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文檔簡介

鄭州大學(xué) 2004級(jí) 高等數(shù)學(xué)（下） 理工 課程試題 （A卷）題號(hào)一二三四五六七總分分?jǐn)?shù)合分人： 復(fù)查人： 分?jǐn)?shù)評(píng)卷人一 填空題（每小題4分，共36分）1曲線在點(diǎn)（1，0）處的曲率為 2. 3.設(shè)則 4設(shè)則在點(diǎn)處 ; 5曲線在處的切線方程為6設(shè)C是折線，則7設(shè)S為球面，則8冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?函數(shù)在上的和函數(shù)分?jǐn)?shù)評(píng)卷人二 計(jì)算題（每小題8分，共40分）1。設(shè)其中是二階可微函數(shù)，求解：（一） 由輪換對(duì)稱性，知：所以，。 （二） 2。計(jì)算其中解：引入輔助線，將D分為上、下兩個(gè)子區(qū)域，分別記為 3計(jì)算其中C是上由到點(diǎn)的一段。解：由公式： 注意：這里用到：。（為什么？）3。計(jì)算其中為上半球面的上側(cè)。解：補(bǔ)充輔助平面取下側(cè)。 記與所圍成的空間閉區(qū)域?yàn)?。則由高斯公式： 故5將展開為的冪級(jí)數(shù)。解：。 其中，分?jǐn)?shù)評(píng)卷人 所以，三證明題（每小題8分，共16分）1。證明級(jí)數(shù)是條件收斂的。解：（一）令 因?yàn)?，且發(fā)散，所以，發(fā)散。（二）1記。 再令，則因此，單增。所以，2又顯然。由萊布尼茲審斂法，知收斂。（三）綜合（一）、（二），條件收斂。2設(shè)由方程所確定，其中具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且試證證明：令對(duì)兩邊微分，并注意到一階微分形式的不變性，得： 即 于是，有： 故 分?jǐn)?shù)評(píng)卷人所以 。四應(yīng)用題（共8分） 試求在圓錐面與平面所圍成的錐體內(nèi)作出的底面平行于xoy平面的最大長方體的體積。解：如圖。設(shè)長方體在第一卦限下部的那個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為則長方體的體積可表示為： 問題轉(zhuǎn)化為求在條件下的極值。 用拉格朗日乘數(shù)法解

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