浙江省浙南名校聯(lián)盟屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末聯(lián)考試題 (2)

浙南名校聯(lián)盟（溫州九校）2019屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字。3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙。一、選擇題。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由不等式得出集合，再由交集的運算即可求出結(jié)果.【詳解】由得，即，所以.故選A【點睛】本題主要考查交集的運算，熟記定義即可，屬于基礎(chǔ)題型.2.雙曲線的焦點坐標(biāo)為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由雙曲的標(biāo)準(zhǔn)方程求出，進(jìn)而可求出，然后即可求出焦點坐標(biāo).【詳解】由可得，焦點在軸上，所以，因此所以焦點坐標(biāo)為；故選B【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)方程，由標(biāo)準(zhǔn)方程可求出，并確定焦點位置，從而可得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題型.3.設(shè)實數(shù)滿足，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由約束條件作出可行域，再令，化目標(biāo)函數(shù)為，由直線在y軸的截距的范圍確定目標(biāo)函數(shù)的最值即可.【詳解】由約束條件作出可行與如圖，令，則，因此求的最小值，即是求直線在y軸截距的最大值，由圖中虛線可知，當(dāng)虛線過點（0,1）時，直線截距最大，即.故選C【點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題，只需由約束條件作出可行域，再化目標(biāo)函數(shù)為直線的斜截式方程即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.4.若復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則的最大值為( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得表示復(fù)數(shù)，對應(yīng)的兩點間的距離，由兩點間距離公式即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，所以，其中，故選C【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，由復(fù)數(shù)的幾何意義，將轉(zhuǎn)化為兩復(fù)數(shù)所對應(yīng)點的距離求值即可，屬于基礎(chǔ)題型.5.函數(shù)的圖象可能是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由正弦函數(shù)確定函數(shù)值域的大致范圍，以及特殊值驗證即可判斷.【詳解】因為時，所以；當(dāng)時，所以；故排除A、C選項；又，即，所以排除D，故選B【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖像，特殊值法在處理函數(shù)圖像中非常實用，屬于基礎(chǔ)題型.6.已知，則是的( )A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由充分條件與必要條件的定義即可判斷出結(jié)果.【詳解】令，若，則，即，即，故是的充分條件；又，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時，不一定能推出；綜上，是的充分不必要條件.故選A【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出結(jié)果，屬于常考題型.7.甲、乙二人均從5種不同的食品中任選一種或兩種吃，則他們一共吃到了3種不同食品的情況有( )A. 84種B. 100種C. 120種D. 150種【答案】C【解析】【分析】由分步乘法計數(shù)原理先由5種食物中選擇3種，共種情況;第二步，將3種食物編號，用列舉法列舉所有情況即可；【詳解】由分步乘法計數(shù)原理：第一步：由5種食物中選擇3種，共種情況；第二步：將3種食物編號為A,B,C，則甲乙選擇的食物的情況有：，共12種情況，因此他們一共吃到了3種不同食品的情況有種.故選C【點睛】本題主要考查分步乘法計數(shù)原理，按定義逐步計算，最后求乘積即可，屬于?？碱}型.8.已知隨機(jī)變量的分布列如下表：X-101Pabc其中.若的方差對所有都成立，則( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由分布列求出方差，再結(jié)合題意列不等式求解即可.【詳解】由的分布列可得：的期望為，所以的方差，因為所以當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值，又對所有都成立，所以只需，解得，所以.故選D【點睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的方差，根據(jù)不等式的最值，即可求參數(shù)的范圍，屬于中檔題型.9.如圖，在三棱柱中，點在平面內(nèi)運動，使得二面角的平面角與二面角的平面角互余，則點的軌跡是( )A. 一段圓弧B. 橢圓的一部分C. 拋物線D. 雙曲線的一支【答案】D【解析】【分析】將三棱柱特殊化，看作底面以為直角的直角三角形，側(cè)棱與底面垂直，然后設(shè)出點的坐標(biāo)，作出點Q在下底面的投影，由對稱性知：點P與點Q的軌跡一致，研究點Q的軌跡即可.【詳解】不妨令三棱柱為直三棱柱，且底面是以為直角的直角三角形，令側(cè)棱長為m,以B的為坐標(biāo)原點，BA方向為x軸，BC方向為y軸，方向為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以，過點作以于點，作于點，則即是二面角的平面角，即是二面角的平面角，所以，又二面角的平面角與二面角的平面角互余，所以，即，所以，因，所以,所以有，所以，即點Q的軌跡是雙曲線的一支，所以點的軌跡是雙曲線的一支.故選D【點睛】本題主要考查立體幾何的綜合應(yīng)用，特殊值法是選擇題中非常實用的一種作法，用特殊值法求出點的坐標(biāo)之間的關(guān)系式，即可判斷出結(jié)果，屬于中檔試題.10.設(shè)是方程兩個不等實根，記.下列兩個命題：數(shù)列的任意一項都是正整數(shù)；數(shù)列第5項為10. ( )A. 正確，錯誤B. 錯誤，正確C. 都正確D. 都錯誤【答案】A【解析】【分析】先由方程求出之間的關(guān)系，進(jìn)而可得的特征，由數(shù)列遞推式即可判斷出結(jié)果.【詳解】因為是方程的兩個不等實根，所以1，因為，所以，即當(dāng)時，數(shù)列中的任一項都等于其前兩項之和，又1，所以，以此類推，即可知：數(shù)列的任意一項都是正整數(shù)，故正確；錯誤；因此選A【點睛】本題主要考查命題真假的判斷，根據(jù)方程與數(shù)列的結(jié)合，由方程的根確定數(shù)列的遞推式及數(shù)列的前幾項，進(jìn)而判斷出結(jié)果，屬于中檔試題.二、填空題。11.九章算術(shù)中記載了“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問人數(shù)、豕價各幾何？”.其意思是“若干個人合買一頭豬，若每人出100，則會剩下100；若每人出90，則不多也不少。問人數(shù)、豬價各多少？”.設(shè)分別為人數(shù)、豬價，則_，_.【答案】 (1). 10 (2). 900【解析】【分析】由題意列出方程組，求解即可.【詳解】由題意可得，解得.故答案為10 900【點睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，用消元法來求解即可，屬于基礎(chǔ)題型.12.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為_，表面積為_. 【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由三視圖先得到該三棱錐的底面是等腰直角三角形，且斜邊長為2，棱錐的高為1，再由棱錐的表面積公式和體積公式即可求解.【詳解】由三視圖可知該三棱錐的底面是等腰直角三角形，且斜邊長為2，棱錐的高為1，所以底面直角邊的邊長為，所以該三棱錐的體積為；表面積為.故答案為：體積；表面積【點睛】本題主要考查由幾何體的三視圖求幾何體的體積與表面積，先由三視圖確定幾何體的形狀，再由表面積和體積公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.13.在中，內(nèi)角所對的邊分別是.若，則_，面積的最大值為_.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】由正弦定理，結(jié)合，可求出；由三角形面積公式以及角A的范圍,即可求出面積的最大值.【詳解】因為，所以由正弦定理可得，所以;所以，當(dāng)，即時，三角形面積最大.故答案為(1). 1 (2). 【點睛】本題主要考查解三角形的問題，熟記正弦定理以及三角形面積公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.14.實數(shù)滿足：對任意，都有則=_，_.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】由二項展開式可直接求出各項的系數(shù)，即可求出，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由二項展開式可得，所以，故.故答案為(1). 1 (2). 【點睛】本題主要考查二項式定理，由二項展開式可求出每一項的系數(shù)，進(jìn)而可求出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題型.15.已知拋物線的焦點為.若拋物線上存在點,使得線段的中點的橫坐標(biāo)為，則_.【答案】2【解析】【分析】先由的中點的橫坐標(biāo)為，結(jié)合點坐標(biāo)，求出點的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由題意，設(shè)，因為的中點的橫坐標(biāo)為，所以,即，因為拋物線上任一點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以.故答案為2【點睛】本題主要考查拋物線的定義和簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.16.若向量滿足，且，則的最小值是_.【答案】【解析】【分析】設(shè)，由確定點C的軌跡，再設(shè),，由取得最大值時，即可求出最小值.【詳解】設(shè)，由可知，所以點C在以AB為直徑的圓上；設(shè),，則，而表示點O到以AB為直徑的圓上任一點的距離，所以最大值即是點O到圓心E的距離加半徑，即，所以，即最小值為2.故答案為2.【點睛】本題主要考查平面向量的基本定理，以及圓外一點到圓上任意一點距離的最大值的求法，常需要結(jié)合圖像求解，屬于中檔試題.17.已知函數(shù)在開區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，得到其導(dǎo)函數(shù)小于等于0恒成立，即且代入得到一個不等式組，可以把視為不等式組內(nèi)的點與原點距離的平方，結(jié)合圖像即可求解.【詳解】由題意，在恒成立.只需要即可，整理得，作出其對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示；所以把視為平面區(qū)域內(nèi)的點與原點距離的平方，由點到直線的距離公式可得，所以的最小值為，則的取值范圍是.故答案為【點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題，需要依題意寫出約束條件，作出可行域，再由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解，屬于中檔試題.三、解答題。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。18.（I）證明：；（II）求函數(shù)的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（）見證明；（）【解析】【分析】（I）由兩角和與差的正弦公式求和即可得出結(jié)論成立；（II）先將函數(shù)整理成正弦型復(fù)合函數(shù)的形式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期和遞增區(qū)間即可求出結(jié)果.【詳解】（I）證明：對任意， 兩式相加，得， 即； （II）由（I），即. 故的最小正周期令，得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是.【點睛】本題第一問主要考查三角恒等變換，需要考生熟記兩角和與差的正弦公式；第二問主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，需要考生靈活掌握三角函數(shù)的周期與單調(diào)性，屬于?？碱}型.19.在三棱臺中，是等邊三角形，二面角的平面角為，.（I）求證：；（II）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（）見證明；（）【解析】【分析】（I）先由線面垂直的判定定理證明平面，進(jìn)而可得；（II）可以在幾何體中作出直線與平面所成的角，解三角形即可；也可用向量的方法建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出直線的方向向量以及平面的法向量，根據(jù)向量夾角的余弦值確定線面角的正弦值.【詳解】（I）證明：設(shè)，與交于點，取棱的中點，連結(jié).因，故. 又是棱的中點，故.同理又平面，且，因此平面，又平面，所以； （II）方法一：作，垂足為.因平面，故平面，從而為直線與平面所成的角. 不妨設(shè),則， 所以. 方法二：如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系， 由（I），為二面角的平面角，則，設(shè)，則點 , , ，.設(shè)為平面，即平面的一個法向量，由 ，得， 令，則，即. .設(shè)是直線與平面所成的角，則【點睛】本題第一問主要考查由線面垂直推面面垂直，需要用到線面垂直的判定定理；第二問求線面角的正弦值，通常有兩種做法：立體幾何法（即在幾何體中直接作出直線與平面所成的角，求解即可）和空間向量的方法（即建立適當(dāng)坐標(biāo)系求出直線的方向向量和平面的法向量，由向量的夾角確定線面角即可）；屬于常考題型.20.已知等比數(shù)列的公比，前項和為.若，且是與的等差中項.（I）求；（II）設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為.求證：.【答案】（）（II）見證明【解析】【分析】（I）因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以結(jié)合題意列出方程組，求出首項和公比即可得出結(jié)果；（II）先由累加法求出數(shù)列的通項，再由分組求和的方法求出數(shù)列的前項和，即可證明結(jié)論成立.【詳解】（I）由，得.再由是，的等差中項，得，即. 由，得，即，亦即，解得或，又，故. 代入，得，所以，即； （II）證明：對任意， ，即.又，若規(guī)定，則. 于是，從而，即.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，以及分組求和法求數(shù)列的前n項和的問題，熟記公式即可求解，屬于?？碱}型.21.已知直線與橢圓恰有一個公共點，與圓相交于兩點. （I）求與關(guān)系式；（II）點與點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱.若當(dāng)時，的面積取到最大值，求橢圓的離心率.【答案】（）（II）【解析】【分析】（I）聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)判別式等于0，即可求出結(jié)果；（）因點與點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，可得面積是的面積的兩倍，再由當(dāng)時，的面積取到最大值，可得，進(jìn)而可得原點到直線的距離，再由點到直線的距離公式，以及（I）的結(jié)果，即可求解.【詳解】（I）由，得，則 化簡整理，得； （）因點與點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，故的面積是的面積的兩倍.所以當(dāng)時，的面積取到最大值，此時，從而原點到直線的距離， 又，故. 再由（I），得，則 又，故，即， 從而，即.【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，以及橢圓的簡單性質(zhì)，通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理、判別式等求解，屬于中檔試題.22.設(shè)，函數(shù).（I）證明：當(dāng)時，對任意實數(shù)，直線總是曲線的切線； （）若存在實數(shù)，使得對任意且，都有，求實數(shù)的最小值.【答案】（I）見證明；（）-1【解析】【分析】（I）將代入函數(shù)解