第4章 概率與概率分布

第4章概率分布 1 第四章概率與概率分布 本章內容4 1概率分布及其特征4 2二項分布4 3正態(tài)分布 下一頁 返回目錄 第4章概率分布 2 4 1概率分布及其特征 4 1 1概率分布及其數量特征4 1 2概率分布的數量特征4 1 3利用隨機數發(fā)生器創(chuàng)建概率分布 上一頁 下一頁 返回本章首頁 第4章概率分布 3 4 1 1概率分布及其特征 具有多種可能結果的現象稱為隨機現象 隨機現象的每一可能結果即是一個隨機事件 換句話說 隨機變量的每一可能取值都是一個隨機事件 概率是度量隨機事件出現或發(fā)生的可能性大小的一種尺度 概率分布由隨機變量的取值 x 及其相應的P x 概率構成 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 4 按隨機變量取值的特點 概率分布可分為離散型隨機變量的概率分布和連續(xù)型隨機變量的概率分布 對于離散型隨機變量x 其均值就是隨機變量的各個取值與其相應的概率的乘積之和 即 離散型隨機變量的方差是隨機變量的各個取值與均值E x 之間離差平方的均值 即 連續(xù)性隨機變量的均值及方差的計算公式為 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 5 4 1 2概率分布的數量特征 頻率與概率都是一個居于0和1之間的數 頻率是相對于樣本而言 而概率則是相對于總體而言 因此可以說概率是頻率的理論值 頻率是概率的試驗值或估計值 頻率分布是一種觀察分布 而概率分布則是一種理論分布 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 6 例在市場調查中 通常用5分來評價消費者對某一品牌的滿意程度 現某項目經理想要得到電視機消費者對其品牌的評價程度 當然這需要通過市場調查來完成 假如執(zhí)行董事知道消費者對其品牌得分的概率分布如表所示 那么 他便可以根據概率分布來確認消費者對其品牌的評價 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 7 操作步驟如下 打開 第4章概率與概率分布 XLS 工作簿 選擇 概率分布 工作表 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 8 在單元格C9中輸入 均值 在C10單元格中輸入 方差 選擇單元格E2 鍵入公式 C2 D2 用來計算均值 注意這是一個相對引用 按回車鍵 單元格E2中將出現0 4 將單元格E2的公式復制到單元格E3 E6中 選定單元格E7 單擊自動求和鍵 Excel自動將E2 E6區(qū)域中的數值相加 按回車鍵 便得到品牌得分概率分布的均值1 95 選擇單元格F2 輸入公式 C2 E 7 2 D2 單元格C2提供隨機變量X值 單元格E7提供概率分布的均值 按F4使E7絕對引用 按回車鍵便會得到0 42025 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 9 把單元格F2的公式復制到F3 F6區(qū)域中 選定單元格F7 雙擊自動求和按鈕 對F2 F6區(qū)域中的值求和 得到概率分布的方差 在單元格D9中輸入 E7 在單元格D10中輸入 F7 以便觀察與比較均值與方差 如果每個步驟操作正確 工作表將顯示計算結果如圖4 1所示 這樣 這個品牌得分的概率分布均值是1 95 方差是1 2475 均值1 95說明全部消費者對該品牌電視機的滿意程度為一般 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 10 4 1 3利用隨機數發(fā)生器創(chuàng)建概率分布 在大多數情況下 概率分布是未知的 需要通過調查進行推斷 如果從全部調查對象中隨機選取一名被訪者 無法根據其評分來描述品牌得分的概率分布 如果選取多名被訪者 那么品牌得分的頻率分布便會與概率分布相似 這一點可以通過利用Excel的 隨機數發(fā)生器 分析工具產生概率分布來證明 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 11 1 隨機數發(fā)生器 分析工具 隨機數發(fā)生器 分析工具可以按照用戶選定的分布類型 在工作表的特定區(qū)域中生成一系列獨立隨機數字 通過概率分布來表示其總體特征 其對話框及其內容如圖所示 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 12 對話框中的主要內容包括 變量個數 在此指定輸出表中數值列的數目 如不輸入數字 Excel出現提示信息 隨機數發(fā)生器 輸入區(qū)域丟失 請輸入 隨機數個數 在此輸入每一列中數據點的數目 如不輸入數字 Excel出現提示信息 隨機數發(fā)生器 輸入區(qū)域丟失 請輸入 分布 可單擊右側的箭頭 打開分布列表 選擇用于創(chuàng)建隨機數的分布類型 其中有均勻分布 正態(tài)分布 貝努里分布 泊松分布等 參數 在此輸入數值 或用來定義當前選定的分布類型的數值 不同的分布具有不同的參數 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 13 隨機數基數 在此輸入用來構造隨機數的可選數值 輸出區(qū)域 在此輸出計算結果 如果輸出表將覆蓋已有的數據 Excel會自動確定輸出區(qū)域的大小并顯示信息 新工作表 單擊此選項 可在當前工作簿中插入新工作表 并由新工作表的A1單元格開始粘貼計算結果 如果需要給新工作表命名 請在右側的編輯框中鍵入名稱 新工作簿 單擊此選項 可創(chuàng)建新工作簿 并在新工作簿的新工作表中粘貼計算結果 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 14 2 利用隨機數發(fā)生器創(chuàng)建品牌得分概率分布 打開 第4章概率與概率分布 XLS 工作簿 選擇 概率分布 工作表 在 工具 菜單中選擇 數據分析 選項 彈出數據分析對話框 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 15 從 數據分析 對話框的列表中雙擊 隨機數發(fā)生器 選項 則打開 隨機數發(fā)生器 分析工具對話框如圖所示 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 16 變量個數決定Excel要使用多少列放置隨機數據 隨機數個數將決定Excel在工作表中使用多少行 此處只有一個變量 品牌得分 所以在 變量個數 中輸入 1 要生成1000個隨機數據 因而在 隨機數個數 中鍵入1000 單擊在 分布 選項旁邊的下指箭頭 選擇 離散 分布選項 用鼠標或鍵盤在 數值與概率輸入區(qū)域 中輸入概率分布地址C2 D6單元格 單擊 輸出區(qū)域 選項 輸入 A1 它表明輸出結果的起點 單擊 確定 按鈕 對話框消失 Excel會產生1000個不同的隨機數據 并把它們放在A列中 A1 A1000 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 17 3 建造頻數分布以4 3 2 1和0為隨機變量 計算頻數 頻率 均值和方差 并且與概率分布進行比較 將A1 A1000區(qū)域中的數據分成三類樣本 第一個樣本為A1 A10區(qū)域中的10個數據 第二個樣本為A1 A100中區(qū)域中的100個數據 第三個樣本為A1 A1000區(qū)域中的1000個隨機數據 1 構建第一個樣本的頻數分布 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 18 在單元格G1 H1和I1中分別輸入 n 10 n 100 和 n 1000 選擇單元格G2 打開Excel的 插入 菜單 選擇 函數 選項 Excel會彈出 粘貼函數 對話框 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 19 在 函數分類 列表中選擇 統(tǒng)計 在 函數名 列表中選擇條件計數函數 COUNTIF 單擊 確定 按鈕 打開COUNTIF函數對話框 在計數范圍 Range 內輸入 A 1 A 10 采用絕對引用 便于向下復制 在計數條件 Criteria 輸入單元格 C2 表明計數條件是隨機變量為4 注意這里是列絕對引用 行相對引用 按 確定 按鈕 然后確認單元格G2中的值是A1 A10區(qū)域中4的次數 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 20 將單元格G2的內容復制到單元格G3 G6中 選擇單元格G6確認其公式是 COUNTIF A 1 A 10 C6 在單元格G7中雙擊自動求和按鈕計算G2 G6區(qū)域中數值之和 其和是10 2 構建第二個樣本和第三個樣本的頻數分布單元格H2 H6中的公式與單元格G2 G6中的公式相同 只是將單元格 A 1 A 10 變成單元格 A 1 A 100 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 21 將單元格G2中的公式復制到H2中 選擇單元格H2 把公式中的 A 1 A 10 改成 A 1 A 100 將單元格H2的內容復制到H3 H6中 在H7中單擊自動求和按鈕對H2 H6中的值的求和 如果操作正確 結果是100 將單元格G2中的公式復制到I2中 把公式中的 A 1 A 10 改成 A 1 A 1000 將把單元格I2的內容復制到I3 I6中 在I7中雙擊自動求和按鈕對I2 I6中的值的求和 如果操作正確 結果是1000 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 22 4 構建頻率分布為了把這些頻數分布同概率分布相比較 需要先把這些頻數轉換成頻率 方法如下 把單元格C1 C10中的內容復制到C13 C22 把單元格G1 I1的內容復制到D13 F13中 作為頻率表的橫行標題 在G13單元格中輸入 概率 把單元格D2 D6的內容復制到G14 G18 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 23 接著要在單元格D14 F18中創(chuàng)建公式 以計算每個樣本中各個隨機變量所出現的頻率 它的計算方法是用每一個樣本的隨機變量發(fā)生次數除以其次數總和 可以采用列相對引用 行絕對引用的方法來計算 方法如下 選擇單元格D14 輸入 G2 G 7 公式中的G7采用列相對引用 行絕對引用格式 按回車鍵 D14單元格中顯示的是第一個樣本中出現隨機變量 4 的相對次數 即頻率 將D14中的公式復制到D15 F18區(qū)域中 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 24 單元格D14 F18中所顯示的是0到4之間的隨機變量在各個樣本中所出現的相對次數 每列中的五個相對次數之和為1 0 最后計算每一個樣本的均值和方差 方法如下 在單元格D21中輸入公式 AVERAGE A1 A10 計算第一個樣本的均值 在單元格E21中輸入公式 AVERAGE A1 A100 計算第二個樣本的均值 在單元格F21輸入公式 AVERAGE A1 A1000 中計算第三個樣本的均值 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 25 在單元格D22 E22 F22中 分別輸入公式 VAR A1 A10 VAR A1 A100 和 VAR A1 A1000 以計算三個樣本的方差 最后 在單元格E12中輸入 頻率分布 選擇單元格E12 F12 單擊工具欄中的 跨列居中 按鈕 概率分布與頻率分布的計算結果如下圖所示 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 26 從以上計算與分析可以看出 當隨機樣本單位個數增加時 樣本的頻率分布便會越接近于概率分布 同樣 其均值和方差也更接近于概率分布的均值和方差 在上面的例中 當樣本單位為1000時 它均值和方差將非常接近概率均值和方差 它的頻率分布也更加接近于概率分布 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 27 4 2二項分布 4 2 1二項分布的基本內容4 2 2二項分布函數及其應用 上一頁 下一頁 返回本章首頁 第4章概率分布 28 4 2 1二項分布的基本內容 二項分布用于計算在n次相同條件的試驗中 出現k次 成功 或 失敗 的概率P x k 其計算公式是 P x k CP 1 P k 0 1 2 n 將x值和相應的概率P x k 依序排列 即是二項分布數列 依x值由小到大排列 并將相應的P x k 值依序累計 即得累計二項概率分布 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 29 根據累計概率分布 可以計算在n次試驗中 出現 成功 的試驗結果的次數大于和等于a次且小于等于b次的概率 二項分布的均值及標準差的計算公式為 均值 np標準差 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 30 4 2 2二項分布函數及其應用 在Excel中 常用的二項分布函數有三個 即 二項分布函數BINOMDIST 用于計算二項分布的概率值 CRITBINOM函數 用于計算大于等于臨界值的累積二項分布最小值 NEGBINOMDIST負二項分布函數 用于返回負二項分布的概率 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 31 例假定某一足球隊員在12碼線罰球的命中率為75 即P 0 75 求罰球4次命中2次的概率 操作步驟如下 打開Excel的 插入 菜單 選擇 函數 選項 打開 粘貼函數 對話框 在 函數分類 列表中選擇 統(tǒng)計 在 函數名 列表中選擇二項分布函數BINOMDIST 單擊 確定 按鈕 打開二項分布函數對話框如下圖所示 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 32 根據題意得知 成功次數為2 試驗次數為4 成功概率為0 75 使用概率分布函數 False 將這些已知資料填入對話框中 單擊 確定 按鈕 得知罰球4次命中2次的概率為0 21 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 33 例同上題 問至多命中2次的概率 與上面的計算相同 只是采用累積分布函數 輸入各選項資料如下圖所示 單擊 確定 按鈕 得知至多命中2次的概率為0 2617 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 34 4 3正態(tài)分布 4 3 1正態(tài)分布的基本內容4 3 2正態(tài)分布函數4 3 3用Excel繪制正態(tài)分布密度函數圖4 3 4正態(tài)分布與二項分布的漸近關系 上一頁 下一頁 返回本章首頁 第4章概率分布 35 4 3 1正態(tài)分布的基本內容 正態(tài)分布是統(tǒng)計推斷中最重要的一種連續(xù)型分布 如果隨機變量x的概率密度函數是 則稱x服從正態(tài)分布 記作x N 2 其中 為隨機變量x的均值 為隨機變量x的標準差 它們是正態(tài)分布的兩個參數 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 36 當已知 和 后 將不同的x值代入 即可求出對應于的概率密度f x 以x為橫軸 以f x 為縱軸 依次在座標系上繪出和f x 所構成的座標點 可見f x 是一條對稱的鐘型曲線 它稱為正態(tài)概率密度曲線 正態(tài)概率分布有以下重要特征 正態(tài)分布是個對稱分布 對稱軸是x 當x 時 正態(tài)概率密度的最大 正態(tài)分布的圖型由 和 決定 當 為定值時 的變化引起正態(tài)概率密度曲線在橫軸平行移動 當 為定值時 的變化將引起正態(tài)概率密度曲線的形狀變得尖峭或偏平 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 37 不同現象的正態(tài)隨機變量有不同的 和 它們的計量單位也不同 因此就有各種不同的正態(tài)分布 可用將各種不同的正態(tài)分布 轉變?yōu)橛嬃繂挝幌嗤?0和 1的標準正態(tài)分布 正態(tài)分布與二項分布的主要區(qū)別是正態(tài)分布是連續(xù)的而二項分布是離散的 象所有連續(xù)隨機變量一樣 正態(tài)隨機變量任意一個確定值的概率為0 非0概率只有在確定區(qū)間內才能得到 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 38 4 3 2正態(tài)分布函數 1 正態(tài)分布函數NORMDIST正態(tài)分布函數NORMDIST用于計算給定均值和標準差的正態(tài)分布的累積函數 其語法結構為 NORMDIST x mean standard dev cumulative 其中 X為需要計算其分布的數值 Mean為分布的均值 Standard dev為分布的標準差 Cumulative為一邏輯值 指明函數的形式 如果cumulative為TRUE 函數NORMDIST返回累積分布函數 如果為FALSE 返回概率密度函數 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 39 2 標準正態(tài)分布函數NORMSDIST標準正態(tài)分布函數NORMSDIST用于計算標準正態(tài)分布的累積函數 該分布的均值為0 標準偏差為1 其語法結構為 NORMSDIST z 其中 Z為需要計算其分布的數值 3 正態(tài)分布函數的反函數NORMINV正態(tài)分布函數的反函數NORMINV能夠根據已知概率等參數確定正態(tài)分布隨機變量值 其語法結構為 NORMINV probability mean standard dev 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 40 其中 Probability為正態(tài)分布的概率值 Mean為正態(tài)分布的均值 Standard dev為正態(tài)分布的標準差 4 標準正態(tài)分布函數的反函數NORMSINV標準正態(tài)分布函數的反函數NORMSINV能夠根據概率確定標準正態(tài)分布隨機變量的取值 其語法結構為 NORMSINV probability 其中 Probability為正態(tài)分布的概率值 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 41 4 3 3用Excel繪制正態(tài)分布密度函數圖 1 計算一般正態(tài)分布概率密度了解如何使用Excel繪制正態(tài)分布之前 需要檢查一下正態(tài)分布密度函數的圖形 以及均值 和標準差 在分布中的作用 有兩個正態(tài)分布密度函數的圖一個是均值為 0 標準差為1的標準正態(tài)分布一個是均值與標準差可以變化的一般正態(tài)分布 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 42 打開 第4章概率與概率分布 xls 工作簿 選擇 密度函數 工作 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 43 選擇B2單元格 打開Excel 插入 菜單 單擊 函數 選項 Excel彈出 粘貼函數 對話框 在 函數分類 列表中選擇 統(tǒng)計 在 函數名 列表中選擇正態(tài)分布函數 NORMDIST 單擊 確定 按鈕 打開正態(tài)分布函數的對話框 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 44 在X中輸入A2單元格 在Mean中按絕對地址輸入E1單元格 以便復制公式時能使其保持不變 在Standard dev中按絕對地址輸入E2單元格 以使公式不變 在Cumulative中輸入 false 說明函數只提供概率密度 如果輸入 true 函數所提供的便是累積概率了 單擊 確定 按鈕 在B2單元格出現的值是1 49E 0 6 也可寫作0 00000149 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 45 2 計算標準正態(tài)分布概率密度 打開 第4章概率與概率分布 xls 工作簿 選擇 密度函數 工作表 選定C2單元格 打開Excel 插入 菜單 單擊 函數 選項 Excel彈出 粘貼函數 對話框 在 函數分類 列表中選擇 統(tǒng)計 在 函數名 列表中選擇正態(tài)分布函數 NORMDIST 單擊 確定 按鈕 打開正態(tài)分布函數的對話框 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 46 在X中輸入A2單元格 在Mean中輸入 0 在Standard dev中輸入 1 在Cumulative中輸入 false 選擇單元格B2 C2 將其公式復制到B3 C102區(qū)域中 這樣便得到了標準正態(tài)分布的概率值 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 47 3 繪制圖表 打開Excel 插入 菜單中的 圖表 選項 Excel則彈出 圖表向導 對話框 在步驟1中 在 圖表類型 列表中選擇XY散點圖 在 子圖表類型 列表選擇 平滑線散點圖 然后單擊 下一步 按鈕 在步驟2中 在數據區(qū)域中輸入 A1 C102 便會看到一個圖形預覽 如果覺得滿意 可以單擊 下一步 按鈕 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 48 由于不想加任何標題 在步驟3中便可單擊 完成 按鈕 得到下圖 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 49 屏幕上的圖形是一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的圖形重疊 正態(tài)分布密度曲線表明 中心兩邊沿X軸寬度相同對稱 表示隨機變量的兩個相同大小的區(qū)間 中間數值所出現的概率比兩邊的大 密度曲線離均值愈遠 出現的可能性越小 反之 離均值越近 出現的可能性越大 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 50 4 標準差變化對正態(tài)分布形態(tài)的影響 選擇單元格E2 標準差 將標準差值變?yōu)? 1 兩條密度曲線均清晰出現在屏幕上 從中可以確定哪個是一般正態(tài)分布密度曲線 哪個是標準正態(tài)分布密度曲線 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 51 從1 1開始 依次每步增加0 1 使E2值最后增到2 可以看到 均值的變化引起曲線向左向右平移 不論均值如何變化 峰值總是落在均值上 所以均值是正態(tài)分布值中出現可能最大的值 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 52 4 3 4正態(tài)分布與二項分布的漸近關系 二項分布與正態(tài)分布存在漸近關系 可以利用Excel圖形來比較二項分布的概率函數與正態(tài)分布的相似性 二項分布的參數是n和p 或 它們分別表示試驗的次數和在一次試驗中 成功 的概率 我們可以利用二項分布的均值和標準差公式將其轉換成正態(tài)分布的均值 和標準差 如下 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 53 1 基礎數據 打開 第4章概率與概率分布 在單元格E1中輸入1000 在單元格E2中輸入0 2 選定單元格E3輸入公式 E1 E2 計算二項分布均值 選定單元格E4 輸入公式 SQRT E3 1 E2 計算二項分布標準差 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 54 在單元格A2中輸入 0 選定單元格A2 A1002區(qū)域 選擇 編輯 菜單中的 填充 選項 再選 序列 選項 打開 序列 對話框 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 55 在 序列產生在 框中選擇 列 選項 在 步長值 框中輸入1 在 終止值 框中輸入1000 單擊 確定 按鈕 單元格A2 A1002區(qū)域中分別顯示0 1 2 等 2 計算二項分布概率 選擇B2單元格 打開Excel 插入 菜單 單擊 函數 選項 Excel彈出 粘貼函數 對話框 在 函數分類 列表中選擇 統(tǒng)計 在 函數名 列表中選擇二項概率密度函數 BINOMDIST 單擊 確定 按鈕 打開二項概率密度函數對話框 如下圖所示 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 56 在 Number s 中選擇單元格A2 使用相對引用 在 Trials 中選擇單元格E1 使用絕對引用 在 Probability s 選擇單元格E2 使用絕對引用 上一頁 下一頁 返回本節(jié)首頁 第4章概率分布 57 在 Cumulative 中輸入 FALSE 這樣 Excel便提供一個二項分布隨機變量的X值的概率 單擊 確定 按鈕 在B2單元格中顯示1 23E 97 將B2單元格中的公式復制到B3 B1002區(qū)域中