給我一個(gè)面積公式吧~.doc

給我一個(gè)面積公式吧在上課的時(shí)候面積問(wèn)題總是可以引起許多的討論，尤其在國(guó)中階段可以用的招數(shù)不多，但是這絲毫不會(huì)影響學(xué)生解題的慾望。我們希望算出在一個(gè)在直角座標(biāo)平面上的三角形面積(如圖一)，同學(xué)吱吱喳喳的計(jì)算著，大部份同學(xué)都使出拿手的絕活，將圖形重新作處理-變成一個(gè)長(zhǎng)方形，然後利用長(zhǎng)方形面積減去四個(gè)角落的三角形面積。 圖一 圖二ABC=長(zhǎng)方形面積綠色面積藍(lán)色面積黃色面積6954-6-9-1425(平方單位) 除了圖二的處理方式外，有沒(méi)有其他的作法呢？有一些學(xué)生自然就會(huì)發(fā)現(xiàn)：其實(shí)不一定要補(bǔ)成長(zhǎng)方形，變成梯形(如圖三)也可以嘛，所以解決的方式也是類(lèi)似的，同學(xué)就可以很快地算出：ABC的仍然是25平方單位。ABC=梯形面積左面積右面積45-6-1425(平方單位)圖三圖四 看著同學(xué)的興緻正高昂，俗話說(shuō)打鐵要趁熱，所以我也就繼續(xù)推廣下去嘍，如果圖形是如圖四時(shí)，有誰(shuí)會(huì)算出面積啊？！可以想像的大部份國(guó)中生一定會(huì)大叫：太難了、不會(huì)作等等，不過(guò)等到他靜下心就會(huì)發(fā)現(xiàn)，圖四的題目和圖三其實(shí)是一樣的嘛，只不過(guò)一題是數(shù)字，一題用文字表示，硬著頭皮試試看ABC=梯形面積左面積右面積 *這個(gè)好結(jié)論，如果借用類(lèi)似行列式的寫(xiě)法的話，那就更漂亮了ABC其中乘為正，乘為負(fù)果然是不禁一番寒澈骨，那得梅花撲鼻香，太好的結(jié)論了，馬上拿題目來(lái)試試，如圖五，結(jié)果阿偉被嚇出一身冷汗，因?yàn)樗拇鸢妇谷皇秦?fù)的，趕緊舉手發(fā)問(wèn)，這究竟是怎麼回事？ABC17 * 問(wèn)題出在A、B、C三點(diǎn)的排列順序上，在*式中，A、B、C三點(diǎn)座標(biāo)是依逆時(shí)針排列，而在*的計(jì)算過(guò)程中，阿偉卻將點(diǎn)座標(biāo)以順時(shí)針排列，所以答案出現(xiàn)了負(fù)數(shù)，所以這個(gè)公式最好是將座標(biāo)以逆時(shí)針排列，不然的話，切記要加上絕對(duì)值! 圖五 圖六得到這麼好的結(jié)論，人心不足蛇吞象，可不可以推廣?。慨?dāng)然可以，我們也可以將它用在求多邊形的面積喔，只要把多邊形想像成是很多個(gè)三角形組合而成的(如圖六)，此時(shí)公式仍然是成立的。多邊形面積其中乘為正，乘為負(fù)注意：按逆時(shí)針排列不用加絕對(duì)值當(dāng)我們解決這個(gè)問(wèn)題之後，阿哲心裏飄飄然，似乎像萬(wàn)能的麥斯一樣，心中充滿所向無(wú)敵的神力，隨手畫(huà)了一個(gè)三角形，只知道三邊長(zhǎng)是8、10、12（如圖七），想而利用剛學(xué)會(huì)的方面算出它的面積，不過(guò)，他寫(xiě)了寫(xiě)之後停下筆來(lái)了，因?yàn)椋还苁茄a(bǔ)成一個(gè)矩形或是利用座標(biāo)的方式兩個(gè)方法似乎都作不出來(lái)圖七 以前的數(shù)學(xué)家也和阿哲一樣，曾經(jīng)被這個(gè)題目所困惑，不過(guò)有趣的是中外數(shù)學(xué)家中，各有一位人物在這個(gè)問(wèn)題上留其名，那就是希臘時(shí)代的數(shù)學(xué)家海倫(Heron或譯作海龍)與南宋的數(shù)學(xué)家秦九韶。 海倫的生卒年代已不好考究，在他的測(cè)地術(shù)一書(shū)中出現(xiàn)了這個(gè)公式，海倫公式是否是海倫本人的創(chuàng)見(jiàn)，數(shù)學(xué)家也各有其看法，不過(guò)就像畢氏定理是否為畢達(dá)哥拉斯本人發(fā)明的一樣，都無(wú)損於公式本身的炫麗，已知三角形的三邊長(zhǎng)分別是a、b、c，則三角形的面積：其中這個(gè)公式被後人稱(chēng)之為海倫公式Herons Formula。秦九韶，字道古是宋 元黃金時(shí)期數(shù)學(xué)家中的四家之一，性極機(jī)巧，星象、音律、算術(shù)以至於營(yíng)造等事，無(wú)不精究，西元1247年在兵荒馬亂的中編成了數(shù)學(xué)巨作-數(shù)書(shū)九章，書(shū)中共分為九大類(lèi)：大衍類(lèi)、天時(shí)類(lèi)、田域類(lèi)、測(cè)望類(lèi)、賦役類(lèi)、錢(qián)穀類(lèi)、營(yíng)建類(lèi)、軍旅類(lèi)、市易類(lèi)。每類(lèi)9個(gè)題目，共81道題。在數(shù)書(shū)九章卷五第二題，秦九韶提出了以下的問(wèn)題： 問(wèn)沙田一段，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。欲知為田幾何？意思就是請(qǐng)讀者求出邊長(zhǎng)分別為13里、14里和15里的三角形的面積，在書(shū)中秦九韶稱(chēng)這道題目為三斜求積，因此世人就稱(chēng)這個(gè)求面積的方法為三斜求積術(shù)。已知三角形的三邊長(zhǎng)由小到大分別是a、b、c，則三角形的面積：那麼來(lái)個(gè)超級(jí)比一比，那個(gè)公式比較好用？結(jié)論是各有所長(zhǎng)，海倫公式較簡(jiǎn)潔，但是遇到邊長(zhǎng)為二次根式之無(wú)理數(shù)時(shí)，運(yùn)算上比較複雜，而秦九韶的三斜求積術(shù)，卻很好處理邊長(zhǎng)是無(wú)理數(shù)的情形。事實(shí)上兩個(gè)公式是等價(jià)的，讓我們用哈利波特的魔杖一揮，讓海倫公式與三斜求積術(shù)來(lái)個(gè)相見(jiàn)歡，簡(jiǎn)單說(shuō)明如下：【三斜求積術(shù)】 觀察上式，其實(shí)不用刻意區(qū)分邊長(zhǎng)的大小，上式都可以算出的面積?！竞惞健科渲心?，是不