高等數(shù)學 空間曲面和曲線PPT課件

1,曲面在空間解析幾何中被看作點的軌跡.,曲面方程的定義：,8.3空間曲面和曲線,8.3.1空間曲面方程,(2)不在曲面上的點的坐標都不滿足方程；,(1)曲面上任一點的坐標都滿足方程；,如果曲面與三元方程有下述關系：,而曲面S稱為方程的圖形.,那么,方程就稱為曲面S的方程,2,解,由題意，有,所求方程為,特別地,球心在原點的球面方程為,即,設是球面上任一點，,例1建立球心在點半徑為R,的球面方程.,3,球面的一般方程為,經(jīng)配方,可化為球面的標準方程.,例如,配方后得,例如,與,分別表示上、下半球面.,4,定義,繞其平面上的一條直線,這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸.,此曲線稱母線.,稱為旋轉(zhuǎn)曲面.,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面,為方便,常把曲線所在,一條平面曲線,母線,軸,作坐標軸.,平面取作坐標面,旋轉(zhuǎn)軸取,5,將代入,得所求方程為,現(xiàn)求yOz坐標面上的已知曲線,繞z軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程.,(2)點M到z軸的距離,6,xOz坐標面上的已知曲線,繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為,同理：yOz坐標面上的已知曲線,7,解,圓錐面方程,所得旋轉(zhuǎn)曲面稱為圓錐面.兩直線的交點稱為,圓錐面的頂點,兩直線的夾角,圓錐面的半頂角.,稱為,試建立頂點在坐標原點O,旋,半頂角為的,圓錐面的方程.,轉(zhuǎn)軸為z軸,面上直線方程為,例2直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周,8,圓錐面的方程也可寫成,圓錐面的幾種常用形式,與,分別表示開口朝上與朝下的半錐面.,9,旋轉(zhuǎn)橢球面,旋轉(zhuǎn)拋物面,例3將下列各曲線繞對應的軸旋轉(zhuǎn)一周,求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程,(1)yoz面上的橢圓繞y軸和z軸;,(2)yoz面上的拋物線繞z軸;,繞y軸旋轉(zhuǎn),繞z軸旋轉(zhuǎn),10,定義,平行于定直線并沿定曲線C,這條定曲線C稱為柱面的準線,動直線L稱為柱面的母線.,所形成的曲面稱為柱面.,移動的直線L,準線,母線,11,柱面舉例,拋物柱面,平面,從柱面方程看柱面的特征：,(其他類推),在空間直角坐標系中表示平行于z軸的柱面,其準線為xOy面上的曲線C.,12,橢球面,三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面,13,(與同號),橢圓拋物面,14,特殊地:當時,方程變?yōu)?旋轉(zhuǎn)拋物面,分別表示開口朝上與朝下的旋轉(zhuǎn)拋物面.,例如,與,15,(與同號),雙曲拋物面(馬鞍面),設,圖形如下：,16,單葉雙曲面,17,雙葉雙曲面,18,空間曲線的一般方程,空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.,特點:曲線上的點都滿足方程,滿足方程的點都在曲線上,不在曲線上的點不能,同時滿足兩個方程.,8.3.2空間曲線方程,19,例4方程組表示怎樣的曲線?,解,表示圓柱面，,表示平面，,交線為橢圓,C,20,例5方程組表示怎樣的曲線?,解,上半球面(如圖),圓柱面(如圖),交線為藍色部分(如圖),21,稱為空間曲線的參數(shù)方程,隨著參數(shù)的變化可得到曲線上的,就得到曲線上的一個點,全部點.,22,動點從A點出發(fā),螺旋線的參數(shù)方程,取時間t為參數(shù),解,經(jīng)過t時間,運動到M點.,那末點M構(gòu),成的圖形稱為螺旋線.,試建立其參數(shù)方程.,M在xOy面的投影,軸的正方向上升,例6如果空間一點M在圓柱面,上以,角速度繞z軸旋轉(zhuǎn),同時又以線速度v沿平行于z,23,消去變量z后得：,曲線關于xOy的投影柱面.,設空間曲線C的一般方程：,投影柱面的特征：,此柱面必包含曲線C,以曲線C為準線、,C,母線垂直于所投影的坐標面.,24,類似地:可定義空間曲線在其它坐標面上的投影.,yOz面上的投影曲線,xOz面上的投影曲線,空間曲線在xOy面上的投影曲線(或稱投影),(即為曲線關于xOy面的投影柱面),(即為xOy面),C,(即為投影柱面與xOy面的交線),25,解交線方程為,消去z得投影柱面,的交線關于xOy面的投