數(shù)學(xué)論文 聚焦知識交匯 適應(yīng)高考創(chuàng)新.doc

聚焦知識交匯 適應(yīng)高考創(chuàng)新近兩年各省市高考數(shù)學(xué)試卷，遵循高考命題的“三個有利于”和穩(wěn)定、改革、創(chuàng)新的命題原則，在試題設(shè)計上做到“從學(xué)科的思維高度和思維價值考慮問題，在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點設(shè)計試題”，用統(tǒng)一的教學(xué)觀點組織材料，對知識的考查側(cè)重于理解和應(yīng)用，尤其是綜合和靈活的應(yīng)用，以此來檢測考生將知識遷移到不同情景中去的能力。不同的高考試卷，表現(xiàn)出一個共同特點，即通過對新穎信息、情景的設(shè)問，在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題，體現(xiàn)了對創(chuàng)新能力的考查，因此，要提高復(fù)習(xí)的針對性，適應(yīng)高考創(chuàng)新型試題，必須注意知識在各自發(fā)展過程中的縱向聯(lián)系以及不同知識部份之間的橫向聯(lián)系，把握結(jié)構(gòu)，理清脈絡(luò)，十分重視知識網(wǎng)絡(luò)交匯點和知識塊結(jié)合部的復(fù)習(xí)，以提高對高考創(chuàng)新型試題的適應(yīng)能力。以下對不同知識交匯和結(jié)合的情形作一些研究。1立體幾何與平面解析幾何的交匯在教材中，立體幾何與解析幾何是互相獨立的兩章，彼此分離不相聯(lián)系，實際上，從空間維數(shù)看，平面幾何是二維的，立體幾何是三維的，因此，立體幾何是由平面幾何升維而產(chǎn)生；另一方面，從立體幾何與解析幾何的聯(lián)系看，解析幾何中的直線是空間二個平面的交線，圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）是平面截圓錐面所產(chǎn)生的截線；從軌跡的觀點看，空間中的曲面（曲線）是空間中動點運動的軌跡，正因為平面幾何與立體幾何有這么許多千絲萬縷的聯(lián)系，因此，在平面幾何與立體幾何的交匯點，新知識生長的土壤特別肥沃，創(chuàng)新型題型的生長空間也相當(dāng)寬廣，這一點，在04高考卷中已有充分展示，應(yīng)引起我們在復(fù)習(xí)中的足夠重視。1.1 空間軌跡教材中，關(guān)于軌跡，多在平面幾何與平面解析幾何中加以定義，在空間中，只對球面用軌跡定義作了描述。如果我們把平面解析幾何中的定點、定直線不局限在同一個平面內(nèi)，則很自然地把軌跡從平面延伸到空間。例1，（04高考重慶理科）若三棱錐ABCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動點P到平面BCD距離與到棱AB距離相等，則動點P的軌跡與ABC組成的圖形可能是（ ）解：設(shè)二面角ABCD大小為，作PR面BCD，R為垂足，PQBC于Q，PTAB于T，則PQR=，且由條件PT=PR=PQsin，為小于1的常數(shù)，故軌跡圖形應(yīng)選（D）。例2，已知邊長為1的正方體ABCDA1B1C1D1，在正方體表面上距A為 （在空間）的點的軌跡是正方體表面上的一條曲線，求這條曲線的長度。解：此問題的實質(zhì)是以A為球心、 為半徑的球在正方體ABCDA1B1C1D1，各個面上交線的長度計算，正方體的各個面根據(jù)與球心位置關(guān)系分成二類：ABCD，AA1DD1，AA1BB1為過球心的截面，截痕為大圓弧，各弧圓心角為，A1B1C1D1，B1BCC1，D1DCC1為與球心距離為1的截面，截痕為小圓弧，由于截面圓半徑為，故各段弧圓心角為 ，這條曲線長度為。1.2 平面幾何的定理在立體幾何中類比高考考綱對考生思維能力中明確要求“會對問題或資料進行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括，會用演繹、歸納和類比進行推理，能合乎邏輯地、準(zhǔn)確地進行表述”，類比推理可考查考生利用舊知進行知識遷移、組合和融匯的能力，是一種較好地考查創(chuàng)新能力的形式，平面幾何到立體幾何的類比，材料豐富，操作性強，在歷年高考中均有不俗表現(xiàn)。例3，（04高考廣東卷題15）由圖(1)有面積關(guān)系：，則由圖(2)有體積關(guān)系 （答案：）評注：數(shù)學(xué)結(jié)論的類比既需要數(shù)學(xué)直覺，也需要邏輯推理能力，它是高考考查創(chuàng)新能力的重要載體，從平面幾何到立體幾何的結(jié)論類比，更是這一類考題蘊藏豐富的寶庫，從三角形到三棱錐，從正方形到正方體，從圓到球等等，如果我們稍加留意，就會有很多收獲。1.3 幾何體的截痕例：球在平面上的斜射影為橢園：已知一巨型廣告汽球直徑6米，太陽光線與地面所成角為60，求此廣告汽球在地面上投影橢圓的離心率和面積（橢圓面積公式為S=ab，其中a,b為長、短半軸長）。解：由于太陽光線可認(rèn)定為平行光線，故廣告球的投影橢園等價于以廣告球直徑為直徑的圓柱截面橢園：此時b=R，a=2R，離心率 ，投影面積S=ab=k2R=2R2=18。評注：囿于空間想象能力的限制，幾何體的截痕和投影是立體幾何中的一個難點，也是具，有良好區(qū)分度的考題素材，因此有必要適當(dāng)進行相應(yīng)的訓(xùn)練，才能形成基本的解題策略。1.4 幾何體的展開例：有一半徑為R的圓柱，被與軸成45角平面相截得“三角”圓柱ABC,則此“三角”圓柱的展開圖為（ ）解：設(shè)圓柱底面中心O，底面圓周上任一點P，過P的圓柱母線與截口交點為P，AOP=，則CBA=45，作PQAB于Q，|PP|=|AC|AQ|=2R（RRcos）=R（1+cos），AP=R。在柱面展開圖中，以AB直線為x軸，AC為y軸建立直角坐標(biāo)系，相應(yīng)點P坐標(biāo)為（x,y），則有消去得 ，展開圖輪廓線為余弦曲線， 故應(yīng)選（D）評注：幾何體與其展開圖，包含了平面與空間的大量信息，需要較強的空間想象能力，要進行點與對應(yīng)點，線段與對應(yīng)線段的位置與數(shù)量的細(xì)致分析，需找出變與不變量以及變化規(guī)律，因此，它是代數(shù)與幾何、空間與平面的重要知識交匯點。2概率與數(shù)列的交匯數(shù)列是以正整數(shù)n為自變量的函數(shù)，而n次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)k次的概率Pn(k)也是自然數(shù)n,k的函數(shù)，借助于自然數(shù)這一紐帶，可實現(xiàn)數(shù)列與概率的交匯。例4：質(zhì)點從原點O出發(fā)，在數(shù)軸上向右運動，且遵循以下運動規(guī)律：質(zhì)點向右移動一個單位的概率為，右移2個單位的概率為，設(shè)質(zhì)點運動到點（n,0）的概率為Pn。求P1和P2。求證PnPn1是等比數(shù)列。求Pn。解：P1= ， 由題意可知，質(zhì)點到達(dá)點（n,0），可分兩種情形，由點（n-1,0）右移1個單位或由點（n-2,0）右移2個單位，故由條件可知：（n3）評注：本題解題關(guān)鍵是數(shù)列的遞歸規(guī)律，建立概率數(shù)列的遞推公式，用數(shù)列知識解題，這種復(fù)雜的系列問題通過擷取其片段，解剖其規(guī)律，是破解難題的常用手段。3向量與三角、幾何的交匯向量既有長度，又有方向，因此，向量蘊含長度和角度，因此，以幾何、三角為背景的問題便可成為產(chǎn)生向量問題良好溫床。例5：（04高考湖北卷19）如圖，在RtABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以A為中點，問和夾角取何值時， 的值最大？并求出這個最大值。評注：本題為用向量形式表現(xiàn)的幾何最值問題，具有較強的綜合性，適時建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)形式，最終轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，大大降低了解題的難度。同時，也對相關(guān)知識的化歸能力提出了較高要求。4向量與立體幾何的交匯在最新版部編教材中，向量的內(nèi)容有所加強，特別在平面向量的運算規(guī)律和平面向量基本定理進一步擴充到空間中，向量的工具性地位更加突出，因此，用向量解立體幾何問題也不應(yīng)局限在建立空間直角坐標(biāo)系，用空間坐標(biāo)運算來解決問題，而應(yīng)著眼于向量的本質(zhì)內(nèi)容。例6：已知平行六面體ABCDA1B1C1D1各棱長均為1，且棱AA1，AD，AB兩兩成60角，E,F分別為A1D1和B1B中點，求EF的長。評注：本題新穎之處在于向量與立體幾何的結(jié)合，并不只是建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)向量來解題。對于那種不方便建立空間直角坐標(biāo)系的問題，如斜棱柱斜棱錐等可直接利用空間向量的運算性質(zhì)解題。5向量與解析幾何的交匯 由于向量在描述長度與角度上獨特的工具性，解析幾何有著向量展現(xiàn)的良好的基礎(chǔ)，歷年新高考試卷已在此積累了不少成功經(jīng)驗，04高考也不例外，使向量與解幾的結(jié)合更加合縫與自然。例7.（2005高考全國卷1）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點， 與共線。（）求橢圓的離心率；（）設(shè)M為橢圓上任意一點，且 ，證明為定值。（I）解：設(shè)橢圓方程為 則直線AB的方程為 故為定值，定值為1.評注：解向量與解幾的交匯題，關(guān)鍵在于利用向量的坐標(biāo)形式把向量條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)條件。6數(shù)列與函數(shù)的交匯數(shù)列與函數(shù)一脈相承，因此，數(shù)列與函數(shù)的交匯是傳統(tǒng)的命題熱點，04、05年高考更有長足的表現(xiàn)，把數(shù)列、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識點交匯在一起，綜合程度和思維要求均有所提高。例8（2005高考浙江卷）設(shè)點(，0)，和拋物線：yx2an xbn(nN*)，其中an24n，由以下方法得到：x11，點P2(x2，2)在拋物線C1：yx2a1xb1上，點A1(x1，0)到P2的距離是A1到C1上點的最短距離，點在拋物線：yx2an xbn上，點 (，0)到的距離是 到上點的最短距離即時，等式成立由知，等式對成立，故