數(shù)學(xué)論文 聚焦知識(shí)交匯 適應(yīng)高考創(chuàng)新.doc

聚焦知識(shí)交匯 適應(yīng)高考創(chuàng)新近兩年各省市高考數(shù)學(xué)試卷，遵循高考命題的“三個(gè)有利于”和穩(wěn)定、改革、創(chuàng)新的命題原則，在試題設(shè)計(jì)上做到“從學(xué)科的思維高度和思維價(jià)值考慮問題，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題”，用統(tǒng)一的教學(xué)觀點(diǎn)組織材料，對(duì)知識(shí)的考查側(cè)重于理解和應(yīng)用，尤其是綜合和靈活的應(yīng)用，以此來檢測(cè)考生將知識(shí)遷移到不同情景中去的能力。不同的高考試卷，表現(xiàn)出一個(gè)共同特點(diǎn)，即通過對(duì)新穎信息、情景的設(shè)問，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題，體現(xiàn)了對(duì)創(chuàng)新能力的考查，因此，要提高復(fù)習(xí)的針對(duì)性，適應(yīng)高考創(chuàng)新型試題，必須注意知識(shí)在各自發(fā)展過程中的縱向聯(lián)系以及不同知識(shí)部份之間的橫向聯(lián)系，把握結(jié)構(gòu)，理清脈絡(luò)，十分重視知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)和知識(shí)塊結(jié)合部的復(fù)習(xí)，以提高對(duì)高考創(chuàng)新型試題的適應(yīng)能力。以下對(duì)不同知識(shí)交匯和結(jié)合的情形作一些研究。1立體幾何與平面解析幾何的交匯在教材中，立體幾何與解析幾何是互相獨(dú)立的兩章，彼此分離不相聯(lián)系，實(shí)際上，從空間維數(shù)看，平面幾何是二維的，立體幾何是三維的，因此，立體幾何是由平面幾何升維而產(chǎn)生；另一方面，從立體幾何與解析幾何的聯(lián)系看，解析幾何中的直線是空間二個(gè)平面的交線，圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）是平面截圓錐面所產(chǎn)生的截線；從軌跡的觀點(diǎn)看，空間中的曲面（曲線）是空間中動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，正因?yàn)槠矫鎺缀闻c立體幾何有這么許多千絲萬縷的聯(lián)系，因此，在平面幾何與立體幾何的交匯點(diǎn)，新知識(shí)生長(zhǎng)的土壤特別肥沃，創(chuàng)新型題型的生長(zhǎng)空間也相當(dāng)寬廣，這一點(diǎn)，在04高考卷中已有充分展示，應(yīng)引起我們?cè)趶?fù)習(xí)中的足夠重視。1.1 空間軌跡教材中，關(guān)于軌跡，多在平面幾何與平面解析幾何中加以定義，在空間中，只對(duì)球面用軌跡定義作了描述。如果我們把平面解析幾何中的定點(diǎn)、定直線不局限在同一個(gè)平面內(nèi)，則很自然地把軌跡從平面延伸到空間。例1，（04高考重慶理科）若三棱錐ABCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到平面BCD距離與到棱AB距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與ABC組成的圖形可能是（ ）解：設(shè)二面角ABCD大小為，作PR面BCD，R為垂足，PQBC于Q，PTAB于T，則PQR=，且由條件PT=PR=PQsin，為小于1的常數(shù)，故軌跡圖形應(yīng)選（D）。例2，已知邊長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1，在正方體表面上距A為 （在空間）的點(diǎn)的軌跡是正方體表面上的一條曲線，求這條曲線的長(zhǎng)度。解：此問題的實(shí)質(zhì)是以A為球心、 為半徑的球在正方體ABCDA1B1C1D1，各個(gè)面上交線的長(zhǎng)度計(jì)算，正方體的各個(gè)面根據(jù)與球心位置關(guān)系分成二類：ABCD，AA1DD1，AA1BB1為過球心的截面，截痕為大圓弧，各弧圓心角為，A1B1C1D1，B1BCC1，D1DCC1為與球心距離為1的截面，截痕為小圓弧，由于截面圓半徑為，故各段弧圓心角為 ，這條曲線長(zhǎng)度為。1.2 平面幾何的定理在立體幾何中類比高考考綱對(duì)考生思維能力中明確要求“會(huì)對(duì)問題或資料進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括，會(huì)用演繹、歸納和類比進(jìn)行推理，能合乎邏輯地、準(zhǔn)確地進(jìn)行表述”，類比推理可考查考生利用舊知進(jìn)行知識(shí)遷移、組合和融匯的能力，是一種較好地考查創(chuàng)新能力的形式，平面幾何到立體幾何的類比，材料豐富，操作性強(qiáng)，在歷年高考中均有不俗表現(xiàn)。例3，（04高考廣東卷題15）由圖(1)有面積關(guān)系：，則由圖(2)有體積關(guān)系 （答案：）評(píng)注：數(shù)學(xué)結(jié)論的類比既需要數(shù)學(xué)直覺，也需要邏輯推理能力，它是高考考查創(chuàng)新能力的重要載體，從平面幾何到立體幾何的結(jié)論類比，更是這一類考題蘊(yùn)藏豐富的寶庫(kù)，從三角形到三棱錐，從正方形到正方體，從圓到球等等，如果我們稍加留意，就會(huì)有很多收獲。1.3 幾何體的截痕例：球在平面上的斜射影為橢園：已知一巨型廣告汽球直徑6米，太陽(yáng)光線與地面所成角為60，求此廣告汽球在地面上投影橢圓的離心率和面積（橢圓面積公式為S=ab，其中a,b為長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)）。解：由于太陽(yáng)光線可認(rèn)定為平行光線，故廣告球的投影橢園等價(jià)于以廣告球直徑為直徑的圓柱截面橢園：此時(shí)b=R，a=2R，離心率 ，投影面積S=ab=k2R=2R2=18。評(píng)注：囿于空間想象能力的限制，幾何體的截痕和投影是立體幾何中的一個(gè)難點(diǎn)，也是具，有良好區(qū)分度的考題素材，因此有必要適當(dāng)進(jìn)行相應(yīng)的訓(xùn)練，才能形成基本的解題策略。1.4 幾何體的展開例：有一半徑為R的圓柱，被與軸成45角平面相截得“三角”圓柱ABC,則此“三角”圓柱的展開圖為（ ）解：設(shè)圓柱底面中心O，底面圓周上任一點(diǎn)P，過P的圓柱母線與截口交點(diǎn)為P，AOP=，則CBA=45，作PQAB于Q，|PP|=|AC|AQ|=2R（RRcos）=R（1+cos），AP=R。在柱面展開圖中，以AB直線為x軸，AC為y軸建立直角坐標(biāo)系，相應(yīng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x,y），則有消去得 ，展開圖輪廓線為余弦曲線， 故應(yīng)選（D）評(píng)注：幾何體與其展開圖，包含了平面與空間的大量信息，需要較強(qiáng)的空間想象能力，要進(jìn)行點(diǎn)與對(duì)應(yīng)點(diǎn)，線段與對(duì)應(yīng)線段的位置與數(shù)量的細(xì)致分析，需找出變與不變量以及變化規(guī)律，因此，它是代數(shù)與幾何、空間與平面的重要知識(shí)交匯點(diǎn)。2概率與數(shù)列的交匯數(shù)列是以正整數(shù)n為自變量的函數(shù)，而n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)k次的概率Pn(k)也是自然數(shù)n,k的函數(shù)，借助于自然數(shù)這一紐帶，可實(shí)現(xiàn)數(shù)列與概率的交匯。例4：質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā)，在數(shù)軸上向右運(yùn)動(dòng)，且遵循以下運(yùn)動(dòng)規(guī)律：質(zhì)點(diǎn)向右移動(dòng)一個(gè)單位的概率為，右移2個(gè)單位的概率為，設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（n,0）的概率為Pn。求P1和P2。求證PnPn1是等比數(shù)列。求Pn。解：P1= ， 由題意可知，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)（n,0），可分兩種情形，由點(diǎn)（n-1,0）右移1個(gè)單位或由點(diǎn)（n-2,0）右移2個(gè)單位，故由條件可知：（n3）評(píng)注：本題解題關(guān)鍵是數(shù)列的遞歸規(guī)律，建立概率數(shù)列的遞推公式，用數(shù)列知識(shí)解題，這種復(fù)雜的系列問題通過擷取其片段，解剖其規(guī)律，是破解難題的常用手段。3向量與三角、幾何的交匯向量既有長(zhǎng)度，又有方向，因此，向量蘊(yùn)含長(zhǎng)度和角度，因此，以幾何、三角為背景的問題便可成為產(chǎn)生向量問題良好溫床。例5：（04高考湖北卷19）如圖，在RtABC中，已知BC=a，若長(zhǎng)為2a的線段PQ以A為中點(diǎn)，問和夾角取何值時(shí)， 的值最大？并求出這個(gè)最大值。評(píng)注：本題為用向量形式表現(xiàn)的幾何最值問題，具有較強(qiáng)的綜合性，適時(shí)建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)形式，最終轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，大大降低了解題的難度。同時(shí)，也對(duì)相關(guān)知識(shí)的化歸能力提出了較高要求。4向量與立體幾何的交匯在最新版部編教材中，向量的內(nèi)容有所加強(qiáng)，特別在平面向量的運(yùn)算規(guī)律和平面向量基本定理進(jìn)一步擴(kuò)充到空間中，向量的工具性地位更加突出，因此，用向量解立體幾何問題也不應(yīng)局限在建立空間直角坐標(biāo)系，用空間坐標(biāo)運(yùn)算來解決問題，而應(yīng)著眼于向量的本質(zhì)內(nèi)容。例6：已知平行六面體ABCDA1B1C1D1各棱長(zhǎng)均為1，且棱AA1，AD，AB兩兩成60角，E,F分別為A1D1和B1B中點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)。評(píng)注：本題新穎之處在于向量與立體幾何的結(jié)合，并不只是建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)向量來解題。對(duì)于那種不方便建立空間直角坐標(biāo)系的問題，如斜棱柱斜棱錐等可直接利用空間向量的運(yùn)算性質(zhì)解題。5向量與解析幾何的交匯 由于向量在描述長(zhǎng)度與角度上獨(dú)特的工具性，解析幾何有著向量展現(xiàn)的良好的基礎(chǔ)，歷年新高考試卷已在此積累了不少成功經(jīng)驗(yàn)，04高考也不例外，使向量與解幾的結(jié)合更加合縫與自然。例7.（2005高考全國(guó)卷1）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)， 與共線。（）求橢圓的離心率；（）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且 ，證明為定值。（I）解：設(shè)橢圓方程為 則直線AB的方程為 故為定值，定值為1.評(píng)注：解向量與解幾的交匯題，關(guān)鍵在于利用向量的坐標(biāo)形式把向量條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)條件。6數(shù)列與函數(shù)的交匯數(shù)列與函數(shù)一脈相承，因此，數(shù)列與函數(shù)的交匯是傳統(tǒng)的命題熱點(diǎn)，04、05年高考更有長(zhǎng)足的表現(xiàn)，把數(shù)列、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)點(diǎn)交匯在一起，綜合程度和思維要求均有所提高。例8（2005高考浙江卷）設(shè)點(diǎn)(，0)，和拋物線：yx2an xbn(nN*)，其中an24n，由以下方法得到：x11，點(diǎn)P2(x2，2)在拋物線C1：yx2a1xb1上，點(diǎn)A1(x1，0)到P2的距離是A1到C1上點(diǎn)的最短距離，點(diǎn)在拋物線：yx2an xbn上，點(diǎn) (，0)到的距離是 到上點(diǎn)的最短距離即時(shí)，等式成立由知，等式對(duì)成立，故