數(shù)學建模高斯擴散模型

精選文庫4-2高斯擴散模式 平均風速； Q源強是指污染物排放速率。與空氣中污染物質的濃度成正比，它是研究空氣污染問題的基礎數(shù)據(jù)。通常：（）瞬時點源的源強以一次釋放的總量表示；（）連續(xù)點源以單位時間的釋放量表示；（）連續(xù)線源以單位時間單位長度的排放量表示；（）連續(xù)面源以單位時間單位面積的排放量表示。y側向擴散參數(shù)，污染物在y方向分布的標準偏差，是距離y的函數(shù)，m；z豎向擴散參數(shù)，污染物在z方向分布的標準偏差，是距離z的函數(shù)，m；未知量濃度c、待定函數(shù)A(x)、待定系數(shù)a、b；式、組成一方程組，四個方程式有四個未知數(shù)，故方程式可解。二、高斯擴散模式（一）連續(xù)點源的擴散連續(xù)點源一般指排放大量污染物的煙囪、放散管、通風口等。排放口安置在地面的稱為地面點源，處于高空位置的稱為高架點源。1. 大空間點源擴散 高斯擴散公式的建立有如下假設：風的平均流場穩(wěn)定，風速均勻，風向平直；污染物的濃度在y、z軸方向符合正態(tài)分布；污染物在輸送擴散中質量守恒；污染源的源強均勻、連續(xù)。圖59所示為點源的高斯擴散模式示意圖。有效源位于坐標原點o處，平均風向與x軸平行，并與x軸正向同向。假設點源在沒有任何障礙物的自由空間擴散，不考慮下墊面的存在。大氣中的擴散是具有y與z兩個坐標方向的二維正態(tài)分布，當兩坐標方向的隨機變量獨立時，分布密度為每個坐標方向的一維正態(tài)分布密度函數(shù)的乘積。由正態(tài)分布的假設條件，參照正態(tài)分布函數(shù)的基本形式式（515），取0，則在點源下風向任一點的濃度分布函數(shù)為： （516）式中 C空間點（x，y，z）的污染物的濃度，mg/m3； A（x）待定函數(shù)； y、z分別為水平、垂直方向的標準差，即y、x方向的擴散參數(shù)，m。 由守恒和連續(xù)假設條件和，在任一垂直于x軸的煙流截面上有： （517）式中 q源強，即單位時間內排放的污染物，g/s； u平均風速，m/s。 將式（516）代入式（517）, 由風速穩(wěn)定假設條件，A與y、z無關，考慮到和，積分可得待定函數(shù)A（x）： （518）將式（518）代入式（516），得大空間連續(xù)點源的高斯擴散模式 （519）式中，擴散系數(shù)y、z與大氣穩(wěn)定度和水平距離x有關，并隨x的增大而增加。當y0，z0時，A（x）C（x，0,0），即A（x）為x軸上的濃度，也是垂直于x軸截面上污染物的最大濃度點Cmax。當x，y及z，則C0，表明污染物以在大氣中得以完全擴散。 2高架點源擴散 在點源的實際擴散中，污染物可能受到地面障礙物的阻擋，因此應當考慮地面對擴散的影響。處理的方法是，或者假定污染物在擴散過程中的質量不變，到達地面時不發(fā)生沉降或化學反應而全部反射；或者污染物在沒有反射而被全部吸收，實際情況應在這兩者之間。（1）高架點源擴散模式。點源在地面上的投影點o作為坐標原點，有效源位于z軸上某點， zH。高架有效源的高度由兩部分組成，即Hhh，其中h為排放口的有效高度，h是熱煙流的浮升力和煙氣以一定速度豎直離開排放口的沖力使煙流抬升的一個附加高度，如圖510所示。 當污染物到達地面后被全部反射時，可以按照全反射原理，用“像源法”來求解空間某點k的濃度。圖510中k點的濃度顯然比大空間點源擴散公式（519）計算值大，它是位于(0，0，H)的實源在k點擴散的濃度和反射回來的濃度的疊加。反射濃度可視為由一與實源對稱的位于(0，0，H)的像源（假想源）擴散到k點的濃度。由圖可見，k點在以實源為原點的坐標系中的垂直坐標為(z-H)，則實源在k點擴散的濃度為式（519）的坐標沿z軸向下平移距離H： （520）k點在以像源為原點的坐標系中的垂直坐標為(zH)，則像源在k點擴散的濃度為式（519）的坐標沿z軸向上平移距離H： （521）由此，實源Cs與像源Cx之和即為k點的實際污染物濃度：（522） 若污染物到達地面后被完全吸收，則Cx0，污染物濃度C（x，y，z，H）Cs，即式（520）。 （2）地面全部反射時的地面濃度。實際中，高架點源擴散問題中最關心的是地面濃度的分布狀況，尤其是地面最大濃度值和它離源頭的距離。在式（522）中，令z0，可得高架點源的地面濃度公式： （523） 上式中進一步令y0則可得到沿x軸線上的濃度分布： （524） 地面濃度分布如圖圖511所示。y方向的濃度以x軸為對稱軸按正態(tài)分布；沿x軸線上，在污染物排放源附近地面濃度接近于零，然后順風向不斷增大，在離源一定距離時的某處，地面軸線上的濃度達到最大值，以后又逐漸減小。 地面最大濃度值Cmax及其離源的距離xmax可以由式（524）求導并取極值得到。令，由于y、z均為x的未知函數(shù)，最簡單的情況可假定y/z常數(shù)，則當 （525） 時，得地面濃度最大值 （526）由式（525）可以看出，有效源H越高， xmax處的z值越大，而zxmax，則Cmax出現(xiàn)的位置離污染源的距離越遠。式（526）表明，地面上最大濃度Cmax與有效源高度的平方及平均風速成反比，增加H可以有效地防止污染物在地面某一局部區(qū)域的聚積。式（525）和式（526）是在估算大氣污染時經(jīng)常選用的計算公式。由于它們是在 y/z常數(shù)的假定下得到的，應用于小尺度湍流擴散更合適。除了極穩(wěn)定或極不穩(wěn)定的大氣條件，通?？稍Oy/z2估算最大地面濃度，其估算值與孤立高架點源(如電廠煙囪)附近的環(huán)境監(jiān)測數(shù)據(jù)比較一致。通過理論或經(jīng)驗的方法可得zf（x）的具體表達式，代入（525）可求出最大濃度點離源的距離xmax，具體可查閱我國GB384091制定地方大氣污染物排放標準的技術方法。3. 地面點源擴散對于地面點源，則有效源高度H0。當污染物到達地面后被全部反射時，可令式（522）中H0，即得出地面連續(xù)點源的高斯擴散公式: （527）其濃度是大空間連續(xù)點源擴散式（519）或地面無反射高架點源擴散式（520）在H0時的兩倍，說明煙流的下半部分完全對稱反射到上部分，使得濃度加倍。若取y與z等于零，則可得到沿x軸線上的濃度分布： （528）如果污染物到達地面后被完全吸收，其濃度即為地面無反射高架點源擴散式（520）在H0時的濃度，也即大空間連續(xù)點源擴散式（519）。高斯擴散模式的一般適用條件是：地面開闊平坦，性質均勻，下墊面以上大氣湍流穩(wěn)定；擴散處于同一大氣溫度層結中，擴散范圍小于10km；擴散物質隨空氣一起運動，在擴散輸送過程中不產生化學反應，地面也不吸收污染物而全反射；平均風向和風速平直穩(wěn)定，且u12m/s。 高斯擴散模式適應大氣湍流的性質，物理概念明確，估算污染濃度的結果基本上能與實驗資料相吻合，且只需利用常規(guī)氣象資料即可進行簡單的數(shù)學運算，因此使用最為普遍。（二）連續(xù)線源的擴散 當污染物沿一水平方向連續(xù)排放時，可將其視為一線源，如汽車行駛在平坦開闊的公路上。線源在橫風向排放的污染物濃度相等，這樣，可將點源擴散的高斯模式對變量y積分，即可獲得線源的高斯擴散模式。但由于線源排放路徑相對固定，具有方向性，若取平均風向為x軸，則線源與平均風向未必同向。所以線源的情況較復雜，應當考慮線源與風向夾角以及線源的長度等問題。 如果風向和線源的夾角45，無限長連續(xù)線源下風向地面濃度分布為： （529）當45時，以上模式不能應用。如果風向和線源的夾角垂直，即90，可得： （530） 對于有限長的線源，線源末端引起的“邊緣效應”將對污染物的濃度分布有很大影響。隨著污染物接受點距線源的距離增加，“邊源效應”將在橫風向距離的更遠處起作用。因此在估算有限長污染源形成的濃度分布時，“邊源效應”不能忽視。對于橫風向的有限長線源，應以污染物接受點的平均風向為x軸。若線源的范圍是從y1到y(tǒng)2，且y1y2，則有限長線源地面濃度分布為： （531）式中，s1y1/y，s2y2/y，積分值可從正態(tài)概率表中查出。（三）連續(xù)面源的擴散 當眾多的污染源在一地區(qū)內排放時，如城市中家庭爐灶的排放，可將它們作為面源來處理。因為這些污染源排放量很小但數(shù)量很大，若依點源來處理，將是非常繁雜的計算工作。常用的面源擴散模式為虛擬點源法，即將城市按污染源的分布和高低不同劃分為若干個正方形，每一正方形視為一個面源單元，邊長一般在0.510km之間選取。這種方法假設：有一距離為x0的虛擬點源位于面源單元形心的上風處，如圖5-12所示，它在面源單元中心線處產生的煙流寬度為2y04.3y0，等于面源單元寬度B；面源單元向下風向擴散的濃度可用虛擬點源在下風向造成的同樣的濃度所代替。根據(jù)污染物在面源范圍內的分布狀況，可分為以下兩種虛擬點源擴散模式： 第一種擴散模式假定污染物排放量集中在各面源單元的形心上。由假設可得： （532） 由確定的大氣穩(wěn)定度級別和上式求出的，應用PG曲線圖（見下節(jié)）可查取xo。再由(x0x)分布查出y和z，則面源下風向任一處的地面濃度由下式確定： （533）上式即為點源擴散的高斯模式（524），式中H取面源的平均高度，m。如果排放源相對較高，而且高度相差較大，也可假定z方向上有一虛擬點源，由源的最初垂直分布的標準差確定，再由求出，由求出z，由(x0x) 求出y，最后代入式（533）求出地面濃度。 第二種擴散模式假定污染物濃度均勻分布在面源的y方向，且擴散后的污染物全都均勻分布在長為(x0x)8的弧上，如圖5-12所示。因此，利用式（532）求y后，由穩(wěn)定度級別應用PG曲線圖查出x0，再由(x0x) 查出z，則面源下風向任一點的地面濃度由下式確定： （534）三、擴散參數(shù)及煙流抬升高度的確定高斯擴散公式的應用效果依賴于公式中的各個參數(shù)的準確程度，尤其是擴散參數(shù)y、z及煙流抬升高度h的估算。其中，平均風速u取多年觀測的常規(guī)氣象數(shù)據(jù)；源強q可以計算或測定，而y、z及h與氣象條件和地面狀況密切相關。1. 擴散參數(shù)y、z的估算擴散參數(shù)y、z是表示擴散范圍及速率大小的特征量，也即正態(tài)分布函數(shù)的標準差。為了能較符合實際地確定這些擴散參數(shù)，許多研究工作致力于把濃度場和氣象條件結合起來，提出了各種符合實驗條件的擴散參數(shù)估計方法。其中應用較多的由是帕斯奎爾(Pasquill) 和吉福特(Gifford)提出的擴散參數(shù)估算方法，也稱為PG擴散曲線，如圖513和圖514所示。由圖可見，只要利用當?shù)爻Ｒ?guī)氣象觀測資料，由表51查取帕斯奎爾大氣穩(wěn)定度等級，即可確定擴散參數(shù)。擴散參數(shù)具有如下規(guī)律：隨著離源距離增加而增大；不穩(wěn)定大氣狀態(tài)時的值大于穩(wěn)定大氣狀態(tài)，因此大氣湍流運動愈強，值愈大；以上兩種條件相同時，粗糙地面上的值大于平坦地面。由于利用常規(guī)氣象資料便能確定帕斯奎爾大氣穩(wěn)定度，因此PG擴散曲線簡便實用。但是，PG擴散曲線是利用觀測資料統(tǒng)計結合理論分析得到的，其應用具有一定的經(jīng)驗性和局限性。y是利用風向脈動資料和有限的擴散觀測資料作出的推測估計，z是在近距離應用了地面源在中性層結時的豎直擴散理論結果，也參照一些擴散試驗資料后的推算，而穩(wěn)定和強不穩(wěn)定兩種情況的數(shù)據(jù)純系推測結果。一般，PG擴散曲線較適用于近地源的小尺度擴散和開闊平坦的地形。實踐表明，y的近似估計與實際狀況比較符合，但要對地面粗糙度和取樣時間進行修正；z的估計值與溫度層結的關系很大，適用于近地源的lkm以內的擴散。因此，大氣擴散參數(shù)的準確定量描述仍是深入研究的課題。估算地面最大濃度值Cmax及其離源的距離xm