2021高三數(shù)學(xué)北師大版（理）：定積分與微積分基本定理含解析.doc

教學(xué)資料范本2021高三數(shù)學(xué)北師大版（理）：定積分與微積分基本定理含解析編 輯：_時(shí) 間：_最新考綱1.了解定積分的實(shí)際背景、了解定積分的基本思想、了解定積分的概念.2.了解微積分基本定理的含義1定積分的有關(guān)概念與幾何意義(1)定積分的定義如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a、b上連續(xù)、用分點(diǎn)將區(qū)間a、b等分成n個(gè)小區(qū)間、在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)i(i1,2、n)、作和式sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.當(dāng)每個(gè)小區(qū)間的長度x趨于0時(shí)、s的值趨于一個(gè)常數(shù)A.我們稱常數(shù)A叫作函數(shù)f(x)在區(qū)間a、b上的定積分、記作f(x)dx、即f(x)dxA.在f(x)dx中、a與b分別叫做積分下限與積分上限、區(qū)間a、b叫做積分區(qū)間、函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)、x叫做積分變量、f(x)dx叫做被積式(2)定積分的幾何意義圖形陰影部分面積Sf(x)dxSf(x)dxSf(x)dxf(x)dxSf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx2定積分的性質(zhì)(1)1dxba；(2)kf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))；(3)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；(4)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)3微積分基本定理如果連續(xù)函數(shù)f(x)是函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)、即f(x)F(x)、那么f(x)dxF(b)F(a)、這個(gè)結(jié)論叫作微積分基本定理、又叫作牛頓萊布尼茨公式通常稱F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)為了方便、常把F(b)F(a)記作F(x)|、即f(x)dxF(x)|F(b)F(a)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a、a上連續(xù)、則有(1)若f(x)為偶函數(shù)、則f(x)dx2f(x)dx.(2)若f(x)為奇函數(shù)、則f(x)dx0.一、思考辨析(正確的打“”、錯(cuò)誤的打“”)(1)設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間a、b上連續(xù)、則f(x)dxf(t)dt.()(2)定積分一定是曲邊梯形的面積()(3)若f(x)dx0、那么由yf(x)的圖像、直線xa、直線xb以及x軸所圍成的圖形一定在x軸下方()答案(1)(2)(3)二、教材改編1已知質(zhì)點(diǎn)的速率v10t、則從t0到tt0質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程是()A10tB5tCt DtBSvdt10tdt5t25t.2dx_.1dxln(x1) ln eln 11. 3. dx_.dx表示由直線x0、x1、y0以及曲線y所圍成的圖形的面積、dx.4曲線yx2與直線yx所圍成的封閉圖形的面積為_如圖、陰影部分的面積即為所求由得A(1,1)故所求面積為S (xx2)dx.考點(diǎn)1定積分的計(jì)算計(jì)算定積分的步驟(1)把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差(2)把定積分變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分(3)分別用求導(dǎo)公式的逆運(yùn)算找到一個(gè)相應(yīng)的原函數(shù)(4)利用微積分基本定理求出各個(gè)定積分的值、然后求其代數(shù)和1.計(jì)算dx的值為()A.B.ln 2C.ln 2 D.3ln 2Bdx2ln 2ln 2.故選B.2.(sin xcos x)dx_.2(sin xcos x)dx(cos xsin x)3.|x1|dx_.|x1|dx(1x)dx) 1.運(yùn)用微積分基本定理求定積分時(shí)的4個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)對被積函數(shù)要先化簡、再求積分(2)求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分、依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”、分段積分再求和(3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù)、要先去掉絕對值符號、再求積分(4)注意用“F(x)f(x)”檢驗(yàn)積分的對錯(cuò)考點(diǎn)2定積分的幾何意義(1)根據(jù)題意畫出圖形(2)借助圖形確定被積函數(shù)、求交點(diǎn)坐標(biāo)、確定積分的上、下限(3)把曲邊梯形的面積表示成若干個(gè)定積分的和(4)計(jì)算定積分、寫出答案利用定積分的幾何意義計(jì)算定積分(1)計(jì)算：dx_.(2)若dx、則m_.(1)(2)1(1)由定積分的幾何意義知、dx表示圓(x1)2y24和x1、x3、y0圍成的圖形的面積、dx4.(2)根據(jù)定積分的幾何意義dx表示圓(x1)2y21和直線x2、xm和y0圍成的圖形的面積、又dx為四分之一圓的面積、結(jié)合圖形知m1.正確畫出定積分所對應(yīng)的幾何圖形是解決此類問題的關(guān)鍵求平面圖形的面積由曲線xy1、直線yx、y3所圍成的封閉平面圖形的面積為_4ln 3由xy1、y3、可得A.由xy1、yx、可得B(1,1)、由yx、y3、得C(3,3)、由曲線xy1、直線yx、y3所圍成圖形的面積為dx(3x)dx(3xln x) (3x1ln 3) 4ln 3.逆向問題已知曲線yx2與直線ykx(k0)所圍成的曲邊圖形的面積為、則k_.2由得或則曲線yx2與直線ykx(k0)所圍成的曲邊梯形的面積為(kxx2)dx|k3、即k38、所以k2.利用定積分求曲邊圖形面積時(shí)、一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)、要分不同情況討論1.曲線yx2、y與x軸所圍成的面積為_如圖所示、由y及yx2可得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1.由定積分的幾何意義可知、由y、yx2及x軸所圍成的封閉圖形的面積為dx(x2)dxx|.2.如圖所示、由拋物線yx24x3及其在點(diǎn)A(0、3)和點(diǎn)B(3,0)處的切線所圍成圖形的面積為_由yx24x3、得y2x4、y|x04、y|x32、拋物線在A點(diǎn)處的切線方程為y4x3、在B點(diǎn)處的切線方程為y2x6、聯(lián)立方程解得兩切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為、S (4x3)(x24x3)dx(2x6)(x24x3)dxx2dx (x26x9)dxx3.考點(diǎn)3定積分在物理中的應(yīng)用定積分在物理中的2個(gè)應(yīng)用(1)求物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、如果變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度為vv(t)、那么從時(shí)刻ta到tb所經(jīng)過的路程sv(t)dt.(2)變力做功、一物體在變力F(x)的作用下、沿著與F(x)相同方向從xa運(yùn)動(dòng)到xb時(shí)、力F(x)所做的功是WF(x)dx.(1)一輛汽車在高速公路上行駛、由于遇到緊急情況而剎車、以速度v(t)73t(t的單位：s、v的單位：m/s)行駛至停止在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是()A125ln 5B825lnC425ln 5 D450ln 2(2)一物體在變力F(x)5x2(力單位：N、位移單位：m)作用下、沿與F(x)成30方向作直線運(yùn)動(dòng)、則由x1運(yùn)動(dòng)到x2時(shí)、F(x)做的功為()A. J B. JC. J D.2 J(1)C(2)C(1)由v(t)73t0、可得t4、因此汽車從剎車到停止一共行駛了4 s、在此期間行駛的距離為v(t)dtdt|425ln 5.(2)變力F在位移方向上的分力為Fcos 30、故F(x)做的功為W(5x2)cos 30dx(5x2)dx| 如果做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度v關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)是vv(t)(v(t)0)、那么物體從時(shí)刻ta到tb所經(jīng)過的路程sv(t)dt.物體A以速度v3t21(t的單位：s、v的單位：m/s)在一直線上運(yùn)動(dòng)、在此直線上與物體A出發(fā)的同時(shí)、物體B在物體A的正前方5