)速度誤差系數(shù)k2 動態(tài)加速度誤差系數(shù) 應(yīng)當(dāng)指出 這里所謂 動態(tài) 兩字的含義是指這種方法可以完整描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差ess t 隨時間變化的規(guī)律 而不是指誤差信號中的瞬態(tài)分量ets t 隨時間變化的情況 即不應(yīng)包含的誤差信號中隨時間趨于零的分量 此外上面給出的誤差級數(shù)僅在t 時成立 因此如果輸入信號r t 中包含有隨時間趨于零的分量 則這些分量不應(yīng)包含在穩(wěn)態(tài)誤差級數(shù)表達(dá)式中的輸入函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)之內(nèi) 90 動態(tài)誤差系數(shù)的另一種求法 將誤差傳遞函數(shù)寫成s有理分式形式 利用長除法得到各動態(tài)誤差系數(shù) 當(dāng)v 0時 91 當(dāng)v 1時 當(dāng)v 2時 92 二 擾動輸入作用下系統(tǒng)的誤差分析 通常 給定輸入作用產(chǎn)生的誤差稱為系統(tǒng)的給定誤差 擾動作用產(chǎn)生的誤差為擾動誤差 時產(chǎn)生的成為擾動誤差 如下圖 可見 不僅與有關(guān) 還與有關(guān) 擾動點到輸出點之間的那部分前向通道傳遞函數(shù) 93 3 5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 essn與G1 S G2 S 型別的關(guān)系表 3 5 5利用型別求取n t 作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 94 例子 考慮下面兩個系統(tǒng) 圖a和圖b的開環(huán)傳遞函數(shù)是一樣的 對于給定輸入 其穩(wěn)態(tài)誤差是一樣的 假設(shè)輸入為階躍信號 擾動誤差與積分環(huán)節(jié)的關(guān)系 但對于擾動作用 由于擾動點不同 擾動前向通道不同 其擾動誤差是不一樣的 95 若在擾動作用點和偏差點之間增加一個積分環(huán)節(jié) 串聯(lián)或并聯(lián) 可減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差 對于給定輸入和擾動作用同時存在的系統(tǒng) 系統(tǒng)的總穩(wěn)態(tài)誤差等于給定誤差和擾動誤差的迭加 誤差點定義在同一點 擾動誤差與積分環(huán)節(jié)的關(guān)系 96 擾動誤差與積分環(huán)節(jié)的關(guān)系 例 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示 當(dāng)時 求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 若要求穩(wěn)態(tài)誤差為零 如何改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 解 該系統(tǒng)對給定輸入而言屬于 型系統(tǒng) 所以當(dāng)給定輸入為單位階躍函數(shù)時的穩(wěn)態(tài)誤差 但該系統(tǒng)對于擾動輸入為單位階躍函數(shù)時的穩(wěn)態(tài)誤差并不等于零 系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為 97 若想使穩(wěn)態(tài)誤差為零 則要求G1中有積分環(huán)節(jié) 令 擾動誤差與積分環(huán)節(jié)的關(guān)系 此時 由于此時系統(tǒng)的穩(wěn)定性遭到破壞 成為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng) 直接加一個積分環(huán)節(jié)是不可行的 若要使系統(tǒng)穩(wěn)定 還必須在原G1中引入比例 微分環(huán)節(jié) 當(dāng)K1 0 K2 0 0時系統(tǒng)穩(wěn)定 對不對 98 擾動誤差與積分環(huán)節(jié)的關(guān)系 由此可見當(dāng)用時 才能在保證穩(wěn)定的前提下使系統(tǒng)在階躍擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零 這個環(huán)節(jié)稱為比例 積分環(huán)節(jié)或比例 積分控制器 PI控制器 這個環(huán)節(jié)稱為比例 積分 微分環(huán)節(jié)或比例 積分 微分控制器 PID控制器 所謂比例 積分 PI 或比例 積分 微分 PID 控制器的作用就是在保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定及動態(tài)特性的前提下提高系統(tǒng)的控制精度 99 穩(wěn)態(tài)誤差的例子 例3 9 例3 9 速度控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 給定輸入和擾