高中數(shù)學(xué)排列組合幾種基本方法ppt課件.ppt

解排列組合的幾種基本方法,2015年12月23日,1,相鄰元素的排列，可以采用“局部到整體”的排法，即將相鄰的元素局部排列當(dāng)成“一個”元素，然后再進(jìn)行整體排列.,1.捆綁法,例16人排成一排.甲、乙兩人必須相鄰，有多少種不的排法？,解：（1）分兩步進(jìn)行：,甲乙,第一步，把甲乙排列(捆綁)：,第二步，甲乙兩個人的梱看作一個元素與其它的排隊：,幾個元素必須相鄰時，先捆綁成一個元素，再與其它的進(jìn)行排列.,特殊元素優(yōu)先考慮,2,例27人排成一排.甲、乙兩人不相鄰，有多少種不同的排法？,解：分兩步進(jìn)行：,幾個元素不能相鄰時,先排一般元素，再讓特殊元素插空.,第1步，把除甲乙外的人排列：,第2步，將甲乙分別插入到不同的間隙或兩端中(插空)：,解決一些不相鄰問題時，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使問題得以解決.,2.插空法：,3,例35個人站成一排，甲總站在乙的右側(cè)的有多少種站法？,幾個元素順序一定的排列問題，一般是先排列，再消去這幾個元素的順序或者，先讓其它元素選取位置排列，留下來的空位置自然就是順序一定的了.,3.消序法/倍縮法(留空法/空位法),解法1：將5個人依次站成一排，有,解法2：先讓甲乙之外的三人從5個位置選出3個站好，有,種站法，,然后再消去甲乙之間的順序數(shù),甲總站在乙的右側(cè)的有站法總數(shù)為,種站法，留下的兩個位置自然給甲乙有1種站法,甲總站在乙的右側(cè)的有站法總數(shù)為,4,變式：如下圖所示,有5橫8豎構(gòu)成的方格圖,從A到B只能上行或右行共有多少條不同的路線?,解:如圖所示,將一條路經(jīng)抽象為如下的一個排法(5-1)+(8-1)=11格:,其中必有四個和七個組成!,所以,四個和七個一個排序就對應(yīng)一條路經(jīng),所以從A到B共有,條不同的路徑.,3.消序法(留空法),也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,順序一定的排列，有種排法.,5,要明確堆的順序（分配）時，必須先分堆后再把堆數(shù)當(dāng)作元素個數(shù)作全排列.,若干個不同的元素局部“等分”有個均等堆，要將選取出每一個堆的組合數(shù)的乘積除以m!,若干個不同的元素“等分”為n個堆，要將選取出每一個堆的組合數(shù)的乘積除以n!,非均分堆問題，只要按比例取出分完再用乘法原理作積.,分組（堆）分配問題的六個模型：不分配：無序不等分；無序等分；無序局部等分；(分配：有序不等分；有序等分；有序局部等分.),處理問題的原則：,4.分組（堆）分配問題,6,例4有四項不同的工程，要承包給三個工程隊，要求每個工程隊至少要得到一項工程.共有多少種不同的發(fā)包方式？,解法1：要完成承包這件事，可以分為兩個步驟：,先將四項工程分為三“堆”，有,種分法；,再將分好的三“堆”依次給三個工程隊，有3!6種給法.,共有6636種不同的發(fā)包方式.,4.分組（堆）分配問題,解法2：,7,n個相同小球放入m(mn)個盒子里，要求每個盒子里至少有一個小球的放法（等價于n個相同小球串成一串從間隙里選m-1個結(jié)點(diǎn)剪截成m段.）,例5某校準(zhǔn)備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，把16個選手名額分配到高三年級的1-4個教學(xué)班，每班至少一個名額，則不同的分配方案共有_種.,5.隔板法（剪截法）：,解：問題等價于把16個相同小球放入4個盒子里，每個盒子至少有一個小球的放法種數(shù)問題.,將16個小球串成一串，截為4段有,種截斷法，對應(yīng)放到4個盒子里.,因此，不同的分配方案共有455種.,8,變式1：某校準(zhǔn)備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，把16個選手名額分配到高三年級的1-4個教學(xué)班，每班的名額不少于該班的序號數(shù)，則不同的分配方案共有_種.,解：問題等價于先給2班1個，3班2個，4班3個，再把余下的10個相同小球放入4個盒子里，每個盒子至少有一個小球的放法種數(shù)問題.,將10個小球串成一串，截為4段有,種截斷法，對應(yīng)放到4個盒子里.,因此，不同的分配方案共有84種.,5.隔板法（剪截法）：,9,變式2：,（1）求這個方程組的正整數(shù)解的組數(shù)？,（2）求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù)？,10,6.剔除法（間接法）,從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法.（對立事件）,例6從集合0,1,2,3,5,7,11中任取3個元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有_條.,解：所有這樣的直線共有條，,其中不過原點(diǎn)的直線有條，,所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有210-18030條.,排列組合應(yīng)用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識聯(lián)系，從而增加了問題的綜合性，解答這類應(yīng)用題時，要注意使用相關(guān)知識對答案進(jìn)行取舍.,11,編號為1至n的n個小球放入編號為1到n的n個盒子里，每個盒子放一個小球.要求小球與盒子的編號都不同，這種排列稱為錯位排列.,7.錯位法：,特別當(dāng)n=2,3,4,5時的錯位數(shù)各為1,2,9,44.（列舉）,例7編號為1至6的6個小球放入編號為1至6的6個盒子里，每個盒子放一個小球，其中恰有2個小球與盒子的編號相同的放法有_種.,解：選取編號相同的兩組球和盒子的方法有種，,其余4組球與盒子需錯位排列有9種放法.,故所求方法有159135種.