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解排列組合的幾種基本方法,2015年12月23日,1,相鄰元素的排列,可以采用“局部到整體”的排法,即將相鄰的元素局部排列當(dāng)成“一個”元素,然后再進(jìn)行整體排列.,1.捆綁法,例16人排成一排.甲、乙兩人必須相鄰,有多少種不的排法?,解:(1)分兩步進(jìn)行:,甲乙,第一步,把甲乙排列(捆綁):,第二步,甲乙兩個人的梱看作一個元素與其它的排隊:,幾個元素必須相鄰時,先捆綁成一個元素,再與其它的進(jìn)行排列.,特殊元素優(yōu)先考慮,2,例27人排成一排.甲、乙兩人不相鄰,有多少種不同的排法?,解:分兩步進(jìn)行:,幾個元素不能相鄰時,先排一般元素,再讓特殊元素插空.,第1步,把除甲乙外的人排列:,第2步,將甲乙分別插入到不同的間隙或兩端中(插空):,解決一些不相鄰問題時,可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素,使問題得以解決.,2.插空法:,3,例35個人站成一排,甲總站在乙的右側(cè)的有多少種站法?,幾個元素順序一定的排列問題,一般是先排列,再消去這幾個元素的順序或者,先讓其它元素選取位置排列,留下來的空位置自然就是順序一定的了.,3.消序法/倍縮法(留空法/空位法),解法1:將5個人依次站成一排,有,解法2:先讓甲乙之外的三人從5個位置選出3個站好,有,種站法,,然后再消去甲乙之間的順序數(shù),甲總站在乙的右側(cè)的有站法總數(shù)為,種站法,留下的兩個位置自然給甲乙有1種站法,甲總站在乙的右側(cè)的有站法總數(shù)為,4,變式:如下圖所示,有5橫8豎構(gòu)成的方格圖,從A到B只能上行或右行共有多少條不同的路線?,解:如圖所示,將一條路經(jīng)抽象為如下的一個排法(5-1)+(8-1)=11格:,其中必有四個和七個組成!,所以,四個和七個一個排序就對應(yīng)一條路經(jīng),所以從A到B共有,條不同的路徑.,3.消序法(留空法),也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,順序一定的排列,有種排法.,5,要明確堆的順序(分配)時,必須先分堆后再把堆數(shù)當(dāng)作元素個數(shù)作全排列.,若干個不同的元素局部“等分”有個均等堆,要將選取出每一個堆的組合數(shù)的乘積除以m!,若干個不同的元素“等分”為n個堆,要將選取出每一個堆的組合數(shù)的乘積除以n!,非均分堆問題,只要按比例取出分完再用乘法原理作積.,分組(堆)分配問題的六個模型:不分配:無序不等分;無序等分;無序局部等分;(分配:有序不等分;有序等分;有序局部等分.),處理問題的原則:,4.分組(堆)分配問題,6,例4有四項不同的工程,要承包給三個工程隊,要求每個工程隊至少要得到一項工程.共有多少種不同的發(fā)包方式?,解法1:要完成承包這件事,可以分為兩個步驟:,先將四項工程分為三“堆”,有,種分法;,再將分好的三“堆”依次給三個工程隊,有3!6種給法.,共有6636種不同的發(fā)包方式.,4.分組(堆)分配問題,解法2:,7,n個相同小球放入m(mn)個盒子里,要求每個盒子里至少有一個小球的放法(等價于n個相同小球串成一串從間隙里選m-1個結(jié)點(diǎn)剪截成m段.),例5某校準(zhǔn)備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把16個選手名額分配到高三年級的1-4個教學(xué)班,每班至少一個名額,則不同的分配方案共有_種.,5.隔板法(剪截法):,解:問題等價于把16個相同小球放入4個盒子里,每個盒子至少有一個小球的放法種數(shù)問題.,將16個小球串成一串,截為4段有,種截斷法,對應(yīng)放到4個盒子里.,因此,不同的分配方案共有455種.,8,變式1:某校準(zhǔn)備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把16個選手名額分配到高三年級的1-4個教學(xué)班,每班的名額不少于該班的序號數(shù),則不同的分配方案共有_種.,解:問題等價于先給2班1個,3班2個,4班3個,再把余下的10個相同小球放入4個盒子里,每個盒子至少有一個小球的放法種數(shù)問題.,將10個小球串成一串,截為4段有,種截斷法,對應(yīng)放到4個盒子里.,因此,不同的分配方案共有84種.,5.隔板法(剪截法):,9,變式2:,(1)求這個方程組的正整數(shù)解的組數(shù)?,(2)求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù)?,10,6.剔除法(間接法),從總體中排除不符合條件的方法數(shù),這是一種間接解題的方法.(對立事件),例6從集合0,1,2,3,5,7,11中任取3個元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C,所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有_條.,解:所有這樣的直線共有條,,其中不過原點(diǎn)的直線有條,,所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有210-18030條.,排列組合應(yīng)用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識聯(lián)系,從而增加了問題的綜合性,解答這類應(yīng)用題時,要注意使用相關(guān)知識對答案進(jìn)行取舍.,11,編號為1至n的n個小球放入編號為1到n的n個盒子里,每個盒子放一個小球.要求小球與盒子的編號都不同,這種排列稱為錯位排列.,7.錯位法:,特別當(dāng)n=2,3,4,5時的錯位數(shù)各為1,2,9,44.(列舉),例7編號為1至6的6個小球放入編號為1至6的6個盒子里,每個盒子放一個小球,其中恰有2個小球與盒子的編號相同的放法有_種.,解:選取編號相同的兩組球和盒子的方法有種,,其余4組球與盒子需錯位排列有9種放法.,故所求方法有159135種.
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